线性代数被广泛应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数能被具体表示，线性代数被泛化为算子理论。而非线性模型被近似为线性模型，应用场景多为自然科学和社会科学。
费马和笛卡尔的工作，线性代数出现于十七世纪直到十八世纪末，线性代数局限在平面和空间；十九世纪上半叶完成了到m维向量空间的过度，矩阵论始于凯莱。在十九世纪下半叶若当的工作达到了顶点。而在1888年皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线代的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。该概念在多数情况下摆脱矩阵计算引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择，不用交换而未必交换之体或环作为算子之定义域，引向模的概念。显著推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪研究过的情况。
线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量称为n维空间。在二维和三维空间大多数有用的结论可以扩展到高维，
1. 基本概念
线性代数