AVL树和红黑树的特性以及模拟实现

zzzzz_ccc2025-07-26 19:43

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AVL树的特性

红黑树和 AVL 树都是计算机科学中常用的自平衡二叉搜索树，它们通过特定的平衡规则维持树的结构，确保插入、删除、查找等操作的时间复杂度稳定在O(log n)（n 为节点数量）

1.AVL树的特性

AVL 树是最早发明的自平衡二叉搜索树，其核心特性围绕 "节点高度平衡" 展开

  1. 二叉搜索树的基础特性

    • 对于任意节点，其左子树中所有节点的值均小于该节点的值；右子树中所有节点的值均大于该节点的值。

  2. 平衡条件：左右子树高度差不超过 1

    • 每个节点的平衡因子（左子树高度 - 右子树高度）的绝对值必须≤1。
    • 节点的 "高度" 指从该节点到最远叶子节点的路径长度（叶子节点高度为 0，空节点高度为 - 1）。

  3. 失衡后的调整：旋转操作

    • 当插入或删除节点导致平衡因子绝对值＞1 时，通过旋转 （左旋、右旋、左右旋、右左旋）恢复平衡。
      • 例如：左左失衡（左子树的左子树过高）→ 右旋；右右失衡→左旋；左右失衡→先左旋后右旋；右左失衡→先右旋后左旋。

  4. 优点与缺点

    • 优点：平衡度高，查找效率稳定（因为树的高度严格控制在 O (log n)）。
    • 缺点：插入和删除操作频繁时，旋转次数多（维护成本高），适合查询多、修改少的场景。

AVL树的模拟实现

cpp 复制代码 
#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
#include<vector>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V>_kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;//balace factor

	//拷贝构造
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
		{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		//链接父亲
		cur->_parent = parent;
		//控制平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}
			if (parent->_bf == 0)
			{//更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//继续更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//不平衡，需要旋转
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

	// 右旋转
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		Node* pParent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
				subL->_parent = pParent;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
				subL->_parent = pParent;
			}
		}
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	//左旋转
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* pParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (pParent==nullptr )
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == pParent->_left)
			{
				pParent->_left = subR;
				subR->_parent = pParent;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subR;
				subR->_parent = pParent;
			}
		}
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

	//左右旋转
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);// 就是这个位置了
		}
	}

	//右左旋转
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if(bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	//AVL的查找 
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}

		return nullptr;
	}

	//析构AVL树
	~AVLTree()
	{
		_DestoryAVLTree(_root);
	}

	void InOrder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	bool IsBalanceTree()
	{
		return _IsBalanceTree(_root);
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

private:
	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ':' << root->_kv.second<<endl;
		_Inorder(root->_right);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHright = _Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHright ? leftHeight + 1 : rightHright + 1;
	}

	int _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		return _Size(root->_left)+_Size(root->_right) + 1;
	}

	//判断树是不是AVL树
	bool _IsBalanceTree(Node* root)
	{
		// 空树也是AVL树
		if (nullptr == root)
			return true;
		// 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		int diff = rightHeight - leftHeight;

		// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
		// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
		if (abs(diff) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_bf != diff)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
		return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
	}

	void _DestoryAVLTree(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_DestoryAVLTree(root->_left);
		_DestoryAVLTree(root->_right);
		delete root;
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.红黑树的特性

红黑树通过 "颜色标记 " 和一系列规则维持平衡，平衡条件比 AVL 树宽松，核心是确保 "最长路径不超过最短路径的 2 倍"

  1. 二叉搜索树的基础特性

    • 与 AVL 树一致，左子树值＜节点值＜右子树值。

  2. 颜色规则

    • 每个节点要么是红色 ，要么是黑色。
    • 根节点必须是黑色。
    • 叶子节点（NIL 节点，空节点）必须是黑色（实际实现中可能省略，仅逻辑上存在）。
    • 如果一个节点是红色，其两个子节点必须是黑色（即：不存在连续的红色节点）。
    • 从任意节点到其所有叶子节点的路径中，黑色节点的数量相同（称为 "黑高" 相等）。

  3. 失衡后的调整：变色与旋转

    • 插入或删除节点后，若违反颜色规则，通过变色 （改变节点颜色）和旋转（同 AVL 树的四种旋转）恢复平衡。
    • 插入时新节点默认为红色（减少对黑高的影响），若父节点为红色（违反 "无连续红节点" 规则），则触发调整（如：叔叔节点为红则变色，叔叔节点为黑则旋转 + 变色）。

  4. 优点与缺点

    • 优点：插入和删除时旋转次数少（平均 1-2 次），维护成本低，适合修改频繁的场景（如集合、映射等数据结构）。
    • 缺点：平衡度不如 AVL 树严格，极端情况下查找效率略低于 AVL 树，但仍为 O (log n)。

红黑树的模拟实现

cpp 复制代码 
#pragma once

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	// 这里更新控制平衡也要加入parent指针
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
	{}
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;

			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		// 链接父亲
		cur->_parent = parent;

		// 父亲是红色，出现连续的红色节点，需要处理
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				//   g
				// p   u
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						//     g
						//   p    u
						// c
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//      g
						//   p    u
						//     c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
			else
			{
				//   g
				// u   p
				Node* uncle = grandfather->_left;
				// 叔叔存在且为红，-》变色即可
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
				{
					// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
					// 旋转+变色
					//   g
					// u   p
					//       c
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
		}

		_root->_col = BLACK;

		return true;
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* pParent = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = pParent;
		}
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}

		return nullptr;
	}

	bool isbalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;

		if (_root->_col == RED)
			return false;

		// 参考值
		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				++refNum;
			}
			cur = cur->_left;
		}

		return Check(_root, 0, refNum);
	}

private:

	bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			// 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
			//cout << blackNum << endl;
			if (refNum != blackNum)
			{
				cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}

		// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			blackNum++;
		}

		return Check(root->_left, blackNum, refNum)
			&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	int _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

|------|------------------|--------------------|
| 特性 | AVL树 | 红黑树 |
| 树高 | 严格 O (log n)（更矮） | O (log n)（可能稍高） |
| 旋转次数 | 插入最多 2 次，删除可能更多 | 插入最多 2 次，删除最多 3 次 |
| 平衡依据 | 节点平衡因子（高度差≤1） | 颜色规则（最长路径≤最短路径 ×2） |
| 空间开销 | 需存储每个节点的高度信息 | 需存储颜色标记 |
| 使用场景 | 查询操作频繁 | 插入 / 删除频繁 |

总的来说：

1.AVL 树 是 "严格平衡" 的二叉树，适合查询密集型场景，代价是修改操作效率低。

2.红黑树 是 "近似平衡" 的二叉树，修改操作效率更高，在实际工程中应用更广泛（如 C++ STL 的 map/set、Linux 内核、Java 的 TreeMap 等）。

3.两者本质都是通过平衡规则避免二叉搜索树退化为链表（O (n) 复杂度），但平衡策略的宽松程度决定了它们的适用场景差异。

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