【LeetCode 热题 100】240. 搜索二维矩阵 II——排除法

Problem: 240. 搜索二维矩阵 II

编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target 。该矩阵具有以下特性:

每行的元素从左到右升序排列。

每列的元素从上到下升序排列。

文章目录

整体思路

这段代码旨在解决一个经典的矩阵搜索问题:搜索二维矩阵 II (Search a 2D Matrix II) 。问题要求在一个特殊的 M x N 矩阵中高效地查找一个目标值 target。这个矩阵的特殊之处在于:

  • 每一行的元素从左到右升序排列。
  • 每一列的元素从上到下升序排列。

该算法采用了一种非常巧妙且高效的 "Z"字形(或称为"锯齿形")查找法。它利用了矩阵的行列双重有序性,以线性的时间复杂度完成搜索。

  1. 选择起点

    • 算法的关键在于选择一个合适的起点。它选择了矩阵的 右上角 (0, n-1) 作为起始搜索点。
    • 为什么是右上角(或左下角) :这个位置非常特殊。对于右上角的元素 matrix[i][j]
      • 小于同一行右侧的所有元素(不存在)。
      • 大于同一行左侧的所有元素。
      • 小于同一列下方的所有元素。
      • 大于同一列上方的所有元素(不存在)。
    • 这种特性使得每一次比较都能排除掉一整行或一整列的元素,从而实现高效的搜索。
  2. 搜索路径与排除逻辑

    • 算法使用一个 while 循环来持续搜索,只要指针 (i, j) 还在矩阵范围内(i < m && j >= 0)。
    • 在循环的每一步,将当前指针指向的元素 matrix[i][j]target 进行比较:
      • Case 1: matrix[i][j] == target
        • 找到了目标值,直接返回 true
      • Case 2: matrix[i][j] < target
        • 由于当前元素 matrix[i][j]target 小,并且它已经是当前行 i 中最大的元素(因为我们从最右边开始),所以 target 不可能在当前行的任何位置。
        • 因此,我们可以安全地排除掉整个第 i ,并将搜索范围向下移动一行。实现方式是 i++
      • Case 3: matrix[i][j] > target
        • 由于当前元素 matrix[i][j]target 大,并且它已经是当前列 j 中最小的元素(因为我们从最上边开始),所以 target 不可能在当前列的任何位置。
        • 因此,我们可以安全地排除掉整个第 j ,并将搜索范围向左移动一列。实现方式是 j--
  3. 终止条件

    • while 循环会一直持续,直到指针移出矩阵边界(i 越过下边界或 j 越过左边界)。
    • 如果循环结束了还没有找到 target,就说明目标值在矩阵中不存在,返回 false

这个算法的路径就像在矩阵中画一条从右上到左下的折线,每一步都剔除一行或一列,因此效率非常高。

完整代码

java 复制代码
class Solution {
    /**
     * 在一个行列都升序的矩阵中高效地查找一个目标值。
     * @param matrix 一个 M x N 的整数矩阵,每行从左到右升序,每列从上到下升序。
     * @param target 要查找的目标值。
     * @return 如果找到目标值则返回 true,否则返回 false。
     */
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        // 获取矩阵的行数和列数
        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;
        
        // 步骤 1: 初始化指针,指向矩阵的右上角
        int i = 0;     // 行指针,从第 0 行开始
        int j = n - 1; // 列指针,从最后一列开始
        
        // 步骤 2: 循环搜索,只要指针还在矩阵范围内
        while (i < m && j >= 0) {
            // Case 1: 找到目标值
            if (matrix[i][j] == target) {
                return true;
            }
            
            // Case 2: 当前元素小于目标值
            // 说明 target 不可能在当前行,因为 matrix[i][j] 是当前行最大的
            // 排除当前行,向下移动
            if (matrix[i][j] < target) {
                i++;
            } else { // Case 3: 当前元素大于目标值
                // 说明 target 不可能在当前列,因为 matrix[i][j] 是当前列最小的
                // 排除当前列,向左移动
                j--;
            }
        }
        
        // 步骤 3: 如果循环结束仍未找到,说明目标值不存在
        return false;
    }
}

时空复杂度

时间复杂度:O(M + N)

  1. 指针移动分析
    • 算法的核心是两个指针 ij 的移动。
    • 指针 i 只会单调递增(向下移动),从 0 最多移动到 m
    • 指针 j 只会单调递减(向左移动),从 n-1 最多移动到 -1
  2. 循环次数
    • while 循环的每一次迭代中,ij 至少有一个会移动。
    • i 最多移动 M 次,j 最多移动 N 次。
    • 因此,循环的总执行次数最多为 M + N 次。

综合分析

算法的时间复杂度与行数和列数的和成线性关系,即 O(M + N)

空间复杂度:O(1)

  1. 主要存储开销 :该算法直接在输入的 matrix 数组上进行查找,没有创建任何新的、与输入规模 MN 成比例的数据结构。
  2. 辅助变量 :只使用了 m, n, i, j, target 等几个常数数量的变量。

综合分析

算法所需的额外辅助空间是常数级别的。因此,其空间复杂度为 O(1)。这是一个空间效率极高的原地算法。

参考灵神

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