wqs 二分

0.前言

去年 10 月底学了一遍，当前再次学习并记录。

wqs 二分，也称带权二分，一般用于优化决策单调性优化 DP。

1.wqs 二分

对于此类问题：给定 $n$ 个物品，现要求将其分为 $m$ 段，每段存在相应的代价 $w$，求代价最值。

如果没有限制段数，可以考虑使用决策单调性优化或者斜优来做到 $\mathcal{O(n \log n)}$ 或 $\mathcal{O(n)}$，再加上一维段数的限制，我们可以得到一个 $\mathcal{O(mc)}$（$c = n\log n$ 或 $n$）的算法，即 $f_{i,cnt}$ 表示前 $i$ 个物品，分了 $cnt$ 段的代价最值。那么有如下转移：

\[f_{i,cnt} = f_{j,cnt - 1} + w(j,i) \]

但当 $\mathcal{O(nm)}$ 过大，上述做法会 TLE，此时需要考虑使用 wqs 二分来优化 DP。

首先假设我们讨论的情形是，求最小值。将 $(i,g_i = f_{n,i})$ 当作点全部放在平面直角坐标系中，并顺次连接，假设得到的是下凸包。

该函数图像就表示了限制分为 $i$ 段时的代价最小值，得到的图像为下凸包，该条件等价于 $\forall i \in [2,m - 1], g_{i - 1} - g_{i} \ge g_{i} - g_{i + 1} \Leftrightarrow \Delta \downarrow$。

画出该下凸包。图中标红的点 C 即为要求的点 $(m,g_{m})$。

拿一条斜率为 $k$ 直线去截我们需要的答案点，所二分的即为斜率 $k$ ，如果能够求出所截到的点 $(p,g_p)$，就能够通过比较 $p$ 与 $m$，考虑斜率是需要增大还是减小，再调整二分区间。

如果我们观察该斜率的直线与凸包上每个点的相交后的直线，会发现第一个截到的点的截距最小（上凸包则为截距最大），观察 $b = y - kx$ 的式子，问题可以等价于求 $\min\limits_{i = 1}^m \{f_i - ki\}$。

相当于每次分段的时候将贡献 $- k$，等价于做无段数限制的 DP。 这就是 wqs 二分的核心。注意并非每次都是将贡献 $-k$，需要考虑该题求的是最大代价还是最小代价，需要向着与要求最值相反的方向来进行加减，这样方可起到限制段数的作用。

在做 DP 的时候可以记录转移次数，即得到所截点的横坐标 $p$。但我们二分完斜率之后，需要将答案斜率再 check 一遍得到答案的 $f_n$，最终答案需要加上 $m \times k$。

2.特别注意

I.多点共线

在题目中，通常会遇到多点共线的情况，如图，所求点为 D，但是点 C，E 也同样会被截到。

在决策单调性优化 DP一文中我提到过取决策点时，通常需要钦定取最小决策点还是最大决策点，就我个人的写法而言，取的是最小决策点，此时会取到共线点的左端点，所以此时在 check 的时候我应该判断转移次数 $g_n \le m$（此处的 $g_n$ 指转移次数，并非上文的 $f_{n,m}$）。如果写 $g_n \ge m$，那么在共线的时候并不会记录答案，而是直接改变斜率继续二分，此时可能我们就不能再二分到答案斜率了。

关于该点详见帖子。

II.斜率

若贡献均为整数，则我们二分斜率也为整数，如果贡献为小数，才会采用小数二分，一般情况下整数贡献不会采用小数二分，时间限制可能不能接受。

III.内层 DP 为斜优

此时需要极度注意细节。

思考你在出队头队尾时所取的点是最小决策点还是最大决策点，即取不取等，该点需与 check 的判断条件相对应，与 I. 中所叙述的问题类似。如果取的是最小决策点那么出队时判断不应该取等。

