2025.7.25动态规划再复习总结

P2392 kkksc03考前临时抱佛脚

题目背景

kkksc03 的大学生活非常的颓废，平时根本不学习。但是，临近期末考试，他必须要开始抱佛脚，以求不挂科。

题目描述

这次期末考试，kkksc03 需要考 4 科。因此要开始刷习题集，每科都有一个习题集，分别有 s1,s2,s3,s4 道题目，完成每道题目需要一些时间，可能不等（A1,A2,...,As1，B1,B2,...,Bs2，C1,C2,...,Cs3，D1,D2,...,Ds4）。

kkksc03 有一个能力，他的左右两个大脑可以同时计算 2 道不同的题目，但是仅限于同一科。因此，kkksc03 必须一科一科的复习。

由于 kkksc03 还急着去处理洛谷的 bug，因此他希望尽快把事情做完，所以他希望知道能够完成复习的最短时间。

输入格式

本题包含 5 行数据：第 1 行，为四个正整数 s1,s2,s3,s4。

第 2 行，为 A1,A2,...,As1 共 s1 个数，表示第一科习题集每道题目所消耗的时间。

第 3 行，为 B1,B2,...,Bs2 共 s2 个数。

第 4 行，为 C1,C2,...,Cs3 共 s3 个数。

第 5 行，为 D1,D2,...,Ds4 共 s4 个数，意思均同上。

输出格式

输出一行,为复习完毕最短时间。

输入输出样例

输入 #1

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输出 #1

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说明/提示

1≤s1,s2,s3,s4≤20。

1≤A1,A2,...,As1,B1,B2,...,Bs2,C1,C2,...,Cs3,D1,D2,...,Ds4≤60。

解法

这里我们可以把四个科目的总时间分别求出来，然后再用累加器加起来就可以了，这里就是一个01背包的题目，这里的内循环应该从sum/2到v[i]，因为复习的最短时间就是sum/2

题解

复制代码

for(int k=1;k<=4;k++)
{
	int sum=0;
	for(int j=1;j<=s[k];j++)
	{
		cin>>a[j];
		sum+=a[j];
	}
	memset(dp,0,sizeof dp);
	for(int i=1;i<=s[k];i++)
		for(int j=sum/2;j>=a[i];j--)
			dp[j]=max(dp[j],a[i]+dp[j-a[i]]);
	res+=sum-dp[sum/2];
}

P1466 [USACO2.2] 集合 Subset Sums

题目描述

对于从 1∼n 的连续整数集合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。举个例子，如果 n=3，对于 {1,2,3} 能划分成两个子集合，每个子集合的所有数字和是相等的：

{3} 和 {1,2} 是唯一一种分法（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数）

如果 n=7，有四种方法能划分集合 {1,2,3,4,5,6,7}，每一种分法的子集合各数字和是相等的:

{1,6,7} 和 {2,3,4,5}

{2,5,7} 和 {1,3,4,6}

{3,4,7} 和 {1,2,5,6}

{1,2,4,7} 和 {3,5,6}

给出 n，你的程序应该输出划分方案总数。

输入格式

输入文件只有一行，且只有一个整数 n

输出格式

输出划分方案总数。

输入输出样例

输入 #1

复制代码

输出 #1

复制代码

说明/提示

【数据范围】

对于 100% 的数据，1≤n≤39。

翻译来自NOCOW

USACO 2.2

解法

最暴力的方法肯定是搜索，但是动态规划也可以做，推导出的状态转移方程：dp[j]=dp[j]+dp[i]，那么就可以做了

题解

复制代码

sum=(n+1)*n/2;
if(sum%2!=0) {cout<<"0";return 0;}
sum/=2;
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=sum;j>=i;j--)
		dp[j]+=dp[j-i];

注意这里要输出dp[sum]/2

错误

没开long long

P2370 yyy2015c01 的 U 盘

题目背景

在 2020 年的某一天，我们的 yyy2015c01 买了个高端 U 盘。

题目描述

你找 yyy2015c01 借到了这个高端的 U 盘，拷贝一些重要资料，但是你发现这个 U 盘有一些问题：

这个 U 盘的传输接口很小，只能传输大小不超过 L 的文件。
这个 U 盘容量很小，一共只能装不超过 S 的文件。

但是你要备份的资料却有很多，你只能备份其中的一部分。

为了选择要备份哪些文件，你给所有文件设置了一个价值 Vi，你希望备份的文件总价值不小于 p。

但是很快你发现这是不可能的，因为 yyy2015c01 的传输接口太小了，你只有花钱买一个更大的接口（更大的接口意味着可以传输更大的文件，但是购买它会花费更多的钱）。

