量化面试绿皮书：22. 卡片游戏

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

22. 卡片游戏

一家赌场提供一种简单的纸牌游戏。

牌堆共有52张牌，每种点数（2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A）各有4张牌。

每次游戏前，牌堆会被彻底洗牌（因此每张牌被抽到的概率相等）。

你先从牌堆中抽一张牌，然后庄家从剩余的牌中再抽一张。

若你的牌点数更大，则你获胜；

若点数相同或你的牌点数更小，则赌场获胜（与其他赌场一样，赌场始终拥有更高的获胜概率）。

Q: 请问你获胜的概率是多少？

A: 在纸牌游戏中，玩家和庄家各抽一张牌，玩家获胜的条件是玩家的牌点数严格大于庄家的牌点数（点数相同或玩家点数更小时赌场获胜）。牌堆共有52张牌，13种点数（2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A），每种点数有4张花色牌，点数顺序为2最小、A最大。

玩家获胜的概率计算如下：

• 玩家先抽一张牌，然后庄家从剩余牌中抽一张牌。

• 总共有 52 × 51 = 2652 52 \times 51 = 2652 52×51=2652 种可能的有序牌对（玩家牌、庄家牌）。

• 玩家获胜时，玩家的点数必须大于庄家的点数。

• 点数值定义为：2为1、3为2、...、10为9、J为10、Q为11、K为12、A为13。

• 对于每个点数值 k k k（ k = 1 k = 1 k=1 到 13 13 13），玩家抽到点数为 k k k 的概率为 4 52 = 1 13 \frac{4}{52} = \frac{1}{13} 524=131。

• 给定玩家抽到点数为 k k k，点数小于 k k k 的牌数为 4 × ( k − 1 ) 4 \times (k-1) 4×(k−1)（因为点数小于 k k k 的点有 k − 1 k-1 k−1 个，每个点有4张牌），剩余牌总数为51张，因此庄家点数小于 k k k 的概率为 4 ( k − 1 ) 51 \frac{4(k-1)}{51} 514(k−1)。

• 玩家获胜的概率为：

  P win = ∑ k = 1 13 P ( 玩家抽到 k ) × P ( 庄家点数 < k ∣ 玩家抽到 k ) = ∑ k = 1 13 1 13 × 4 ( k − 1 ) 51 P_{\text{win}} = \sum_{k=1}^{13} P(\text{玩家抽到 } k) \times P(\text{庄家点数} < k \mid \text{玩家抽到 } k) = \sum_{k=1}^{13} \frac{1}{13} \times \frac{4(k-1)}{51} Pwin=k=1∑13P(玩家抽到 k)×P(庄家点数<k∣玩家抽到 k)=k=1∑13131×514(k−1)

• 简化：

  P win = 1 13 × 4 51 × ∑ k = 1 13 ( k − 1 ) = 4 13 × 51 × ∑ m = 0 12 m ( 令 m = k − 1 ) P_{\text{win}} = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} \times \sum_{k=1}^{13} (k-1) = \frac{4}{13 \times 51} \times \sum_{m=0}^{12} m \quad (\text{令 } m = k-1) Pwin=131×514×k=1∑13(k−1)=13×514×m=0∑12m(令 m=k−1)

• 其中 ∑ m = 0 12 m = 0 + 1 + 2 + ⋯ + 12 = 12 × 13 2 = 78 \sum_{m=0}^{12} m = 0 + 1 + 2 + \cdots + 12 = \frac{12 \times 13}{2} = 78 ∑m=012m=0+1+2+⋯+12=212×13=78。

• 代入：

  P win = 4 13 × 51 × 78 = 4 × 78 13 × 51 = 312 663 P_{\text{win}} = \frac{4}{13 \times 51} \times 78 = \frac{4 \times 78}{13 \times 51} = \frac{312}{663} Pwin=13×514×78=13×514×78=663312

• 约简分数：分子和分母同时除以39（312 ÷ 39 = 8，663 ÷ 39 = 17），得：

  P win = 8 17 P_{\text{win}} = \frac{8}{17} Pwin=178

因此，玩家获胜的概率为:

8 17 \boxed{\dfrac{8}{17}} 178

Python 实现

根据问题分析，玩家获胜的概率为 8 17 \frac{8}{17} 178。以下是符合Google强类型风格的Python实现，包含详细注释：

from fractions import Fraction


def calculate_win_probability() -> Fraction:
    """计算玩家在赌场纸牌游戏中获胜的概率。

    游戏规则：
        - 牌堆共52张牌（13种点数，每种4张）
        - 玩家先抽一张牌，庄家再从剩余牌中抽一张
        - 玩家获胜条件：玩家的牌点数大于庄家的牌点数

    计算逻辑：
        1. 总抽牌情况：52 × 51（有序排列）
        2. 获胜情况 = Σ [玩家抽点数i的情况 × 庄家抽小于i的点数的情况]
        3. 点数映射：2→2, 3→3, ..., 10→10, J→11, Q→12, K→13, A→14
        4. 对于每个点数i：
            - 玩家抽中i的情况：4种（4花色）
            - 庄家抽小于i的牌：(i-2)×4 张（小于i的点数有(i-2)种，每种4张）
        5. 获胜情况 = Σ_{i=3}^{14} [4 × 4×(i-2)] = 16 × Σ_{k=1}^{12} k = 16×78 = 1248
        6. 总情况 = 52×51 = 2652
        7. 概率 = 1248 / 2652 = 8/17

    Returns:
        Fraction: 玩家获胜的概率（最简分数形式）
    """
    # 总抽牌情况：52张中选2张（有序）
    total_outcomes: int = 52 * 51