3.例题

I.P6246 [IOI 2000] 邮局加强版加强版

此题需要严格注意细节才能通过。

做该题前可以先把 $\mathcal{O(pn\log n)}$ 的做法写出来，即P4767 [IOI 2000] 邮局加强版。

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>

// #define int long long
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define ld long double
#define rep(i,l,r) for (int i = (int)(l); i <= (int)(r); ++ i )
#define rep1(i,l,r) for (int i = (int)(l); i >= (int)(r); -- i )
#define il inline
#define fst first
#define snd second
#define ptc putchar
#define Yes ptc('Y'),ptc('e'),ptc('s'),puts("")
#define No ptc('N'),ptc('o'),puts("")
#define YES ptc('Y'),ptc('E'),ptc('S'),puts("")
#define NO ptc('N'),ptc('O'),puts("")
#define pb emplace_back
#define sz(x) (int)(x.size())
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define get(x) ((x - 1) / len + 1)
#define debug() puts("------------")

using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<int,PII> PIII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
namespace szhqwq {
    template<class T> il void read(T &x) {
        x = 0; T f = 1; char ch = getchar();
        while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
        while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
        x *= f;
    }
    template<class T,class... Args> il void read(T &x,Args &...x_) { read(x); read(x_...); }
    template<class T> il void print(T x) {
        if (x < 0) ptc('-'), x = -x; 
        if (x > 9) print(x / 10); ptc(x % 10 + '0');
    }
    template<class T,class T_> il void write(T x,T_ ch) { print(x); ptc(ch); }
    template<class T,class T_> il void chmax(T &x,T_ y) { x = max(x,y); }
    template<class T,class T_> il void chmin(T &x,T_ y) { x = min(x,y); }
    template<class T,class T_,class T__> il T qmi(T a,T_ b,T__ p) {
        T res = 1; while (b) {
            if (b & 1) res = res * a % p;
            a = a * a % p; b >>= 1;
        } return res;
    }
    template<class T> il T gcd(T a,T b) { if (!b) return a; return gcd(b,a % b); }
    template<class T,class T_> il void exgcd(T a, T b, T_ &x, T_ &y) {
        if (b == 0) { x = 1; y = 0; return; }
        exgcd(b,a % b,y,x); y -= a / b * x; return ;
    }
    template<class T,class T_> il T getinv(T x,T_ p) { T inv,y; exgcd(x,(T)p,inv,y); inv = (inv + p) % p; return inv; }
} using namespace szhqwq;
const int N = 3010,inf = 1e9,mod = 998244353;
const ull base = 131,base_ = 233;
const ll inff = 1e18;
int n,p;
int a[N],f[N][310],s[N];
int q[N],hh = 1,tt;

il int calc(int j,int i) {
    int mid = i + j >> 1;
    int dis = s[i] - s[mid] - (i - mid) * a[mid] + (mid - j + 1) * a[mid] - (s[mid] - s[j - 1]);
    return dis;
}

il int check(int j,int i,int c) {
    if (f[j][c - 1] + calc(j + 1,n) <= f[i][c - 1] + calc(i + 1,n)) return n + 1; // 注意 <=
    int l = i,r = n,ret = -1;
    while (l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (f[j][c - 1] + calc(j + 1,mid) > f[i][c - 1] + calc(i + 1,mid)) r = mid - 1,ret = mid; // 注意 >，两处地方共同构成了取最小决策点的写法
        else l = mid + 1;
    }
    return ret;
}

il void solve() {
    //------------code------------
    read(n,p);
    rep(i,1,n) read(a[i]),s[i] = s[i - 1] + a[i];
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    sort(a + 1,a + n + 1);
    // cerr << calc(1,4) << endl;
    f[0][0] = 0;
    rep(cnt,1,p) {
        hh = 1; tt = 0;
        rep(i,1,n) {
            // cerr << hh << " " << tt << endl;
            while (hh <= tt && check(q[hh - 1],q[hh],cnt) <= i) ++ hh;
            int j = q[hh - 1];
            f[i][cnt] = f[j][cnt - 1] + calc(j + 1,i);
            while (hh <= tt && check(q[tt - 1],q[tt],cnt) >= check(q[tt],i,cnt)) -- tt;
            q[++ tt] = i;
        }
    }
    // rep(i,1,n) {
    //     rep(j,1,p) cerr << f[i][j] << " ";
    //     cerr << '\n';
    // }
    write(f[n][p],'\n');
    return ;
}

il void init() {
    return ;
}

signed main() {
    // init();
    int _ = 1;
    // read(_);
    while (_ -- ) solve();
    return 0;
}

观察 $(i,f_{n,i})$ 构成的函数图像，感性猜测该题为斜率为负的下凸包，当然可以严谨证明，大多数情况下我们通常仅进行猜测。所以在取最小决策点的情况下，如果 $g_n \le m$，则增大斜率 $l \gets mid + 1,ret \gets mid$，反之 $r \gets mid - 1$。因为该题要求最小值，所以在 check 里 DP 转移中要限制其的段数，故我们需要 $- k$ ，等价于每次转移会多加上一个正整数。