注意：你的文件不能被分割（你只能把一个文件整个的传输进去，并储存在U盘中）,

你放在 U 盘中文件的总大小不能超过 U 盘容量。

现在问题来了：你想知道，在满足 U 盘中文件价值之和不小于 p 时，最小需要多大的接口。

输入格式

第 1 行，三个正整数 n,p,S 分别表示文件总数，希望最小价值 p ，U 盘大小。

接下来 n 行，每行两个正整数 Wi,Vi，表示第 i 个文件的大小和价值。

输出格式

输出一个正整数表示最小需要的接口大小。

如果无解输出 No Solution!。

输入输出样例

输入 #1

复制代码

输出 #1

复制代码

输入 #2

复制代码

2 3 500
1 2
500 1

输出 #2

复制代码

输入 #3

复制代码

输出 #3

复制代码

No Solution!

输入 #4

复制代码

输出 #4

复制代码

No Solution!

说明/提示

1≤n,Wi,S≤10的3次方，1≤Vi≤10是6次方，1≤p≤10的9次方。

数据较小，请勿乱搞。

样例解释 1：买一个大小为 2 接口，把物品 1 、2 放进U盘。

样例解释 2：买一个大小为 500 的接口。

样例解释 3：本来可以买大小为 2 的接口，可是 U 盘容量放不下足够的文件。

如果数据出现疏漏，请联系出题人 a710128

向本题主人公 yyy2015c01 同学致敬！

解法

这里因为要放的价值不小于p，那么我们就要排序，所以我们要用结构体把w和v存起来，然后排序，就可以做这道题了

题解

复制代码

struct node
{
	int w,v;
}p[1005];
bool cmp(node x,node y)
{
	return x.w<y.w;
}

sort(p+1,p+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=s;j>=p[i].w;j--)
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-p[i].w]+p[i].v);
			if(dp[j]>=P)
			{
				cout<<p[i].w;
				return 0;
			}
		}

错误

状态转移方程的dp[j]写成dp[j-1]

P1507 NASA的食物计划

题目背景

NASA（美国航空航天局）因为航天飞机的隔热瓦等其他安全技术问题一直大伤脑筋，因此在各方压力下终止了航天飞机的历史，但是此类事情会不会在以后发生，谁也无法保证。所以，在遇到这类航天问题时，也许只能让航天员出仓维修。但是过多的维修会消耗航天员大量的能量，因此 NASA 便想设计一种食品方案，使体积和承重有限的条件下多装载一些高卡路里的食物。

题目描述

航天飞机的体积有限，当然如果载过重的物品，燃料会浪费很多钱，每件食品都有各自的体积、质量以及所含卡路里。在告诉你体积和质量的最大值的情况下，请输出能达到的食品方案所含卡路里的最大值，当然每个食品只能使用一次。

输入格式

第一行 2 个整数，分别代表体积最大值 h 和质量最大值 t。

第二行 1 个整数代表食品总数 n。

接下来 n 行每行 3 个数体积 hi，质量 ti，所含卡路里 ki。

输出格式

一个数，表示所能达到的最大卡路里（int 范围内）

输入输出样例

输入 #1

复制代码

输出 #1

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说明/提示

对于 100% 的数据，h,t,hi,ti≤400，n≤50，ki≤500。

解法

这里因为有两种w，所以我们要定义一个三维dp,当然我们可以用二维优化，其他没有什么区别

题解

复制代码

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=h;j>=w1[i];j--)
		for(int k=t;k>=w2[i];k--)
			dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-w1[i]][k-w2[i]]+v[i]);

P1855 榨取kkksc03

题目描述

洛谷 2 的团队功能是其他任何 OJ 和工具难以达到的。借助洛谷强大的服务器资源，任何学校都可以在洛谷上零成本的搭建 OJ 并高效率的完成训练计划。

为什么说是搭建 OJ 呢？为什么高效呢？

因为，你可以上传私有题目，团队外别人是无法看到的。我们还能帮你们评测！

你可以创建作业，给组员布置任务，查看组员的完成情况，还可以点评任意一份代码！

你可以创建比赛！既可以是 OI 赛制还可以是 ICPC 赛制！既可以是团队内部的私有比赛，也可以公开赛，甚至可以指定谁可以参加比赛。这样，搞"x 校联赛"最合适不过了。洛谷凭借这个功能，希望能够提供公开及私有比赛的另外一个平台。

