控制建模matlab练习13：线性状态反馈控制器-②系统的能控性

凌晨7点2025-08-09 22:58

此练习，主要是使用状态空间方程来设计控制器的方法和思路：
①系统建模；
②系统的能控性；
③极点配置；
④最优化控制LQR；
⑤轨迹追踪；
以下是，第②部分：系统的能控性；

一、判断系统能控性

状态能控定义：对于系统而言，如果存在着输入u(t)，可以在有限的时间区间 $t~0~，t~1~$ 内，将系统的状态变量从初始状态z(t₀)转移到终端状态z(t₁)，那么就称状态z(t₀)是能控的状态。如果在任意的初始时间t₀下的初始状态z(t₀)都能控，就称系统的状态是能控的。
需要指出，如果系统的状态z(t)能控，系统的输出y(t)也一定能控。
在设计状态反馈控制器，之前需要先判断，系统是否是能控的；判断系统是否能控，就需要判断能控矩阵C_o，其矩阵形式如下；
对于n维线性时不变系统而言，它的状态能控的充分必要条件是能控矩阵的秩为n。
判断此时矩阵C_o的秩是否为n，秩为n，则系统可控；

以其中第三个例子，在MATLAB算出：

matlab 复制代码

clc;clear;close all;
%% 定义矩阵A,B
A =[[ 0 1 0 0 ];
    [ -100 0 100 0];
    [0 0 0 1];
    [100 0 -10 0]
    ];
B=[0;1;0;0];
Co=ctrb(A,B);  % ctrb，可以直接求出能控矩阵Co
R = rank(Co) ;  % rank，求秩

运行结果：
在命令行窗口，分别输入Co和R；
可以看出，秩为R=4，所以说明系统是可控系统；

此例子三数学模型，对应的系统如下图；
两个小车通过弹环连接，右边有一外力；
因为上面分析这是可控的，所以可以通过控制外力，来控制里面每一个状态变量的值。

学习来源：《控制之美》 $卷1$ ，王天威