一.前言
现在,我们继续学习数据结构中的堆。堆是一种完全二叉树结构。为了更好地理解堆,现在就来学习一下吧
二.正文
(1)树
1.树的概念
在学习堆之前我们先来简单学习一下树的概念吧
树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。如图:

注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构
**节点的度:**一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
**叶节点或终端节点:**度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点
**非终端节点或分支节点:**度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点
**双亲节点或父节点:**若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
**孩子节点或子节点:**一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
**兄弟节点:**具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
**树的度:**一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
**节点的层次:**从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
**树的高度或深度:**树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
**堂兄弟节点:**双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
**节点的祖先:**从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
**子孙:**以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
**森林:**由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;
2.树的表达
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间的关系 ,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。最常用的孩子兄弟表示法。
typedef int DataType;
//孩子兄弟表示法
struct Node
{
struct Node* firstChild1;//第一个孩子节点
struct Node* pNextBrother;//下一个兄弟节点
DataType data;
};
3.二叉树概念及结构
既然了解树了,我们紧接着来看看二叉树,二叉树由名字就可以知道一个节点有两个分叉。如图:

由上图,一棵二叉树是由节点构成的有限集合,它满足以下条件之一:
集合为空,包含一个根节点及其两棵子树(左子树和右子树),这两棵子树也是二叉树
二叉树具有重要特性:
每个节点的度不超过2,子树有明确的左右顺序且不可互换,因此二叉树属于有序树
4.特殊的二叉树
**1.满二叉树:**如果一个二叉树的每一层节点数都达到最大值,则称其为满二叉树。具体而言,对于深度为K的满二叉树,其节点总数为(2^K) - 1。
2.完全二叉树: 完全二叉树是一种高效的二叉树结构,由满二叉树引申而来。对于包含n个节点、深度为K的二叉树,当且仅当其节点与深度为K的满二叉树中编号1至n的节点一一对应时,称之为完全二叉树。值得注意的是,满二叉树是特殊的完全二叉树。
5.二叉树的性质
博主觉得这个还是有点重要的,在学校数据结构的考试中也是常出几题选择题等的。
性质:
- 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
若规定根节点层数为 1,一棵非空二叉树第 5 层上最多有( )个结点。
A. 8
B. 15
C. 16
D. 32
解析:根据性质1,第 i 层最多有 2^(i - 1) 个结点 , i = 5 时, 2^(5 - 1)=16 ,答案选C。
- 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是(2^h)-1
规定根节点层数为 1,深度为 4 的二叉树,最大结点数是( )。
A. 7
B. 15
C. 31
D. 16
解析:由性质2,深度为 h 的二叉树最大结点数是 (2^h) - 1 , h = 4 时, (2^4) - 1 = 15 ,答案选B。
- 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0=n2+1
4.对任何一棵二叉树,边数 = 总节点数 N -1
已知一棵二叉树中,节点与节点之间的连线(边)总数为E,度为0的叶节点个数为n0,度为1的节点个数为n1,度为2的分支节点个数为n2。若该二叉树边数E = 25,且n1 = 3,则叶节点个数n0为( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15解析:1. 边数与度数:E = n1 + 2n2(边数是度1、2节点出边和 ,已知E = 25,n1 = 3,代入得25 = 3 + 2n2,算出n2 = 11, 用性质3:n0 = n2 + 1,代入n2 = 11,得n0 = 12,答案选A。
- 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=log(n+1) [底为2]
规定根节点层数为 1,一个满二叉树有 15 个结点,其深度 h 为( )(对数底为 2 )。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
解析:根据性质4,满二叉树深度 h = log₂(n + 1) , n = 15 时, log₂(15 + 1)=log₂16 = 4 ,答案选B。
- 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对 于序号为i的结点有(博主在考试中没遇到过这个题目,但是还是为大家找了一道题目)
6.1. 若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点
6.2. 若2i+1=n否则无左孩子
6.3. 若2i+2=n否则无右孩子
对有 10 个结点的完全二叉树,按从上至下、从左至右从 0 开始编号,序号为 3 的结点,其双亲序号是( )。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解析:根据性质5第一条, i > 0 时,双亲序号为 (i - 1)/2 , i = 3 时, (3 - 1)/2 = 1 ,答案选A 。
(2)堆
简单了解了一下树,这时候我们就可以来看看堆了。
1.堆的概念
堆是一种特殊的完全二叉树结构,其节点排列遵循特定的顺序规则。
大根堆
在大堆中,每个节点的值都大于或等于其子节点的值;

