数据结构——堆

一.前言

现在,我们继续学习数据结构中的堆。堆是一种完全二叉树结构。为了更好地理解堆,现在就来学习一下吧

二.正文

(1)树

1.树的概念

在学习堆之前我们先来简单学习一下树的概念吧

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。如图:

注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构

**节点的度:**一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6

**叶节点或终端节点:**度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点

**非终端节点或分支节点:**度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点

**双亲节点或父节点:**若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点

**孩子节点或子节点:**一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点

**兄弟节点:**具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点

**树的度:**一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6

**节点的层次:**从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;

**树的高度或深度:**树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4

**堂兄弟节点:**双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点

**节点的祖先:**从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先

**子孙:**以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙

**森林:**由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

2.树的表达

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间的关系 ,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。最常用的孩子兄弟表示法

复制代码
typedef int DataType;
//孩子兄弟表示法
struct Node
{
	struct Node* firstChild1;//第一个孩子节点
	struct Node* pNextBrother;//下一个兄弟节点
	DataType data;
};

3.二叉树概念及结构

既然了解树了,我们紧接着来看看二叉树,二叉树由名字就可以知道一个节点有两个分叉。如图:

由上图,一棵二叉树是由节点构成的有限集合,它满足以下条件之一:

集合为空,包含一个根节点及其两棵子树(左子树和右子树),这两棵子树也是二叉树

二叉树具有重要特性:

每个节点的度不超过2,子树有明确的左右顺序且不可互换,因此二叉树属于有序树

4.特殊的二叉树

**1.满二叉树:**如果一个二叉树的每一层节点数都达到最大值,则称其为满二叉树。具体而言,对于深度为K的满二叉树,其节点总数为(2^K) - 1。

2.完全二叉树: 完全二叉树是一种高效的二叉树结构,由满二叉树引申而来。对于包含n个节点、深度为K的二叉树,当且仅当其节点与深度为K的满二叉树中编号1至n的节点一一对应时,称之为完全二叉树。值得注意的是,满二叉树是特殊的完全二叉树。

5.二叉树的性质

博主觉得这个还是有点重要的,在学校数据结构的考试中也是常出几题选择题等的。

性质:

  1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.

若规定根节点层数为 1,一棵非空二叉树第 5 层上最多有( )个结点。

A. 8

B. 15

C. 16

D. 32

解析:根据性质1,第 i 层最多有 2^(i - 1) 个结点 , i = 5 时, 2^(5 - 1)=16 ,答案选C。

  1. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是(2^h)-1

规定根节点层数为 1,深度为 4 的二叉树,最大结点数是( )。
A. 7
B. 15
C. 31
D. 16
解析:由性质2,深度为 h 的二叉树最大结点数是 (2^h) - 1 , h = 4 时, (2^4) - 1 = 15 ,答案选B。

  1. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0=n2+1

4.对任何一棵二叉树,边数 = 总节点数 N -1

已知一棵二叉树中,节点与节点之间的连线(边)总数为E,度为0的叶节点个数为n0,度为1的节点个数为n1,度为2的分支节点个数为n2。若该二叉树边数E = 25,且n1 = 3,则叶节点个数n0为( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15

解析:1. 边数与度数:E = n1 + 2n2(边数是度1、2节点出边和 ,已知E = 25,n1 = 3,代入得25 = 3 + 2n2,算出n2 = 11, 用性质3:n0 = n2 + 1,代入n2 = 11,得n0 = 12,答案选A。

  1. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=log(n+1) [底为2]

规定根节点层数为 1,一个满二叉树有 15 个结点,其深度 h 为( )(对数底为 2 )。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
解析:根据性质4,满二叉树深度 h = log₂(n + 1) , n = 15 时, log₂(15 + 1)=log₂16 = 4 ,答案选B。

  1. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对 于序号为i的结点有(博主在考试中没遇到过这个题目,但是还是为大家找了一道题目)

6.1. 若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点

6.2. 若2i+1=n否则无左孩子

6.3. 若2i+2=n否则无右孩子

对有 10 个结点的完全二叉树,按从上至下、从左至右从 0 开始编号,序号为 3 的结点,其双亲序号是( )。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解析:根据性质5第一条, i > 0 时,双亲序号为 (i - 1)/2 , i = 3 时, (3 - 1)/2 = 1 ,答案选A 。

(2)堆

简单了解了一下树,这时候我们就可以来看看堆了。

1.堆的概念

堆是一种特殊的完全二叉树结构,其节点排列遵循特定的顺序规则。

大根堆

在大堆中,每个节点的值都大于或等于其子节点的值;

小根堆

在小堆中,每个节点的值都小于或等于其子节点的值。

堆通常用于实现优先队列,能高效地完成插入元素和删除最大(或最小)元素等操作。

2.堆的实现

准备工作就是建立三个文件,和前几篇文章一样,只是名字不同。让我们来看看要实现什么功能吧,放在Heap.h中

复制代码
#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}Heap;

//堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

2.1堆的初始化

复制代码
//堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * 4);
	if (hp->a == NULL)
	{
		perror("malllooc fail");
		return;
	}
	hp->size = 0;
	hp->capacity = 4;
}

2.2堆的销毁

复制代码
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

2.3堆的检查并且扩容

复制代码
//检查并且扩容
void HeapCheck(Heap* php)
{
	assert(php);
	if (php->size == php->capacity)
	{
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * (php->capacity) * 2);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity *= 2;

	}
}

上面这几个代码跟顺序表还是很像的,我相信对于大家来说还是可以很快上手的,接下来就是堆的重头戏,插入和删除。

2.4堆的插入

堆的插入采用向上调整法

1.当在大顶堆末尾添加新元素后,

2.需要从下往上比较新元素与其父节点:

如果新元素大于父节点,则交换两者位置,继续向上比较,直到新元素不大于父节点或到达堆顶

3.调整完后,确保堆的性质(大顶堆)得以维持

理解父子节点下标的关系至关重要。

已知子节点下标,如何计算父节点下标?

公式为:

parent = (child - 1) / 2

已知父节点下标,如何计算子节点下标?

公式为:
leftChild = parent * 2 + 1
rightChild = parent * 2 + 2

因为要交换多次所以直接写一个交换函数便于使用

复制代码
//交换
void Swap(HPDataType* p1,HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

向上调整法

复制代码
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

堆的插入

复制代码
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	HeapCheck(php);

	php->a[php->size++] = x;
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

2.5堆的删除

堆的删除采用向下调整法

  1. 将堆的最后一个元素移到根节点位置

  2. 从根节点开始向下比较,与较大的子节点交换位置

  3. 持续调整直到当前节点大于等于左右子节点

  4. 最终堆大小减1,保持大顶堆性质

向下调整法

复制代码
//向下调整法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = (parent * 2) + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = (parent * 2) + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

堆的删除

复制代码
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

2.6堆的取堆顶的数据

复制代码
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->a[0];
}

2.7堆的数据个数

复制代码
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

2.8运行结果

3.堆的完整代码

复制代码
#include "Heap.h"

//堆的初始化
void HeapInit(Heap* php)
{
	assert(php);
	php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * 4);
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malllooc fail");
		return;
	}
	php->size = 0;
	php->capacity = 4;
}

// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

//检查并且扩容
void HeapCheak(Heap* php)
{
	assert(php);
	if (php->size == php->capacity)
	{
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * (php->capacity) * 2);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity *= 2;

	}
}

//交换
void Swap(HPDataType* p1,HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

// 堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	HeapCheck(php);

	php->a[php->size++] = x;
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

//向下调整法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = (parent * 2) + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = (parent * 2) + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

// 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

// 堆的删除
void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->a[0];
}

// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

(3)堆的应用

1.堆的排序

布骤:

  1. 建堆
  • 升序:建大堆
  • 降序:建小堆
  1. 利用堆删除思想来进行排序

1.为什么升序建大堆,降序建小堆了?

**升序排列时建大堆:**大堆的堆顶是最大值,每次将堆顶与堆尾元素交换,堆尾形成有序区(从大到小),剩余元素重新调整为大堆,最终堆尾有序区逆序后得到升序序列。

**降序排列时建小堆:**小堆的堆顶是最小值,每次将堆顶与堆尾元素交换,堆尾形成有序区(从小到大),剩余元素重新调整为小堆,最终堆尾有序区逆序后得到降序序列。
2.为什么上面图片用的是向下调整法,如果用向上调整法可以吗?(博主真不想画了,就借用一下我上课老师画的吧)

是可以用的,但是博主觉得向下更好一点,我们来看看向下或向上的调整的时间复杂度吧

|------|-------------------------|-------------------|
| | 向上调整法 | 向下调整法 |
| 操作方向 | 从叶子到根 | 从根到叶子 |
| 适用场景 | 堆插入 | 堆删除、建堆 |
| 复杂度 | 建堆O(n log n),单次O(log n) | 建堆O(n),单次O(log n) |
[向上调整法和向下调整法对比]

由对比图的复杂度就可以知道用向下更好一点

完整代码

复制代码
void HeapSort(HPDataType* a, int n)
{
	//向下调整建堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}

	//向上调整建堆
	//for (int i = 1; i < n; i++)
	//{
	//	AdjustUp(a, i);
	//}

	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		end--;
	}
}

i=(n-1-1)/2为什么了?

