复矩阵与共轭转置矩阵乘积及其平方根矩阵

是一个 的复数矩阵,其共轭转置矩阵(Hermitian 共轭)记为 (即 ),则矩阵 )和 )的性质如下文所述。

1. Hermitian 性(自共轭性)

都是 Hermitian 矩阵,即:

同理

这意味着它们的特征值都是实数

2. 半正定性(Positive Semi-definiteness)

对于任意非零向量 ,有:

因此, 是半正定矩阵(所有特征值 )。同理 也是半正定的。

3. 秩的关系

的秩等于 的秩。

4. 特征值的非负性

由于 是半正定的,它们的特征值都是非负实数。此外:

的非零特征值与 的非零特征值相同(尽管维数可能不同)。

如果 是方阵且可逆,则 是正定矩阵(所有特征值)。

5. 矩阵 开平方根

5.1 存在平方根矩阵

首先, 时, 可以开平方根!

因为 是半正定 Hermitian 矩阵,它一定存在唯一的半正定平方根

即:

5.2 计算方法

5.2.1. 谱分解(对角化)

由于 是 Hermitian 矩阵,它可以被对角化为:

其中 是酉矩阵(), 是对角矩阵,其对角元素是 的特征值(非负实数)。

则平方根为:

其中 是对 的对角元素取算术平方根。

5.2.2. Cholesky 分解(如果 正定)

如果 是正定的(即 是满秩的),还可以计算 Cholesky 分解:

其中 是下三角矩阵,此时 可以取

综上, 是半正定 Hermitian 矩阵,其特征值非负,可以开平方根。

平方根 存在且唯一(如果要求半正定),可以通过谱分解或 Cholesky 分解计算。

如果 是方阵且可逆,则 是正定的,平方根计算更简单。

5.3 共轭转置矩阵乘积平方根的常见应用场景

在量子力学中,密度矩阵 满足 且半正定,可以定义 。在信号处理和统计学中,协方差矩阵 是半正定的,其平方根用于白化变换。在奇异值分解(SVD)中, 的平方根与 的奇异值直接相关。

重要结论

复数矩阵 与其共轭转置 的乘积 总是可以开平方根,并且该平方根是唯一的半正定矩阵。

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