小根堆
在小堆中,每个节点的值都小于或等于其子节点的值。

堆通常用于实现优先队列,能高效地完成插入元素和删除最大(或最小)元素等操作。
2.堆的实现
准备工作就是建立三个文件,和前几篇文章一样,只是名字不同。让我们来看看要实现什么功能吧,放在Heap.h中
#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a;
int size;
int capacity;
}Heap;
//堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);
2.1堆的初始化
//堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp)
{
assert(hp);
hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * 4);
if (hp->a == NULL)
{
perror("malllooc fail");
return;
}
hp->size = 0;
hp->capacity = 4;
}
2.2堆的销毁
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->capacity = php->size = 0;
}
2.3堆的检查并且扩容
//检查并且扩容
void HeapCheck(Heap* php)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
{
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * (php->capacity) * 2);
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity *= 2;
}
}
上面这几个代码跟顺序表还是很像的,我相信对于大家来说还是可以很快上手的,接下来就是堆的重头戏,插入和删除。
2.4堆的插入
堆的插入采用向上调整法

1.当在大顶堆末尾添加新元素后,
2.需要从下往上比较新元素与其父节点:
如果新元素大于父节点,则交换两者位置,继续向上比较,直到新元素不大于父节点或到达堆顶
3.调整完后,确保堆的性质(大顶堆)得以维持
理解父子节点下标的关系至关重要。
已知子节点下标,如何计算父节点下标?
公式为:
parent = (child - 1) / 2
已知父节点下标,如何计算子节点下标?
公式为:
leftChild = parent * 2 + 1
rightChild = parent * 2 + 2
因为要交换多次所以直接写一个交换函数便于使用
//交换
void Swap(HPDataType* p1,HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
向上调整法
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
堆的插入
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
assert(php);
HeapCheck(php);
php->a[php->size++] = x;
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
2.5堆的删除
堆的删除采用向下调整法
-
将堆的最后一个元素移到根节点位置
-
从根节点开始向下比较,与较大的子节点交换位置
-
持续调整直到当前节点大于等于左右子节点
-
最终堆大小减1,保持大顶堆性质
向下调整法
//向下调整法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
int child = (parent * 2) + 1;
while (child < n)
{
if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])
{
child++;
}
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = (parent * 2) + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
堆的删除
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
2.6堆的取堆顶的数据
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
assert(php);
return php->a[0];
}
2.7堆的数据个数
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* php)
{
assert(php);
return php->size;
}
2.8运行结果

3.堆的完整代码
#include "Heap.h"
//堆的初始化
void HeapInit(Heap* php)
{
assert(php);
php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * 4);
if (php->a == NULL)
{
perror("malllooc fail");
return;
}
php->size = 0;
php->capacity = 4;
}
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->capacity = php->size = 0;
}
//检查并且扩容
void HeapCheak(Heap* php)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
{
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * (php->capacity) * 2);
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity *= 2;
}
}
//交换
void Swap(HPDataType* p1,HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
assert(php);
HeapCheck(php);
php->a[php->size++] = x;
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
//向下调整法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
int child = (parent * 2) + 1;
while (child < n)
{
if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])
{
child++;
}
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = (parent * 2) + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
// 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
assert(php);
return php->a[0];
}
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* php)
{
assert(php);
return php->size;
}
(3)堆的应用
1.堆的排序
布骤:
- 建堆
- 升序:建大堆
- 降序:建小堆
- 利用堆删除思想来进行排序

