[数字信号处理-入门] 复频域分析
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z变换
双边:
X ( z ) = Z T [ x ( n ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z)=\mathrm{ZT}[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} X(z)=ZT[x(n)]=n=−∞∑∞x(n)z−n
单边:
X ( z ) = Z T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 ∞ x ( n ) z − n X(z)=\mathrm{ZT}[x(n)]=\sum_{n=0}^{\infty} x(n)z^{-n} X(z)=ZT[x(n)]=n=0∑∞x(n)z−n
z z z是复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标 构成的平面为z平面
ZT的性质
| 性质 | 时域序列 | Z域变换结果 |
|---|---|---|
| 线性性质 | a x ( n ) + b y ( n ) ax(n) + by(n) ax(n)+by(n) | a X ( z ) + b Y ( z ) aX(z) + bY(z) aX(z)+bY(z) |
| 双边移序 | x ( n + m ) x(n + m) x(n+m) | z m X ( z ) z^m X(z) zmX(z) |
| 单边移序 | x ( n + m ) u ( n ) x(n + m)u(n) x(n+m)u(n) | z m [ X ( z ) − ∑ k = 0 m − 1 x ( k ) z − k ] z^m \left[ X(z) - \sum_{k=0}^{m-1} x(k)z^{-k} \right] zm[X(z)−∑k=0m−1x(k)z−k] |
| x ( n − m ) u ( n ) x(n - m)u(n) x(n−m)u(n) | z − m [ X ( z ) + ∑ k = − m − 1 x ( k ) z − k ] z^{-m} \left[ X(z) + \sum_{k=-m}^{-1} x(k)z^{-k} \right] z−m[X(z)+∑k=−m−1x(k)z−k] | |
| 指数序列加权 | a n x ( n ) a^n x(n) anx(n) | X ( a − 1 z ) X(a^{-1}z) X(a−1z) |
| Z域微分 | n x ( n ) nx(n) nx(n) | − z d X ( z ) d z -z \frac{\mathrm{d}X(z)}{\mathrm{d}z} −zdzdX(z) |
| 复共轭 | x ∗ ( n ) x^*(n) x∗(n) | X ∗ ( z ∗ ) X^*(z^*) X∗(z∗) |
| 初值定理 | x ( 0 ) = lim z → ∞ X ( z ) x(0)=\lim_{z \to \infty} X(z) x(0)=limz→∞X(z) | |
| 终值定理 | lim n → ∞ x ( n ) = lim z → 1 ( z − 1 ) X ( z ) \lim_{n \to \infty} x(n)=\lim_{z \to 1}(z - 1)X(z) limn→∞x(n)=limz→1(z−1)X(z) | |
| 时域卷积定理 | x ( n ) ∗ y ( n ) x(n) * y(n) x(n)∗y(n) | X ( z ) Y ( z ) X(z)Y(z) X(z)Y(z) |
系统的复频域分析
利用ZT的性质, 对差分方程求解:
Y ( z ) = ( . . . ) X ( z ) Y(z)=(...)X(z) Y(z)=(...)X(z)
且有:
H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} H(z)=X(z)Y(z)