Python实现信号小波分解与重构

使用Python中的PyWavelets库实现信号小波分解和重构

步骤说明

  1. 导入库 :使用pywt进行小波变换,numpy处理数据,matplotlib绘图
  2. 生成示例信号:创建包含多个频率成分的合成信号
  3. 小波分解 :使用wavedec进行多级分解
  4. 系数处理(可选):可在此步骤修改系数(如去噪、压缩)
  5. 信号重构 :使用waverec重构信号
  6. 结果可视化:比较原始信号与重构信号

完整代码

python 复制代码
import pywt
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 生成示例信号
t = np.linspace(0, 1, 1000, endpoint=False)
signal = np.sin(2 * np.pi * 10 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 50 * t)
signal += 0.2 * np.random.randn(len(t))  # 添加噪声

# 2. 小波分解参数设置
wavelet = 'db4'  # 使用Daubechies4小波
level = 4        # 分解层数

# 3. 执行小波分解
coeffs = pywt.wavedec(signal, wavelet, level=level)
cA4, cD4, cD3, cD2, cD1 = coeffs  # 各级系数

print(f"系数结构: {[c.shape for c in coeffs]}")

# 4. (可选) 系数处理 - 这里演示简单的阈值去噪
threshold = 0.5  # 阈值大小
coeffs_thresh = [coeffs[0]]  # 保留近似系数
for i in range(1, len(coeffs)):
    # 对细节系数应用软阈值
    coeffs_thresh.append(pywt.threshold(coeffs[i], threshold, mode='soft'))

# 5. 信号重构
reconstructed = pywt.waverec(coeffs_thresh, wavelet)

# 确保信号长度一致(小波变换可能导致边界扩展)
reconstructed = reconstructed[:len(signal)]

# 6. 结果可视化
plt.figure(figsize=(12, 10))

# 原始信号
plt.subplot(4, 1, 1)
plt.plot(t, signal)
plt.title("原始信号 (含噪声)")
plt.grid(True)

# 分解系数
plt.subplot(4, 1, 2)
for i, coeff in enumerate(coeffs_thresh):
    if i == 0:
        plt.plot(coeff, 'r', label=f'cA{level}')
    else:
        plt.plot(coeff, label=f'cD{level-i+1}')
plt.title("小波系数 (阈值处理后)")
plt.legend()
plt.grid(True)

# 重构信号
plt.subplot(4, 1, 3)
plt.plot(t, reconstructed)
plt.title("重构信号 (去噪后)")
plt.grid(True)

# 重构误差
plt.subplot(4, 1, 4)
plt.plot(t, signal - reconstructed, 'r')
plt.title("重构误差")
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 计算重构误差
mse = np.mean((signal - reconstructed)**2)
print(f"均方误差 (MSE): {mse:.6f}")
print(f"最大绝对误差: {np.max(np.abs(signal - reconstructed)):.6f}")

关键参数说明

  1. 小波基选择

    • 'db4':Daubechies 4阶小波(常用)
    • 其他选项:'haar', 'sym5', 'coif3'等(根据信号特性选择)
  2. 分解层数

    • 通常选择使最低频分量有足够代表性的层数
    • 最大层数限制:level <= pywt.dwt_max_level(len(signal), wavelet)
  3. 阈值处理

    • soft阈值:T(x)=sign(x)(∣x∣−threshold)+T(x) = \text{sign}(x)(|x| - \text{threshold})_+T(x)=sign(x)(∣x∣−threshold)+
    • hard阈值:T(x)=x⋅I(∣x∣>threshold)T(x) = x \cdot \mathbb{I}(|x| > \text{threshold})T(x)=x⋅I(∣x∣>threshold)
    • 阈值选择方法:threshold = np.std(coeff) * np.sqrt(2*np.log(len(signal)))

输出结果

  1. 系数结构:显示各级系数的长度(随分解层级递减)
  2. 四部分可视化
    • 含噪声的原始信号
    • 阈值处理后的各级系数
    • 重构后的去噪信号
    • 重构误差曲线
  3. 误差指标
    • 均方误差(MSE)
    • 最大绝对误差

应用场景

  1. 信号去噪:通过阈值处理细节系数
  2. 特征提取:分析各级系数获取时频特征
  3. 数据压缩:保留重要系数,丢弃小系数
  4. 奇点检测:利用细节系数定位突变点

注意事项

  1. 边界效应:小波变换可能引入边界失真,可考虑:

    python 复制代码
    # 使用周期模式减少边界效应
    coeffs = pywt.wavedec(signal, wavelet, level=level, mode='per')
  2. 系数长度:重构后需截取原信号长度

  3. 小波选择:不同小波适用于不同信号类型,需实验确定最优基

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