1.为什么升序建大堆,降序建小堆了?
**升序排列时建大堆:**大堆的堆顶是最大值,每次将堆顶与堆尾元素交换,堆尾形成有序区(从大到小),剩余元素重新调整为大堆,最终堆尾有序区逆序后得到升序序列。
**降序排列时建小堆:**小堆的堆顶是最小值,每次将堆顶与堆尾元素交换,堆尾形成有序区(从小到大),剩余元素重新调整为小堆,最终堆尾有序区逆序后得到降序序列。
2.为什么上面图片用的是向下调整法,如果用向上调整法可以吗?(博主真不想画了,就借用一下我上课老师画的吧)是可以用的,但是博主觉得向下更好一点,我们来看看向下或向上的调整的时间复杂度吧
|------|-------------------------|-------------------|
| | 向上调整法 | 向下调整法 |
| 操作方向 | 从叶子到根 | 从根到叶子 |
| 适用场景 | 堆插入 | 堆删除、建堆 |
| 复杂度 | 建堆O(n log n),单次O(log n) | 建堆O(n),单次O(log n) |
[向上调整法和向下调整法对比]由对比图的复杂度就可以知道用向下更好一点
完整代码
void HeapSort(HPDataType* a, int n)
{
//向下调整建堆
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}
//向上调整建堆
//for (int i = 1; i < n; i++)
//{
// AdjustUp(a, i);
//}
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);
AdjustDown(a, end, 0);
end--;
}
}
i=(n-1-1)/2为什么了?
最后一个非叶子节点的下标为n-1,再由这个公式**
parent = (child - 1) / 2
**,可得i=(n-1-1)/2,即从尾往前数的第一个父亲位置。
运行结果
2.TOP_K 问题
求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大。
基本思路:
- 用数据集合中前K个元素来建堆
- 前k个最大的元素,则建小堆
- 前k个最小的元素,则建大堆
- 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较,不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后,堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
为什么求前k个最大的元素,则建小堆,前k个最小的元素,则建大堆?
- 小顶堆的堆顶是堆中最小的元素。若要维护前k个最大元素,只需保证堆中始终存储当前最大的k个元素,且堆顶为其中最小的(即第k大元素),当遍历数组时,若当前元素大于堆顶,则替换堆顶并调整堆,确保堆中始终是"更大的k个元素"。若你用大堆,则堆顶是最大元素,可能让一些是前k个最大的元素进不去了。
- 大顶堆的堆顶是堆中最大的元素。若要维护前k个最小元素,需保证堆中始终存储当前最小的k个元素,且堆顶为其中最大的(即第k小元素)。当遍历数组时,若当前元素小于堆顶,则替换堆顶并调整堆,确保堆中始终是"更小的k个元素"。若你用小堆,则堆顶是最小元素,可能让一些不是前k个最小的元素进去了。
完整代码
先创建数据
//造数据
void CreatData()
{
int n = 10000;
srand(time(0));
const char* file = "data.txt";
FILE* fin = fopen(file, "w");
if (fin == NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
int x = rand() % 10000;
fprintf(fin, "%d\n", x);
}
fclose(fin);
}
打印
文件的知识点补充
1.fopen
**功能:**根据指定模式打开文件,返回文件指针(NULL表示打开失败)
|------|------------------------|
| "r" | 只读模式(文件需存在) |
| "w" | 写入模式(清空文件或创建新文件) |
| "a" | 追加模式(在文件末尾写入,文件不存在则创建) |
| "r+" | 读写模式(文件需存在) |
| "w+" | 读写模式(清空文件或创建新文件) |
[常用的mode参数]注意事项:
- 打开文件后必须检查返回值是否为NULL
- 二进制文件需加 b (如 "wb" ),文本文件可省略
- 文件名需包含路径(默认当前目录)】
2.fprintf
**功能:**按指定格式将数据写入文件流
使用示例:
FILE* fp = fopen("data.txt", "w");
fprintf(fp, "整数:%d,浮点数:%.2f\n", 100, 3.14);
与printf的区别:
- printf 输出到标准输出(屏幕), fprintf 输出到指定文件
- 其他格式控制符(如 %d 、 %s )完全一致
- 返回值:成功写入的字符数,负数表示失败
3.fscanf
**功能:**按指定格式从文件流读取数据
使用示例:
FILE* fp = fopen("data.txt", "r");
int num;
fscanf(fp, "整数:%d", &num); // 读取"整数:100"中的100
与scanf的区别:
- scanf 从标准输入(键盘)读取, fscanf 从指定文件读取
- 格式控制需匹配文件中的数据格式
- 返回值:成功读取的参数个数, EOF (-1)表示读取失败或文件结束
4.fclose
**功能:**刷新缓冲区并关闭文件,释放文件资源
注意事项:
- 必须关闭所有打开的文件,避免数据丢失
- 关闭后文件指针失效,不可再操作
- 返回值为0表示成功,非0表示错误
缓冲区机制:
- 写入文件的数据先存缓冲区,关闭时才真正写入磁盘
- 若未关闭文件,可能导致缓冲区数据未保存
5.总结
打开文件:用 fopen 获取文件指针,检查是否打开成功
读写数据:
- 写入:用 fprintf 按格式写入(类似 printf )
- 读取:用 fscanf 按格式读取(类似 scanf )
- 关闭文件:用 fclose 释放资源,确保数据写入磁盘
代码
void PrintTopK(const char* file, int k)
{
int* topk = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
if (topk == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
FILE* fout = fopen(file, "r");
if (fout == NULL)
{
perror("fopen fail");
free(topk);
return;
}
//读出前k个数据建小堆
for (int i = 0; i < k; i++)
{
fscanf(fout, "%d", &topk[i]);
}
for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(topk, k, i);
}
//将剩下n-k个元素与堆顶进行交换,不满则替代
int val = 0;
int ret = fscanf(fout, "%d", &val);
while (ret != EOF)
{
if (val > topk[0])
{
topk[0] = val;
AdjustDown(topk, k, 0);
}
ret = fscanf(fout, "%d", &val);
}
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", topk[i]);
}
printf("\n");
fclose(fout);
free(topk);
}
int main()
{
CreatData();
PrintTopK("data.txt", 10);
return 0;
}
三.总结
希望这些堆数据结构的知识能对你有所帮助!如果觉得实用,欢迎点赞支持~ 要是发现任何问题或有改进建议,也请随时告诉我。感谢阅读!