笛卡尔坐标 - 技术栈

在本主题中，我们将讨论笛卡尔坐标系，这是一种在二维空间中绘制点的方法。你可能在学校里学过，称为 x--y 平面，所以本节内容更像是一次回顾。

笛卡尔坐标系是最常见的坐标系统，它基于正交轴的概念，也就是说你可以沿着一个轴移动，而不会影响在另一个轴上的位置。例如在地图上，南北方向的轴与东西方向的轴是正交的。

在平面上，笛卡尔坐标系由一个点 O （原点）组成，它的坐标是 (0, 0) ，还有两条正交的轴，分别是 x 轴 和 y 轴。这两条轴在原点 O 处相交，形成直角，并将平面划分为四个对称的部分。

平面上的每个点都是相对于这两条轴来定义的，因此它都有两个坐标：x 坐标 和 y 坐标 。这两个坐标都是实数。按照约定，我们将它们写作 (x, y) ，例如下面绿色的点坐标是 x = 2，y = 3 ，因此它表示为 (2, 3)。

这张图展示了每个点可以看作是一个 x 坐标 （水平虚线）加上一个 y 坐标 （垂直虚线）------包括原点 O，在这个点上这两条线的长度都是 0。

如前所述，这两条坐标轴把无限的平面分成了四个部分，这些部分被称为第 I 到第 IV 象限，按如下顺序排列：

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I    |   II
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IV   |  III

处于同一象限的点，其 x 坐标 和 y 坐标 的正负号是相同的。

由于 x 轴 上所有点的 y 坐标 都为 0，y 轴 上所有点的 x 坐标 都为 0，因此它们不属于任何一个象限。

如果你忘记了象限的顺序，可以从第一象限（右上角）开始，逆时针画一个大写的 C，按此顺序记住 I → II → III → IV。如果你忘了第一象限在哪，或者忘了字母 C 的形状，那就无能为力了（笑）。

象限可以帮助我们大致描述 x--y 平面。例如，直线 y = x 通过第一象限和第三象限的点，但不经过第二和第四象限（因为那里的 x 和 y 的符号相反）。抛物线 y = x² 从第二象限开始（负 x ，正 y），经过原点，然后上升进入第一象限。

我们再看一下这些点，并将它们归类到各自的象限中：

当我们在平面上有两个点时，通常会想知道它们之间的距离。例如我们之前提到的红色点，(−3, 1) 到原点的距离是多少？

如果你画一条蓝线连接点 (0, 0) 和 (−3, 1)，你会发现这条线将红色矩形分成了两个直角三角形。

这条蓝线的长度就是该点与原点之间的距离。如何求这段线的长度？我们可以使用毕达哥拉斯定理 （勾股定理）来求。因为这个点的坐标是 (−3, 1)，所以对应的三角形的水平边长为 3，垂直边长为 1。根据定理，这条斜边的长度为：

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√(3² + 1²) = √10

当你要比较任意两个点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 时，可以构建类似的三角形，其边长为：

所以通用的距离公式为：

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d = √[(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²]

这个公式其实就是毕达哥拉斯定理的应用！

为什么要停在 x 和 y 上？如果我们再添加一个与 x 和 y 都正交的轴 z，那么我们就得到了一个三维空间。在三维空间中，一个点的坐标由三个数表示。

事实上，笛卡尔坐标系可以推广到任何 n 维空间，其中 n 是一个正整数。尽管高维空间难以可视化，但其本质是：在一个 n 维空间中，有 n 条彼此正交的轴，每个点都有 n 个坐标。

比如在一个城市数据库中，我们可以记录城市的纬度、经度、年平均气温和人口。这样，每个城市就可以表示为一个四维空间中的点 (x, y, z, w)。

笛卡尔坐标系是描述平面上点的标准方式，因此理解它的工作原理非常重要。每个点都有唯一的一对坐标，所以判断两个点是否相同非常简单。

笛卡尔坐标系非常适合用来描述直线和直角，但不太适合描述圆或螺旋这样的图形。