最后一个非叶子节点的下标为n-1,再由这个公式**parent = (child - 1) / 2**,可得i=(n-1-1)/2,即从尾往前数的第一个父亲位置。

运行结果

2.TOP_K 问题

求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大。

基本思路:

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆
  • 前k个最大的元素,则建小堆
  • 前k个最小的元素,则建大堆
  1. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较,不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后,堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

为什么求前k个最大的元素,则建小堆,前k个最小的元素,则建大堆?

  • 小顶堆的堆顶是堆中最小的元素。若要维护前k个最大元素,只需保证堆中始终存储当前最大的k个元素,且堆顶为其中最小的(即第k大元素),当遍历数组时,若当前元素大于堆顶,则替换堆顶并调整堆,确保堆中始终是"更大的k个元素"。若你用大堆,则堆顶是最大元素,可能让一些是前k个最大的元素进不去了。
  • 大顶堆的堆顶是堆中最大的元素。若要维护前k个最小元素,需保证堆中始终存储当前最小的k个元素,且堆顶为其中最大的(即第k小元素)。当遍历数组时,若当前元素小于堆顶,则替换堆顶并调整堆,确保堆中始终是"更小的k个元素"。若你用小堆,则堆顶是最小元素,可能让一些不是前k个最小的元素进去了。

完整代码

先创建数据

复制代码
//造数据
void CreatData()
{
	int n = 10000;
	srand(time(0));
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		return;
	}
	for (size_t i = 0; i < n; i++)
	{
		int x = rand() % 10000;
		fprintf(fin, "%d\n", x);
	}

	fclose(fin);
}

打印

文件的知识点补充

1.fopen

**功能:**根据指定模式打开文件,返回文件指针(NULL表示打开失败)

|------|------------------------|
| "r" | 只读模式(文件需存在) |
| "w" | 写入模式(清空文件或创建新文件) |
| "a" | 追加模式(在文件末尾写入,文件不存在则创建) |
| "r+" | 读写模式(文件需存在) |
| "w+" | 读写模式(清空文件或创建新文件) |
[常用的mode参数]

注意事项:

  • 打开文件后必须检查返回值是否为NULL
  • 二进制文件需加 b (如 "wb" ),文本文件可省略
  • 文件名需包含路径(默认当前目录)】

2.fprintf

**功能:**按指定格式将数据写入文件流

使用示例:

FILE* fp = fopen("data.txt", "w");

fprintf(fp, "整数:%d,浮点数:%.2f\n", 100, 3.14);

与printf的区别:

  • printf 输出到标准输出(屏幕), fprintf 输出到指定文件
  • 其他格式控制符(如 %d 、 %s )完全一致
  • 返回值:成功写入的字符数,负数表示失败

3.fscanf

**功能:**按指定格式从文件流读取数据

使用示例:

FILE* fp = fopen("data.txt", "r");

int num;

fscanf(fp, "整数:%d", &num); // 读取"整数:100"中的100

与scanf的区别:

  • scanf 从标准输入(键盘)读取, fscanf 从指定文件读取
  • 格式控制需匹配文件中的数据格式
  • 返回值:成功读取的参数个数, EOF (-1)表示读取失败或文件结束

4.fclose

**功能:**刷新缓冲区并关闭文件,释放文件资源

注意事项:

  • 必须关闭所有打开的文件,避免数据丢失
  • 关闭后文件指针失效,不可再操作
  • 返回值为0表示成功,非0表示错误

缓冲区机制:

  • 写入文件的数据先存缓冲区,关闭时才真正写入磁盘
  • 若未关闭文件,可能导致缓冲区数据未保存

5.总结

  1. 打开文件:用 fopen 获取文件指针,检查是否打开成功

  2. 读写数据:

  • 写入:用 fprintf 按格式写入(类似 printf )
  • 读取:用 fscanf 按格式读取(类似 scanf )
  1. 关闭文件:用 fclose 释放资源,确保数据写入磁盘

代码

复制代码
void PrintTopK(const char* file, int k)
{
	int* topk = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (topk == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}

	FILE* fout = fopen(file, "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		free(topk);
		return;
	}

	//读出前k个数据建小堆
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fout, "%d", &topk[i]);
	}

	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(topk, k, i);
	}

	//将剩下n-k个元素与堆顶进行交换,不满则替代
	int val = 0;
	int ret = fscanf(fout, "%d", &val);
	while (ret != EOF)
	{
		if (val > topk[0])
		{
			topk[0] = val;
			AdjustDown(topk, k, 0);
		}

		ret = fscanf(fout, "%d", &val);
	}

	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", topk[i]);
	}
	printf("\n");

	fclose(fout);
	free(topk);
}

int main()
{
	CreatData();
	PrintTopK("data.txt", 10);
	return 0;
}

三.总结

希望这些堆数据结构的知识能对你有所帮助!如果觉得实用,欢迎点赞支持~ 要是发现任何问题或有改进建议,也请随时告诉我。感谢阅读!

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