最后答案再加上 $p \times k$ 即可。

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>

// #define int long long
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define ld long double
#define rep(i,l,r) for (int i = (int)(l); i <= (int)(r); ++ i )
#define rep1(i,l,r) for (int i = (int)(l); i >= (int)(r); -- i )
#define il inline
#define fst first
#define snd second
#define ptc putchar
#define Yes ptc('Y'),ptc('e'),ptc('s'),puts("")
#define No ptc('N'),ptc('o'),puts("")
#define YES ptc('Y'),ptc('E'),ptc('S'),puts("")
#define NO ptc('N'),ptc('O'),puts("")
#define pb emplace_back
#define sz(x) (int)(x.size())
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define get(x) ((x - 1) / len + 1)
#define debug() puts("------------")

using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<int,PII> PIII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
namespace szhqwq {
    template<class T> il void read(T &x) {
        x = 0; T f = 1; char ch = getchar();
        while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
        while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
        x *= f;
    }
    template<class T,class... Args> il void read(T &x,Args &...x_) { read(x); read(x_...); }
    template<class T> il void print(T x) {
        if (x < 0) ptc('-'), x = -x; 
        if (x > 9) print(x / 10); ptc(x % 10 + '0');
    }
    template<class T,class T_> il void write(T x,T_ ch) { print(x); ptc(ch); }
    template<class T,class T_> il void chmax(T &x,T_ y) { x = max(x,y); }
    template<class T,class T_> il void chmin(T &x,T_ y) { x = min(x,y); }
    template<class T,class T_,class T__> il T qmi(T a,T_ b,T__ p) {
        T res = 1; while (b) {
            if (b & 1) res = res * a % p;
            a = a * a % p; b >>= 1;
        } return res;
    }
    template<class T> il T gcd(T a,T b) { if (!b) return a; return gcd(b,a % b); }
    template<class T,class T_> il void exgcd(T a, T b, T_ &x, T_ &y) {
        if (b == 0) { x = 1; y = 0; return; }
        exgcd(b,a % b,y,x); y -= a / b * x; return ;
    }
    template<class T,class T_> il T getinv(T x,T_ p) { T inv,y; exgcd(x,(T)p,inv,y); inv = (inv + p) % p; return inv; }
} using namespace szhqwq;
const int N = 5e5 + 10,inf = 1e9,mod = 998244353;
const ull base = 131,base_ = 233;
const ll inff = 1e18;
int n,p;
ll a[N],f[N],s[N],g[N];
int q[N],hh = 1,tt;

il ll calc(int j,int i) {
    int mid = i + j >> 1;
    ll dis = s[i] - s[mid] - (i - mid) * a[mid] + (mid - j + 1) * a[mid] - (s[mid] - s[j - 1]);
    return dis;
}

il int check(int j,int i) {
    if (f[j] + calc(j + 1,n) <= f[i] + calc(i + 1,n)) return n + 1;
    int l = i,r = n,ret = -1;
    while (l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (f[j] + calc(j + 1,mid) > f[i] + calc(i + 1,mid)) r = mid - 1,ret = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return ret;
}

il bool check__(int val) {
    hh = 1; tt = 0; f[0] = g[0] = 0;
    rep(i,1,n) {
        // cerr << hh << " " << tt << endl;
        while (hh <= tt && check(q[hh - 1],q[hh]) <= i) ++ hh;
        int j = q[hh - 1];
        f[i] = f[j] + calc(j + 1,i) - val; g[i] = g[j] + 1;
        while (hh <= tt && check(q[tt - 1],q[tt]) >= check(q[tt],i)) -- tt;
        q[++ tt] = i;
    }
    return g[n] <= p;
}

il void solve() {
    //------------code------------
    read(n,p);
    rep(i,1,n) read(a[i]);
    sort(a + 1,a + n + 1);
    rep(i,1,n) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    int l = -1e7,r = 0,ret = 0;
    while (l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check__(mid)) l = mid + 1,ret = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    check__(ret);
    write(f[n] + p * ret,'\n');
    return ;
}

il void init() {
    return ;
}

signed main() {
    // init();
    int _ = 1;
    // read(_);
    while (_ -- ) solve();
    return 0;
}

4.练习题

直接借用他人的题单。Link

5.参考资料

DP 优化方法大杂烩 I. - Alex_wei

wqs 二分入门 - MafuyuQWQ

【学习笔记】WQS二分详解及常见理解误区解释 - ikrvxt

作者水平有限，如有错误请指出。