概率论角度: Laplace 算子和分数阶 Laplace 算子

一、Laplace算子的定义
- [1. 偏微分方程中的应用](#1. 偏微分方程中的应用)
- [2. 从概率论角度看 ------ 布朗运动的生成元](#2. 从概率论角度看 —— 布朗运动的生成元)
[二、分数阶 Laplace 算子的定义](#二、分数阶 Laplace 算子的定义)
- [1. 从概率论角度看 ------ Lévy过程的生成元](#1. 从概率论角度看 —— Lévy过程的生成元)

一、Laplace算子的定义

在 n n n 维欧几里得空间 R n \mathbb{R}^n Rn 中，给定一个足够光滑的标量函数 f ( x ) f(x) f(x)，其 Laplace算子定义为：
Δ f ( x ) : = ∑ i = 1 n ∂ 2 f ∂ x i 2 ( x ) \Delta f(x):=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(x) Δf(x):=i=1∑n∂xi2∂2f(x)也可以记作：
∇ 2 f = div ⁡ ( ∇ f ) \nabla^2 f=\operatorname{div}(\nabla f) ∇2f=div(∇f)即梯度的散度。

1. 偏微分方程中的应用

Laplace算子出现在许多基本的偏微分方程中，如：

热传导方程（Heat equation）：
∂ u ∂ t = Δ u \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u ∂t∂u=Δu
泊松方程（Poisson equation）：
Δ u = f \Delta u=f Δu=f
拉普拉斯方程（Laplace equation）：
Δ u = 0 \Delta u=0 Δu=0

2. 从概率论角度看 ------ 布朗运动的生成元

设 ( X t ) t ≥ 0 (X_t)_{t \geq 0} (Xt)t≥0 是一个马尔可夫过程，它的生成元（infinitesimal generator）定义为：
L f ( x ) : = lim ⁡ t → 0 E x $f ( X t )$ − f ( x ) t \mathcal{L} f(x):=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\mathbb{E}^x\left $f\\left(X_t\\right)\\right$ -f(x)}{t} Lf(x):=t→0limtEx $f(Xt)$ −f(x)

其中： E x \mathbb{E}^x Ex 表示以 X 0 = x X_0 = x X0=x 为起点的期望； f f f 是作用在状态空间上的光滑函数。

设 B t B_t Bt 是标准 d d d 维布朗运动 ，也就是： B 0 = 0 B_0 = 0 B0=0；样本路径连续；增量独立且服从正态分布： B t − B s ∼ N ( 0 , ( t − s ) I d ) B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0, (t-s) I_d) Bt−Bs∼N(0,(t−s)Id)；

考虑一维情形 B t ∈ R B_t \in \mathbb{R} Bt∈R，令 X t = B t X_t = B_t Xt=Bt，我们计算：
L f ( x ) = lim ⁡ t → 0 E x $f ( B t )$ − f ( x ) t = lim ⁡ t → 0 E $f ( x + B t )$ − f ( x ) t \mathcal{L} f(x)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\mathbb{E}^x\left $f\\left(B_t\\right)\\right$ -f(x)}{t}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\mathbb{E}\left $f\\left(x+B_t\\right)\\right$ -f(x)}{t} Lf(x)=t→0limtEx $f(Bt)$ −f(x)=t→0limtE $f(x+Bt)$ −f(x)

用 Itô公式 / Taylor 展开：设 f f f 是足够光滑的（ C 2 C^2 C2），我们对 f ( x + B t ) f(x + B_t) f(x+Bt) 在 x x x 处展开：
f ( x + B t ) = f ( x ) + f ′ ( x ) B t + 1 2 f ′ ′ ( x ) B t 2 + o ( B t 2 ) f\left(x+B_t\right)=f(x)+f^{\prime}(x) B_t+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(x) B_t^2+o\left(B_t^2\right) f(x+Bt)=f(x)+f′(x)Bt+21f′′(x)Bt2+o(Bt2)

对上式取期望，有： E $B t$ = 0 \mathbb{E} $B_t$ = 0 E $Bt$ =0； E $B t 2$ = t \mathbb{E} $B_t\^2$ = t E $Bt2$ =t；因此：
E $f ( x + B t )$ = f ( x ) + 1 2 f ′ ′ ( x ) t + o ( t ) \mathbb{E}\left $f\\left(x+B_t\\right)\\right$ =f(x)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(x) t+o(t) E $f(x+Bt)$ =f(x)+21f′′(x)t+o(t)

代入生成元定义：
L f ( x ) = lim ⁡ t → 0 f ( x ) + 1 2 f ′ ′ ( x ) t − f ( x ) + o ( t ) t = 1 2 f ′ ′ ( x ) \mathcal{L} f(x)=\lim {t \rightarrow 0} \frac{f(x)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(x) t-f(x)+o(t)}{t}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(x) Lf(x)=t→0limtf(x)+21f′′(x)t−f(x)+o(t)=21f′′(x)即：
L = 1 2 d 2 d x 2 = 1 2 Δ \mathcal{L}=\frac{1}{2} \frac{d^2}{d x^2}=\frac{1}{2} \Delta L=21dx2d2=21Δ对于 d d d维布朗运动也类似，最终得：
L = 1 2 Δ \mathcal{L}=\frac{1}{2} \Delta L=21Δ其中 Δ = ∑ i = 1 d ∂ 2 ∂ x i 2 \Delta = \sum{i=1}^d \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} Δ=∑i=1d∂xi2∂2是标准 Laplace 算子。