值得说明的是，本次比赛就是采用团队私有题目+邀请比赛的机制。

洛谷的运营组决定，如果一名 OIer 向他的教练推荐洛谷，并能够成功的使用（成功使用的定义是：该团队有 20 个或以上的成员，上传 10 道以上的私有题目，布置过一次作业并成功举办过一次公开比赛），那么他可以浪费掉 kkksc03 的一些时间的同时消耗掉 kkksc03 的一些金钱以满足自己的一个愿望。

kkksc03 的时间和金钱是有限的，所以他很难满足所有同学的愿望。所以他想知道在自己的能力范围内，最多可以完成多少同学的愿望？

输入格式

第一行三个整数 n,M,T，表示一共有 n（1≤n≤100）个愿望， kkksc03 的手上还剩 M（0≤M≤200）元，他的暑假有 T（0≤T≤200）分钟时间。

第 2~n+1 行 mi , ti 表示第 i 个愿望所需要的金钱和时间。

输出格式

一行，一个数，表示 kkksc03 最多可以实现愿望的个数。

输入输出样例

输入 #1

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输出 #1

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解法

kkksc03疯了吗...

这里我们跟上一道题差不多，因为输入的两个输都是w，所以我们将v的每一个数设置成1，其他和上道题差不多

题解

复制代码

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	cin>>w1[i]>>w2[i];
	v[i]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=h;j>=w1[i];j--)
		for(int k=t;k>=w2[i];k--)
			dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-w1[i]][k-w2[i]]+v[i]);

P1509 找啊找啊找GF

题目背景

"找啊找啊找 GF，找到一个好 GF，吃顿饭啊拉拉手，你是我的好 GF。再见。"

"诶，别再见啊..."

七夕... 七夕... 七夕这个日子，对于 sqybi 这种单身的菜鸟来说是多么的痛苦... 虽然他听着这首叫做"找啊找啊找 GF"的歌，他还是很痛苦。为了避免这种痛苦，sqybi 决定要给自己找点事情干。他去找到了七夕模拟赛的负责人 zmc MM，让她给自己一个出题的任务。经过几天的死缠烂打，zmc MM 终于同意了。

但是，拿到这个任务的 sqybi 发现，原来出题比单身更让人感到无聊 -_- ... 所以，他决定了，要在出题的同时去办另一件能够使自己不无聊的事情------给自己找 GF。

题目描述

sqybi 现在看中了 n 个 MM，我们不妨把她们编号 1 到 n。请 MM 吃饭是要花钱的，我们假设请 i 号 MM 吃饭要花 rmb[i] 块大洋。而希望骗 MM 当自己 GF 是要费人品的，我们假设请第 i 号 MM 吃饭试图让她当自己 GF 的行为（不妨称作泡该 MM）要耗费 rp[i] 的人品。而对于每一个 MM 来说，sqybi 都有一个对应的搞定她的时间，对于第 i 个 MM 来说叫做 time[i]。sqybi 保证自己有足够的魅力用 time[i] 的时间搞定第 i 个 MM ^_^。

sqybi 希望搞到尽量多的 MM 当自己的 GF，这点是毋庸置疑的。但他不希望为此花费太多的时间（毕竟七夕赛的题目还没出），所以他希望在保证搞到 MM 数量最多的情况下花费的总时间最少。

sqybi 现在有 m 块大洋,他也通过一段时间的努力攒到了 r 的人品（这次为模拟赛出题也攒 rp 哦~~）。他凭借这些大洋和人品可以泡到一些 MM。他想知道，自己泡到最多的 MM 花费的最少时间是多少。

注意 sqybi 在一个时刻只能去泡一个 MM ------如果同时泡两个或以上的 MM 的话，她们会打起来的...

