目录
- 零、题目描述
- 一、为什么这道题值得你花几分钟看懂？
- 二、从"序列特性"到"环模型"：思路的转化
- 三、快慢指针实现：判断循环与结果
- 四、完整代码与解析
-
- 完整代码（附详细注释）
- [代码走读（示例1：`n = 19`）](#代码走读（示例1：
n = 19）) - 复杂度分析
- 五、常见问题与解决方案
- 六、举一反三
零、题目描述
题目链接：快乐数
题目描述：
示例 1：
输入：n = 19
输出：true
解释：
1² + 9² = 82
8² + 2² = 68
6² + 8² = 100
1² + 0² + 0² = 1
示例 2：输入：n = 2
输出：false
提示：1 <= n <= 2^31 - 1
一、为什么这道题值得你花几分钟看懂？
快乐数的判定问题，看似是数学序列的游戏，实则藏着算法中"模型转化"的精髓。它的价值在于：让你学会如何把一个看似陌生的问题，套进熟悉的解题框架里。
当你计算数字的平方和时，会发现序列的演变路径和链表惊人地相似------每个数字都像一个节点，平方和的计算过程就是节点指向的"指针"。而题目中"无限循环"的特性，本质上就是链表中"环"的具象化。这种转化能力，能帮你打通 快乐数 与 环形链表（LeetCode 141）的思维壁垒：
- 就像环形链表中用快慢指针判断是否有环一样，快乐数中同样可以用快慢指针捕捉循环
- 环形链表找环的入口对应快乐数中循环的起点，而1这个特殊值则对应"无环且终点为1"的理想情况
搞定这道题，你不仅能掌握快慢指针的另一种妙用，更能学会"透过现象看本质"------当未来遇到新问题时，会下意识地思考："它和我学过的哪个模型相似？" 这种联想能力，才是算法进阶的关键。
如果对环形链表的快慢指针玩法还不熟悉，建议先攻克LeetCode 141，再回头看这道题，会有"原来如此"的顿悟感~
二、从"序列特性"到"环模型"：思路的转化
1. 分析快乐数的判定过程
对于一个数n，按照规则计算每个位置上数字的平方和，会得到一个新的数，不断重复这个过程，会形成一个序列。例如对于19：
19 → 82 → 68 → 100 → 1 → 1 → ...
这个序列有两种可能的结局：
- 最终会得到1，之后一直保持1，这样的数就是快乐数。
- 进入一个循环，永远不会得到1，这样的数就不是快乐数。
2. 发现与链表环的相似性
观察这个序列，每个数都可以看作是一个节点，从一个数到它的平方和的过程就如同链表中的指针指向。如果序列进入循环，就相当于链表中出现了环。
例如对于不快乐的数2：
2 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → ...
从4开始进入了循环，就像链表中4这个节点之后形成了环。
3. 突破口：用判断链表环的方法解决问题
既然快乐数的判定过程可以转化为判断序列是否有环，以及环的入口是否为1，那么判断链表是否带环的快慢指针法就可以派上用场了：
- 慢指针每次计算一次平方和。
- 快指针每次计算两次平方和。
- 如果最终快慢指针相遇时的值为1，就是快乐数；否则，就不是。
三、快慢指针实现：判断循环与结果
1. 辅助函数：计算数字的平方和
首先需要一个函数来计算一个数每个位置上数字的平方和：
cpp
int bitsum(int n)
{
int sum = 0;
while (n)
{
int t = n % 10; // 取出最后一位数字
sum += t * t; // 累加该数字的平方
n /= 10; // 去掉最后一位数字
}
return sum;
}2. 快慢指针的应用
- 初始化慢指针
slow为n，快指针fast为n的平方和（即bitsum(n)）。 - 循环执行：慢指针每次计算一次平方和，快指针每次计算两次平方和，直到快慢指针相等。
- 最后判断快慢指针相遇时的值是否为1，若是则返回true，否则返回false。
cpp
bool isHappy(int n)
{
int slow = n, fast = bitsum(n);
while (slow != fast)
{
slow = bitsum(slow); // 慢指针走一步
fast = bitsum(bitsum(fast)); // 快指针走两步
}
return slow == 1; // 相遇时为1则是快乐数
