概念
蒙特卡洛算法是一种基于随机抽样的计算方法。
它的核心思想是通过大量随机实验来估计问题的解。这种方法适用于那些难以用解析方法求解的问题。
示例
下面以计算圆周率 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> π \pi </math>π 为例，说明蒙特卡洛算法的具体应用。
由于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> π \pi </math>π 是一个确定的值，我们需要对其设计随机试验，来求其估值。
假设我们有一个边长为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 1 </math>1 的正方形，这个正方形内接一个半径为0.5的圆。我们在正方形内随机撒点，当随机点在正方形内均匀分布时，落在圆内的概率等于圆的面积与正方形面积之比。即圆的面积是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> π ∗ 0. 5 2 π*0.5^2 </math>π∗0.52，正方形面积是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 1 </math>1，所以落在圆内点的数量与撒点的总数之比就是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> π 4 \frac{π}{4} </math>4π。
下面给出 Python 代码实现和详细注释。
python
# 导入随机数模块和绘图模块
import random
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义Point类表示二维点
class Point:
def __init__(self,x=None,y=None):
# 如果x,y未提供则生成随机坐标(0-1之间)
self.x=x if x is not None else random.random()
self.y=y if y is not None else random.random()
def __str__(self):
# 返回点的字符串表示
return str(self.x)+','+str(self.y)
def dis2(self,a):
# 计算当前点到点a的平方距离(避免开方运算提高效率)
return (self.x-a.x)**2+(self.y-a.y)**2
# 蒙特卡洛计算π的函数
def calculator(N):
# 创建图形和坐标系
fig, ax = plt.subplots()
cnt=0 # 统计落在圆内的点数
# 创建圆心点(0.5,0.5)
o=Point(0.5,0.5)
# 用黄色标记圆心
plt.plot(o.x,o.y,'o','yellow')
# 绘制半径为0.5的黑边圆形
circle=plt.Circle((o.x,o.y),0.5,fill=False,color='black',linewidth=1)
ax.add_patch(circle)
# 进行N次蒙特卡洛实验
for i in range(N):
a=Point() # 生成随机点
if a.dis2(o) <= 0.5*0.5: # 判断点是否在圆内(比较平方距离)
cnt+=1 # 圆内点数+1
plt.plot(a.x,a.y,'o',color='blue') # 圆内点用蓝色标记
else:
plt.plot(a.x,a.y,'o',color='red') # 圆外点用红色标记
# 设置坐标轴范围和比例
ax.set_xlim(0, 1)
ax.set_xlim(0, 1)
ax.set_aspect('equal') # 保证x,y轴比例相同
# 计算π的估计值
S=cnt/N # 圆内点比例，由于正方形面积为1，故S也是圆的面积的估值
pi=S*4 # S=πr²,这里r=0.5
print(N,pi) # 输出点数和π估计值
plt.show() # 显示图形
# 主程序入口
if __name__=="__main__":
# 获取用户输入的实验次数
T=int(input())
# 调用计算函数
calculator(T)随着采样点数量的增加，估计结果会越来越接近真实的π值。
上图展示了不同的采点数量估计出的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> π \pi </math>π 值。第一列为采点数量，第二列为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> π \pi </math>π 值。
使用10000个随机点时，估计值通常会精确到小数点后一两位。当采样点达到百万级别时，精度可以提高到小数点后三位或四位。这种方法的精度取决于随机数的质量，以及采样点的数量。
由于蒙特卡洛算法具有随机性，随着采点数量的增加，具体到每次实验中，我们估计的结果与真实值之差并不一定会单调减小。但是根据大数定律，估算结果的期望值会趋近于真实值。
总结
通过计算 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> π \pi </math>π 的例子可以看出，蒙特卡洛算法的关键在于设计合适的随机实验。需要确保随机采样能够准确反映待求解问题的特征。
蒙特卡洛算法的优势在于实现简单，不需要复杂的数学推导。它的计算过程可以很容易地并行化，因为每个随机点的计算都是独立的。
不过，这种方法也存在缺点，主要是收敛速度较慢。要提高一位小数的精度，通常需要增加100倍的采样点。
蒙特卡洛算法虽然简单，但在许多实际问题中都能发挥重要作用。除了计算 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> π \pi </math>π 值，它还可以用于期权定价、粒子输运模拟、图像渲染等场景。这些应用都利用了随机采样能够近似复杂系统行为的特性。