输入格式

输入的第一行是 n，表示 sqybi 看中的 MM 数量。

接下来有 n 行，依次表示编号为 1,2,3,...,n 的一个 MM 的信息。每行表示一个 MM 的信息，有三个整数：rmb，rp 和 time。

最后一行有两个整数，分别为 m 和 r。

输出格式

你只需要输出一行，其中有一个整数，表示 sqybi 在保证 MM 数量的情况下花费的最少总时间是多少。

输入输出样例

输入 #1

复制代码

输出 #1

复制代码

说明/提示

sqybi 说：如果题目里说的都是真的就好了...

sqybi 还说，如果他没有能力泡到任何一个 MM，那么他就不消耗时间了（也就是消耗的时间为 0），他要用这些时间出七夕比赛的题来攒 rp...

【数据规模】

对于 20% 的数据，1≤n≤10；

对于 100% 的数据，1≤rmb≤100，1≤rp≤100，1≤time≤1000。

对于 100% 的数据，1≤m,r,n≤100。

解法

因为这里我们有两个w，所以我们这里要定义两个dp来做

题解

复制代码

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=m;j>=w1[i];j--)
		for(int k=r;k>=w2[i];k--)
		{
			if(dp[j][k]<dp[j-w1[i]][k-w2[i]]+1)
			{
				dp[j][k]=dp[j-w1[i]][k-w2[i]]+1;
				f[j][k]=f[j-w1[i]][k-w2[i]]+v[i];
			}
			else if(dp[j][k]==dp[j-w1[i]][k-w2[i]]+1&&f[j][k]>f[j-w1[i]][k-w2[i]]+v[i]) f[j][k]=f[j-w1[i]][k-w2[i]]+v[i];
		}

好长的代码...

注意最后输出的是f数组的内容

P1616 疯狂的采药

题目背景

此题为纪念 LiYuxiang 而生。

题目描述

LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说："孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。"

如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

每种草药可以无限制地疯狂采摘。
药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 t 和代表山洞里的草药的数目 m。

第 2 到第 (m+1) 行，每行两个整数，第 (i+1) 行的整数 ai,bi 分别表示采摘第 i 种草药的时间和该草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例

输入 #1

复制代码

输出 #1

复制代码

说明/提示

数据规模与约定

对于 30% 的数据，保证 m≤103 。
对于 100% 的数据，保证 1≤m≤10的4次方，1≤t≤10的7次方，且 1≤m×t≤10的7次方，1≤ai,bi≤10的4次方。

解法

完全背包，只需要改一下内层循环的范围就可以了

题解

复制代码

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=w[i];j<=t;j++)
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

错误

数组范围开小了

P1679 神奇的四次方数

题目背景

在你的帮助下，v 神终于帮同学找到了最合适的大学，接下来就要通知同学了。在班级里负责联络网的是 dm 同学，于是 v 神便找到了 dm 同学，可 dm 同学正在忙于研究一道有趣的数学题，为了请 dm 出山，v 神只好请你帮忙解决这道题了。

题目描述

将一个整数 m 分解为 n 个四次方数的和的形式，要求 n 最小。例如，当 m=706 时，因为 706=5的4次方+3的4次方，所以有 n=2。可以证明此时 n 最小。

输入格式

一行，一个整数 m。

输出格式

一行，一个整数 n。

输入输出样例

输入 #1

复制代码

输出 #1

复制代码

说明/提示

数据范围及约定

对于 30% 的数据，m≤5000；
对于 100% 的数据，m≤100,000。

解法

将w[i]设置成i的4次方，v[i]置成1就可以做了，因为这里我们这个数的最大范围就是四次方根m，所以可以这么做

题解

复制代码

for(int i=1;i<=sqrt(sqrt(m));i++)
	w[i]=i*i*i*i;
memset(dp,0x3f,sizeof dp);
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=sqrt(sqrt(m));i++)
	for(int j=w[i];j<=m;j++)
		dp[j]=min(dp[j],dp[j-w[i]]+1);

错误

因为dp要求最小值，所以我们要把数组设为极大值

P2918 [USACO08NOV] Buying Hay S

题目描述

Farmer John is running out of supplies and needs to purchase H (1 <= H <= 50,000) pounds of hay for his cows.

He knows N (1 <= N <= 100) hay suppliers conveniently numbered 1..N. Supplier i sells packages that contain P_i (1 <= P_i <= 5,000) pounds of hay at a cost of C_i (1 <= C_i <= 5,000) dollars. Each supplier has an unlimited number of packages available, and the packages must be bought whole.

Help FJ by finding the minimum cost necessary to purchase at least H pounds of hay.