    # 计算获胜情况数
    winning_outcomes: int = 0
    # 点数范围：2到14（A为14）
    for card_value in range(2, 15):  # 遍历每个点数
        # 小于当前点数的牌数量 = (当前点数 - 2) * 4
        smaller_count: int = 4 * (card_value - 2)
        # 玩家抽中当前点数的可能情况：4种
        # 庄家抽小于当前点数的可能情况：smaller_count
        winning_outcomes += 4 * smaller_count

    # 计算并返回最简分数形式的概率
    return Fraction(winning_outcomes, total_outcomes)


# 计算获胜概率
win_prob: Fraction = calculate_win_probability()

# 输出结果
print(f"玩家获胜概率 = {win_prob} (约 {float(win_prob):.6f})")

输出示例

玩家获胜概率 = 8/17 (约 0.470588)

代码说明

1. 核心计算逻辑：

   • 使用 range(2, 15) 遍历点数2到14（A）
   • 对每个点数计算庄家可抽的小牌数量 smaller_count
   • 累加获胜情况 winning_outcomes = Σ(4 × smaller_count)
   • 用 Fraction 精确计算概率并自动约简

2. 数学验证：

   • 获胜情况 = 16 × ∑ k = 1 12 k = 16 × 78 = 1248 16 \times \sum_{k=1}^{12} k = 16 \times 78 = 1248 16×∑k=112k=16×78=1248
   • 总情况 = 52 × 51 = 2652 52 \times 51 = 2652 52×51=2652
   • 概率 = 1248 2652 = 8 17 \frac{1248}{2652} = \frac{8}{17} 26521248=178

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这道面试题的本质是考察候选人将现实问题抽象为概率模型的能力 和在动态约束条件下精确计算条件概率的量化思维，这类能力直接对应量化金融中的风险管理、衍生品定价和统计套利策略开发的核心挑战。

🔑 核心知识点

1. 概率建模
   • 将游戏规则转化为数学问题（如牌堆抽样为有序排列问题）
   • 处理非独立事件的条件概率（庄家抽牌依赖玩家结果）
2. 组合数学
   • 有序抽样计算（52×51种可能情形）
   • 分类统计思想（按玩家抽到的点数分层计算胜率）
3. 金融映射能力
   • 类比金融场景：类似期权定价中的payoff计算（赢=1，输=0）
   • 理解非对称规则（赌场优势 ≈ 金融交易中的手续费/滑点影响）
4. 数值精确性
   • 避免浮点数误差（需用分数而非小数表示概率）
   • 边界处理（如A作为最高点数14）

📊 面试评估维度

考察维度	具体表现要求	本题对应点
抽象建模	将现实规则转化为概率框架	将抽牌规则映射为条件概率模型： P ( w i n ) = ∑ i P ( 玩家抽 i ) × P ( 庄家 < i ) P(win) = \sum_i P(\text{玩家抽}i) \times P(\text{庄家}<i) P(win)=∑iP(玩家抽i)×P(庄家<i)
动态计算	处理依赖关系与状态变化	庄家抽牌概率随玩家抽牌结果动态变化（剩余51张牌）
数值严谨性	精确计算而非蒙特卡洛模拟	要求分数解而非近似值（最终输出8/17）
金融直觉	识别非对称规则对概率的影响	赌场规则设计本质是创造>50%的胜率（类似做市商策略的edge构建）
代码实现	将数学模型转化为高效代码	后续Python实现需避免暴力枚举（ O ( 1 ) O(1) O(1)复杂度计算而非 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)）

🧩 典型回答框架

1. 定义变量

   • 建立点数映射：J/Q/K/A → 11/12/13/14
   • 确认胜负条件：玩家赢 ⇔ 玩家点数 > 庄家点数

2. 分层计算

   for player_card in range(2, 15):  # 遍历玩家可能抽到的点数(2-14)
       prob_player = 4/52            # 玩家抽到某点数的概率
       smaller_cards = 4 * (player_card - 2)  # 小于该点数的牌数量（如抽到5→小于5的牌=3种点数×4=12张）
       prob_dealer = smaller_cards / 51  # 庄家抽到更小牌的概率
       win_prob += prob_player * prob_dealer

3. 数学优化

   P ( w i n ) = 16 52 × 51 ∑ k = 2 14 ( k − 2 ) = 16 × 78 2652 = 8 17 P(win) = \frac{16}{52 \times 51} \sum_{k=2}^{14} (k-2) = \frac{16 \times 78}{2652} = \frac{8}{17} P(win)=52×5116k=2∑14(k−2)=265216×78=178

4. 边界验证

   • 玩家抽2：必胜概率=0（无更小牌）
   • 玩家抽A：必胜概率= 48 51 \frac{48}{51} 5148（仅庄家A会输）

💡 核心洞察

本题的深层价值在于揭示条件概率在非对称博弈中的决定性作用 ------赌场通过规则设计（庄家后手+平局判负）将理论胜率从50%提升至 9 17 ≈ 52.94 % \frac{9}{17}≈52.94\% 179≈52.94%，这与量化交易中通过订单流预测 或盘口结构分析 获取微小优势（edge）的逻辑完全一致。候选人若能在计算后指出"赌场优势= 1 17 \frac{1}{17} 171"，则展现了对金融规则设计的敏感性，这是顶级量化岗位的核心筛选标准。

风险提示与免责声明

本文内容基于公开信息研究整理，不构成任何形式的投资建议。历史表现不应作为未来收益保证，市场存在不可预见的波动风险。投资者需结合自身财务状况及风险承受能力独立决策，并自行承担交易结果。作者及发布方不对任何依据本文操作导致的损失承担法律责任。市场有风险，投资须谨慎。