杨辉三角相信大家都不陌生，这是一道经典的编程题目，它的解法多种多样，在组合数学、概率统计和多项式展开中也有重要应用。
今天，我就带大家从最常见的开始，逐渐对它的解法进行优化迭代。
题目描述
给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。
示例：
ini
输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]解法1：基础迭代法（双重循环）
核心思想：逐行构建杨辉三角，每行的第一个和最后一个元素为1，中间元素为上一行相邻两个元素之和，可以将原本的等边三角形视作直角三角形解答。
javascript
function generate(numRows) {
if (numRows === 0) return [];
const triangle = [[1]];
for (let i = 1; i < numRows; i++) {
const prevRow = triangle[i - 1];
const currentRow = [1]; // 每行第一个元素总是1
// 计算中间元素
for (let j = 1; j < i; j++) {
currentRow[j] = prevRow[j - 1] + prevRow[j];
}
currentRow.push(1); // 每行最后一个元素总是1
triangle.push(currentRow);
}
return triangle;
}解题思路：
- 边界处理 ：当
numRows为0时直接返回空数组 - 初始化 ：创建第一行
[1] - 逐行构建 ：
- 每行的第一个元素总是1
- 中间元素 = 上一行左上方元素 + 上一行右上方元素
- 每行的最后一个元素总是1
- 添加到结果：将每行加入结果数组
时间复杂度 ：O(n²)
空间复杂度：O(n²)（存储整个三角形）
注意点：
- 索引越界 ：访问
prevRow[j]时，要确保j < prevRow.length - 边界处理 ：忘记处理
numRows = 0的情况 - 行首行尾：每行的第一个和最后一个元素必须设为1
- 初始行：第一行需要单独初始化
解法2：函数式编程（数组映射）
核心思想 ：利用数组的 map 和 reduce 方法，以更声明式的方式构建杨辉三角。
javascript
function generate(numRows) {
const triangle = [];
for (let i = 0; i < numRows; i++) {
// 创建当前行数组
const row = Array(i + 1).fill(1);
// 计算中间元素（跳过首尾）
for (let j = 1; j < i; j++) {
row[j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j];
}
triangle.push(row);
}
return triangle;
}优化点：
- 统一初始化 ：使用
Array(i + 1).fill(1)一次性创建并填充数组 - 代码简洁：减少了对首尾元素的特殊处理
- 可读性：更清晰地表达"创建长度为i+1且全为1的数组"的意图
易错点：
- 填充值覆盖 ：中间元素计算时会覆盖初始填充的1，确保循环范围正确（
j < i） - 空数组处理 ：当
numRows=0时返回空数组 - 行索引 ：访问
triangle[i-1]时确保i > 0
解法3：动态规划优化（单数组迭代）
核心思想：只保留上一行数据，减少空间复杂度，同时使用对称性优化计算。
javascript
function generate(numRows) {
if (numRows === 0) return [];
if (numRows === 1) return [[1]];
const triangle = [[1], [1, 1]];
for (let i = 2; i < numRows; i++) {
const prevRow = triangle[i - 1];
const row = [1];
const mid = Math.ceil(i / 2);
// 计算左半部分
for (let j = 1; j < mid; j++) {
row[j] = prevRow[j - 1] + prevRow[j];
}
// 利用对称性复制右半部分
for (let j = mid; j <= i; j++) {
row[j] = row[i - j];
}
triangle.push(row);
}
return triangle;
}优化点：
- 空间优化：只需访问上一行而非所有历史行
- 对称性利用：杨辉三角左右对称，只需计算一半元素
- 边界处理：单独处理前两行，简化主循环逻辑
易错点：
- 对称索引 ：
row[j] = row[i - j]确保索引计算正确 - 中间点 ：
Math.ceil(i/2)处理奇偶行差异 - 特殊行处理：确保前两行正确初始化
解法4：数学公式法（组合数）
核心思想：利用杨辉三角与组合数的关系（第n行第k个元素 = C(n,k)）
javascript
function generate(numRows) {
const factorial = n => {
if (n <= 1) return 1;
return n * factorial(n - 1);
};
const triangle = [];
for (let n = 0; n < numRows; n++) {
const row = [];
for (let k = 0; k <= n; k++) {
// C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
row.push(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n - k)));
}
triangle.push(row);
}
return triangle;
}特点：
- 数学本质：直接体现杨辉三角的数学原理
- 精确计算：避免累加误差
- 概念清晰：明确展示杨辉三角与二项式系数的关系
缺点：
- 计算效率：阶乘计算时间复杂度高（O(n³)）
- 数值限制：大数阶乘可能导致数值溢出
- 递归深度：阶乘递归可能造成栈溢出
总结与选择建议
- 推荐解法：解法1（基础迭代法），简单直观，适用于大多数场景
- 性能敏感：解法3（动态规划优化），空间效率更高
- 数学探索：解法4（组合数法），适合理解数学本质但不适合实际应用
- 代码简洁：解法2（函数式编程），平衡可读性和性能
杨辉三角不仅是经典的编程题目，更在组合数学、概率统计和多项式展开中有重要应用。理解其生成算法有助于培养动态规划思维和发现数学模式的能力。