约翰的干草库存已经告罄，他打算为奶牛们采购 H(1≤H≤50000) 磅干草。

他知道 N(1≤N≤100) 个干草公司，现在用 1 到 N 给它们编号。第 i 公司卖的干草包重量为 Pi(1≤Pi≤5,000) 磅，需要的开销为 Ci(1≤Ci≤5,000) 美元。每个干草公司的货源都十分充足，可以卖出无限多的干草包。

帮助约翰找到最小的开销来满足需要，即采购到至少 H 磅干草。

输入格式

* Line 1: Two space-separated integers: N and H

* Lines 2..N+1: Line i+1 contains two space-separated integers: P_i and C_i

输出格式

* Line 1: A single integer representing the minimum cost FJ needs to pay to obtain at least H pounds of hay.

输入输出样例

输入 #1

复制代码

2 15 
3 2 
5 3

输出 #1

复制代码

说明/提示

FJ can buy three packages from the second supplier for a total cost of 9.

解法

这里还是完全背包，不过要输出最小的开销，所以我们应该输出j，其他没有什么问题

题解

复制代码

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=w[i];j<=5e5;j++)
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
int j=5e5;
while(dp[j--]>=h);
cout<<j+2;

错误

j应该最大取到5e5

P5662 [CSP-J2019] 纪念品

题目描述

小伟突然获得一种超能力，他知道未来 T 天 N 种纪念品每天的价格。某个纪念品的价格是指购买一个该纪念品所需的金币数量，以及卖出一个该纪念品换回的金币数量。

每天，小伟可以进行以下两种交易无限次：

任选一个纪念品，若手上有足够金币，以当日价格购买该纪念品；
卖出持有的任意一个纪念品，以当日价格换回金币。

每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。当然，一直持有纪念品也是可以的。

T 天之后，小伟的超能力消失。因此他一定会在第 T 天卖出所有纪念品换回金币。

小伟现在有 M 枚金币，他想要在超能力消失后拥有尽可能多的金币。

输入格式

第一行包含三个正整数 T,N,M，相邻两数之间以一个空格分开，分别代表未来天数 T，纪念品数量 N，小伟现在拥有的金币数量 M。

接下来 T 行，每行包含 N 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔。第 i 行的 N 个正整数分别为 Pi,1,Pi,2,...,Pi,N，其中 Pi,j 表示第 i 天第 j 种纪念品的价格。

输出格式

输出仅一行，包含一个正整数，表示小伟在超能力消失后最多能拥有的金币数量。

输入输出样例

输入 #1

复制代码

输出 #1

复制代码

输入 #2

复制代码

输出 #2

复制代码

说明/提示

样例 1 说明

最佳策略是：

第二天花光所有 100 枚金币买入 5 个纪念品 1；

第三天卖出 5 个纪念品 1，获得金币 125 枚；

第四天买入 6 个纪念品 1，剩余 5 枚金币；

第六天必须卖出所有纪念品换回 300 枚金币，第四天剩余 5 枚金币，共 305 枚金币。

超能力消失后，小伟最多拥有 305 枚金币。

样例 2 说明

最佳策略是：

第一天花光所有金币买入 10 个纪念品 1；

第二天卖出全部纪念品 1 得到 150 枚金币并买入 8 个纪念品 2 和 1 个纪念品 3，剩余 1 枚金币；

第三天必须卖出所有纪念品换回 216 枚金币，第二天剩余 1 枚金币，共 217 枚金币。

超能力消失后，小伟最多拥有 217 枚金币。

数据规模与约定

对于 10% 的数据，T=1。

对于 30% 的数据，T≤4,N≤4,M≤100，所有价格 10≤Pi,j≤100。

另有 15% 的数据，T≤100,N=1。

另有 15% 的数据，T=2,N≤100。

对于 100% 的数据，T≤100,N≤100,M≤10的3次方，所有价格 1≤Pi,j≤10的4次方，数据保证任意时刻，小伟手上的金币数不可能超过 10的4次方。

解法

直接不管亏还是赚都去试试，反正dp会帮我们找到答案

题解

复制代码

for(int k=1;k<t;k++)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		w[i]=p[k][i];
		v[i]=p[k+1][i]-p[k][i];
	}
	memset(dp,0,sizeof dp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=w[i];j<=m;j++)
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
	m+=dp[m];
}