二、分数阶 Laplace 算子的定义

为什么分数阶 Laplace 算子定义为如下积分形式：
( − Δ ) α / 2 f ( x ) : = C d , α ∫ R d ( f ( x + z ) − f ( x ) − 1 { ∣ z ∣ ≤ 1 } ⟨ ∇ f ( x ) , z ⟩ ) 1 ∣ z ∣ d + α d z (-\Delta)^{\alpha / 2} f(x):=C_{d, \alpha} \int_{\mathbb{R}^d}\left(f(x+z)-f(x)-\mathbf{1}_{\{|z| \leq 1\}}\langle\nabla f(x), z\rangle\right) \frac{1}{|z|^{d+\alpha}} \mathrm{d} z (−Δ)α/2f(x):=Cd,α∫Rd(f(x+z)−f(x)−1{∣z∣≤1}⟨∇f(x),z⟩)∣z∣d+α1dz其中 α ∈ ( 0 , 2 ) \alpha \in (0,2) α∈(0,2)。

这是一个非常深刻的问题，涉及概率论、泛函分析和偏微分方程的交叉领域。我们来从三大角度（直觉 + 数学 + 概率）解释：

1. 从概率论角度看 ------ Lévy过程的生成元

对于对称 α \alpha α-stable Lévy 过程 L t L_t Lt（ 0 < α < 2 0 < \alpha < 2 0<α<2），其生成元是如下算子：
L f ( x ) = − ( − Δ ) α / 2 f ( x ) \mathcal{L} f(x)=-(-\Delta)^{\alpha / 2} f(x) Lf(x)=−(−Δ)α/2f(x)这是一个非局部的、伪微分算子，叫做分数阶拉普拉斯算子（fractional Laplacian）。

证明：一个对称 α \alpha α-stable Lévy 过程具有以下性质：独立增量、平稳增量；跳跃路径（非连续），尤其当 α < 2 \alpha < 2 α<2；任意 t t t 时刻，其分布为稳定分布： L t ∼ S α ( σ t 1 / α ) L_t \sim S_\alpha(\sigma t^{1/\alpha}) Lt∼Sα(σt1/α)；特征函数为：
E $e i ξ \cdot L t$ = e − t ∣ ξ ∣ α \mathbb{E}\left $e\^{i \\xi \\cdot L_t}\\right$ =e^{-t|\xi|^\alpha} E $eiξ\cdotLt$ =e−t∣ξ∣α我们回忆生成元与傅里叶变换的关系 ：若一个过程 X t X_t Xt 的特征函数为：
E x $e i ξ \cdot X t$ = e i ξ ⋅ x − t ψ ( ξ ) \mathbb{E}^x\left $e\^{i \\xi \\cdot X_t}\\right$ =e^{i \xi \cdot x-t \psi(\xi)} Ex $eiξ\cdotXt$ =eiξ⋅x−tψ(ξ)那么其生成元在傅里叶域是：
L f ^ ( ξ ) = − ψ ( ξ ) ⋅ f ^ ( ξ ) \widehat{\mathcal{L} f}(\xi)=-\psi(\xi) \cdot \hat{f}(\xi) Lf (ξ)=−ψ(ξ)⋅f^(ξ)对于对称 α \alpha α-stable 过程，有： E $e i ξ \cdot L t$ = e − t ∣ ξ ∣ α ⇒ ψ ( ξ ) = ∣ ξ ∣ α \mathbb{E}\left $e\^{i \\xi \\cdot L_t}\\right$ =e^{-t|\xi|^\alpha} \quad \Rightarrow \quad \psi(\xi)=|\xi|^\alpha E $eiξ\cdotLt$ =e−t∣ξ∣α⇒ψ(ξ)=∣ξ∣α因此，其生成元作用于傅里叶变换后变成：
L f ^ ( ξ ) = − ∣ ξ ∣ α f ^ ( ξ ) \widehat{\mathcal{L} f}(\xi)=-|\xi|^\alpha \hat{f}(\xi) Lf (ξ)=−∣ξ∣αf^(ξ)而这正是分数阶 Laplacian 的傅里叶定义： ( − Δ ) α / 2 f ^ ( ξ ) = ∣ ξ ∣ α f ^ ( ξ ) \widehat{(-\Delta)^{\alpha / 2} f}(\xi)=|\xi|^\alpha \hat{f}(\xi) (−Δ)α/2f (ξ)=∣ξ∣αf^(ξ)所以，
L f = − ( − Δ ) α / 2 f \mathcal{L} f=-(-\Delta)^{\alpha / 2} f Lf=−(−Δ)α/2f

对称 α \alpha α- stable Lévy 过程对应的 Lévy 测度是：
ν ( d z ) = C d , α ∣ z ∣ d + α d z \nu(d z)=\frac{C_{d, \alpha}}{|z|^{d+\alpha}} d z ν(dz)=∣z∣d+αCd,αdz所以它的生成元也可以写成非局部积分形式（Lévy－Khintchine公式）：
L f ( x ) = ∫ R d $f ( x + z ) - f ( x ) - 1 ∣ z ∣ \leq 1 ⟨ \nabla f ( x ) , z ⟩$ C d , α ∣ z ∣ d + α d z \mathcal{L} f(x)=\int_{\mathbb{R}^d}\left $f(x+z)-f(x)-\\mathbf{1}_{\|z\| \\leq 1}\\langle\\nabla f(x), z\\rangle\\right$ \frac{C_{d, \alpha}}{|z|^{d+\alpha}} d z Lf(x)=∫Rd $f(x+z)-f(x)-1∣z∣\leq1⟨\nablaf(x),z⟩$ ∣z∣d+αCd,αdz这就是分数阶拉普拉斯算子的积分定义。