设 是一个
的复数矩阵，其共轭转置矩阵（Hermitian 共轭）记为
（即
），则矩阵
（
）和
（
）的性质如下文所述。
1. Hermitian 性（自共轭性）
和
都是 Hermitian 矩阵，即：
同理 。
这意味着它们的特征值都是实数。
2. 半正定性（Positive Semi-definiteness）
对于任意非零向量 ，有：
因此， 是半正定矩阵（所有特征值
）。同理
也是半正定的。
3. 秩的关系
即 和
的秩等于
的秩。
4. 特征值的非负性
由于 和
是半正定的，它们的特征值都是非负实数。此外：
的非零特征值与
的非零特征值相同（尽管维数可能不同）。
如果 是方阵且可逆，则
和
是正定矩阵（所有特征值
）。
5. 矩阵 
开平方根
5.1 存在平方根矩阵
首先， 时，
可以开平方根！
因为 是半正定 Hermitian 矩阵，它一定存在唯一的半正定平方根
，
即：
5.2 计算方法
5.2.1. 谱分解（对角化）
由于 是 Hermitian 矩阵，它可以被对角化为：
其中 是酉矩阵（
），
是对角矩阵，其对角元素是
的特征值（非负实数）。
则平方根为：
其中 是对
的对角元素取算术平方根。
5.2.2. Cholesky 分解（如果 正定）
如果 是正定的（即
是满秩的），还可以计算 Cholesky 分解：
其中 是下三角矩阵，此时
可以取
。
综上， 是半正定 Hermitian 矩阵，其特征值非负，可以开平方根。
平方根 存在且唯一（如果要求半正定），可以通过谱分解或 Cholesky 分解计算。
如果 是方阵且可逆，则
是正定的，平方根计算更简单。
5.3 共轭转置矩阵乘积平方根的常见应用场景
在量子力学中，密度矩阵 满足
且半正定，可以定义
。在信号处理和统计学中，协方差矩阵
是半正定的，其平方根用于白化变换。在奇异值分解（SVD）中，
和
的平方根与
的奇异值直接相关。
重要结论
复数矩阵 与其共轭转置
的乘积
总是可以开平方根，并且该平方根是唯一的半正定矩阵。