}四、完整代码与解析
完整代码（附详细注释）
cpp
class Solution {
public:
// 计算一个数每个位置上数字的平方和
int bitsum(int n)
{
int sum = 0;
while (n)
{
int t = n % 10; // 取出最后一位数字
sum += t * t; // 累加该数字的平方
sum += t * t;
n /= 10; // 去掉最后一位数字
}
return sum;
}
bool isHappy(int n)
{
// 初始化慢指针为n，快指针为n的平方和
int slow = n, fast = bitsum(n);
// 当快慢指针不相等时，继续循环
while (slow != fast)
{
slow = bitsum(slow); // 慢指针每次计算一次平方和
fast = bitsum(bitsum(fast)); // 快指针每次计算两次平方和
}
// 当快慢指针相等时，如果值为1则是快乐数，否则不是
return slow == 1;
}
};代码走读（示例1：n = 19）
- 初始化：
slow = 19，fast = bitsum(19) = 1² + 9² = 82 - 第一次循环：
slow != fastslow = bitsum(19) = 82fast = bitsum(bitsum(82)) = bitsum(8² + 2²) = bitsum(68) = 6² + 8² = 100
- 第二次循环：
slow != fastslow = bitsum(82) = 68fast = bitsum(bitsum(100)) = bitsum(1² + 0² + 0²) = bitsum(1) = 1
- 第三次循环：
slow != fastslow = bitsum(68) = 100fast = bitsum(bitsum(1)) = bitsum(1) = 1
- 第四次循环：
slow != fastslow = bitsum(100) = 1fast = bitsum(bitsum(1)) = bitsum(1) = 1
- 此时
slow == fast，退出循环，返回slow == 1，即true
复杂度分析
| 复杂度类型 | 具体值 | 说明 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(log n) | 对于每次计算平方和，数字的位数大约是log n（以10为底），而快慢指针相遇的次数是有限的，整体可看作O(log n) |
| 空间复杂度 | O(1) | 只使用了常数个额外变量 |
五、常见问题与解决方案
-
为什么快慢指针一定会相遇？
- 因为数字的平方和序列要么最终得到1，要么进入循环。当进入循环时，快指针速度比慢指针快，最终一定会追上慢指针，即相遇。
-
为什么相遇时如果是1就是快乐数？
- 因为如果是快乐数，序列最终会稳定在1，此时快慢指针都会指向1，所以相遇时为1；如果不是快乐数，序列会进入一个不含1的循环，相遇时就不是1。
-
计算平方和时需要考虑负数吗？
- 不需要，因为题目中n是正整数，且平方和的计算结果也一定是非负的，而正整数的平方和计算过程中不会出现负数。
六、举一反三
这道题的快慢指针思路可推广到：
- 检测循环：任何可能出现循环的序列问题，都可以用快慢指针来判断是否有循环以及循环的位置。
- 优化查找：在一些需要重复计算的问题中，可通过快慢指针减少计算次数，提高效率。
下一题预告：LeetCode 11. 盛最多水的容器！这道题会让你亲眼见证双指针的 "收缩魔法"------ 明明是看似需要枚举所有可能的问题，却能通过巧妙移动左右边界，用 O (n) 时间找到最优解。想象一下：两根柱子立在坐标系里，如何快速找到间距与高度的完美平衡？明天的解析会带你拆解其中的贪心逻辑，看完你一定会惊叹："原来还能这么算！"
最后欢迎大家在评论区分享你的代码或思路，咱们一起交流探讨~ 🌟 要是有大佬有更精妙的思路或想法，恳请在评论区多多指点批评，我一定会虚心学习，并且第一时间回复交流哒！
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