【算法专题训练】03、比特位计数

1、题目信息

https://leetcode.cn/problems/w3tCBm/description/

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给定一个非负整数 n ，请计算 0 到 n 之间的每个数字的二进制表示中 1 的个数，并输出一个数组。
 
示例 :
输入: n = 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
解释:0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

审题：输入一个非负整数n，要求从0到n的n+1个数字，每个数字的二进制形式中1个个数，最终结果返回一个包含二进制1的个数的数组。

2、解法1：暴力解法

遍历0到n的数字，计算每个数字的二进制1的个数，并将个数保存到数组中
所以核心是计算数字二进制1的个数，再进一步是计算数字的二进制表示

2.1、求数字的二进制

是数字不断除于2，得到商和余数，如果商不为0继续除2，直到商为0.
将每次相除的余数记录下来，余数的倒序就是对应的二进制形式
最后相除的结果一定是商为0余数为1，所以二进制第一位是1.

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例子：求10的二进制，结果为1010
10 / 2 = 5 余 0
5  / 2 = 2 余 1
2  / 2 = 1 余 0
1  / 2 = 0 余 1
把所有余数获取到取反：1010
验证一下1010的十进制结果： 
0*2^0 + 1+2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 = 0*1 + 1*2 + 0*4 + 1*8 = 10

2.2、代码实现

只需要将数字n转换成二进制的过程中，记录1的个数，让数字n不断除于2得到商和余数，只要上不为0则继续递归，并使用一个记录记录余数为1的次数

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vector<int> countBits(int n)
{
    vector<int> res;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        int count = 0;
        int num = i;
        while (num != 0)
        {
            int remaind = num % 2;
            if (remaind == 1)
            {
                count++;
            }
            num = num / 2;
        }
        res.push_back(count);
    }

    return res;
}

2.3、时间复杂度 O(logn * n)

输入的数字n，需要遍历n+1次，在每次计算数字的二进制时，需要不断除于2，遍历次数为log2,最终遍历结果为logn * n

3、解法2：与运算 i&(i-1)

3.1、思考：数字i的二进制和数字i-1的二进制有什么不同？

数字i的二进制最左边的数字1变为0,1右边如果还有0的话，全部变为1。得到的结果就是i-1的二进制
举例说明：
10的二进制为1010，则9的二进制为1001
10 & 9 的结果是1000，会将10的二进制最右边的1去除，每次计算1&1-1都会将二进制最右边的1去除，直到所有1都去除，操作的次数也即是二进制1的个数。
10 & 9 的结果是1000 结果是8
8 & 7 的结果是0000 结果是0
操作了两次1&（1-1），说明10的二进制1的个数为2

3.2、代码实现

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vector<int> countBits(int n)
{
    vector<int> res;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        int count = 0;
        int num = i;
        while (num != 0)
        {
            num = num & (num - 1);
            count++;
        }
        res.push_back(count);
    }

    return res;
}

3.3、时间复杂度为 O(kn)

需要遍历n+1次，每次遍历获取数字i的二进制1的个数为k

4、解法3：动态规划解法

根据位运算i&(i-1)会将数字i的二进制1的个数减少1，所以有推导公式：
- i二进制1的个数 = i&(i-1)二进制1的个数 + 1
- 0的二进制1的个数为0
- 1的二进制1的个数为：1&0=0的二进制个数+1，等于1
- 2的二进制1的个数为：2&1=0的二进制个数+1，等于1
- 3的二进制1的个数为：3&2=1的二进制个数+1，等于2
- ...

代码实现：

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vector<int> countBits(int n)
{
    vector<int> res(n + 1, 0);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        res[i] = res[i & (i - 1)] + 1;
    }

    return res;
}

5、解法4：位移运算
5.1、思考：i的二进制与i/2的二进制的区别？

如果i为偶数，i/2的二进制往左移一位，等于i
- 例子：假设i为6，二进制为0110，i/2等于3的二进制为0011，3往左移一位等于6
如果i为奇数，则i/2的二进制往左移一位再加1，等于i
- 例子：i为7，二进制为 0111，i/2的二进制为0011，往左移一位为0110，再加1等于0111
  所以得到推导公式：
  i的二进制个数 = i/2的二进制个数 + i是否为奇数

5.2、代码实现

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vector<int> countBits(int n)
{
    vector<int> res(n + 1, 0);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        res[i] = res[i / 2] + (i & 1);
    }

    return res;
}