简介
文章链接：(10 封私信 / 80 条消息) 快速入门矩阵运算------开源库Eigen - 知乎
向量
点积（点乘）
向量点积， 𝑎⋅𝑏=𝑐 ，符号为 ⋅ ，要求向量长度相同，是两个向量之间的点乘运算，结果是一个标量 。又称：点乘、数量积、标量积、scalar product、projection product等
叉乘
与向量点乘不同，叉乘仅适用于三维向量，向量叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。两个向量叉乘所得向量与这两个向量垂直，如下图所示。
矩阵
点积（点乘）
矩阵的点乘（也称为元素乘法）是两个相同大小矩阵 之间的一种运算，其结果是一个与这两个矩阵大小相同的新矩阵，其中每个元素都是原矩阵对应位置 元素的乘积。
叉乘
矩阵乘法
要求第一个矩阵（左矩阵）的列数与第二个矩阵（右矩阵）的行数相等。假设矩阵 A 是 \(m\times n\) 的矩阵，矩阵 B 是 \(n\times p\) 的矩阵，那么它们的乘积 \(C = AB\) 是一个 \(m\times p\) 的矩阵。其中，C 中第 i 行第 j 列的元素 \(c_{ij}\) 等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素乘积之和 。
矩阵乘法：结果矩阵的维度由参与运算的两个矩阵的行数和列数决定，一般情况下，AB 不一定等于 BA，即矩阵乘法不满足交换律。同时，矩阵乘法满足结合律和分配律，即 \((AB)C = A(BC)\) ，\(A(B + C)=AB + AC\) 。
矩阵乘法：在很多领域都有重要应用，比如在计算机图形学中，用于表示图形的变换（如旋转、平移、缩放等）；在机器学习和深度学习中，用于计算神经网络的权重和激活值；在解线性方程组等问题中也起着关键作用。
使用
Eigen::Vector3d
Eigen::Vector3d A(1, 2, 3); //（x1,y1,z1）
Eigen::Vector3d B(4, 5, 6);//(x2,y2,z2)
Eigen::Vector3d C = A.cross(B); //叉乘 C = A*B = (x3,y3,z3) = (y1*z2 - z1*y2,z1*x2 -x1*z2,x1*y2 - y1*x2) = (2*6-3*5,3*4-1*6,1*5-2*4 ) = (-3 , 6, -3)
cout <<"C = \n"<< C.transpose() <<endl; //transpose 转置将3*1 转为1*3
Eigen::Vector3d D = B.cross(A);
cout <<"D = \n"<< D<<endl;
cout << A.dot(B) <<endl;//点乘（4+10+18）Eigen::Matrix4d
Eigen::Matrix4d eTw;
// eTw.setZero(); //初始化全为0
eTw.setIdentity(); //对角线为1其他为0 单位矩阵
cout <<"eTw = \n"<< eTw<<endl;
cout <<"isZero = "<< eTw.isZero(1e-9)<<endl; //不是判断全部为0，可以输入区间检测。
cout <<"value ="<< (eTw(1,1) == 0) <<endl;
// 2. 定义A到B的变换矩阵T_B/A（旋转+平移）
Eigen::Matrix4d T_BA;
// 旋转部分：绕Z轴旋转90度（示例）
double theta = M_PI / 2; // 90度弧度
cout<<"theta = "<< theta<<endl;
T_BA << cos(theta), -sin(theta), 0, 5, // 第一行：旋转+平移x
sin(theta), cos(theta), 0, 6, // 第二行：旋转+平移y
0, 0, 1, 7, // 第三行：旋转+平移z
0, 0, 0, 1; // 齐次坐标行
cout <<"T_BA = \n"<<T_BA<<endl;
// 3. 计算B系中的点P_B = T_BA * P_A
Eigen::Vector4d P_B = T_BA * P_A;
std::cout << "转换到B系后的坐标: " << P_B.transpose() << std::endl;
// 4. 逆转换：从B系转回A系（验证）
Eigen::Matrix4d T_AB = T_BA.inverse(); // 求逆矩阵
cout <<"T_AB = \n"<<T_AB<<endl;
Eigen::Vector4d P_A_back = T_AB * P_B;
std::cout << "从B系转回A系的坐标: " << P_A_back.transpose() << std::endl;
Eigen::Matrix4d t;
t = T_BA;
cout << t<<endl;
cout<<"===================="<<endl;
cout << t.transpose()<<endl;//转置
cout<<"===================="<<endl;
cout << t.inverse()<<endl; //逆矩阵
cout<<"T的转置*t =单位矩阵 \n"<< (t.inverse() *t)<<endl;
return 0;Eigen::norm
在 Eigen 库中，Matrix::norm() 函数默认返回的是弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius Norm） ，也叫欧几里得范数（Euclidean Norm） 的矩阵版本。简单说，就是矩阵所有元素的绝对值的平方和的平方根。
应用场景
Eigen::Vector3d O(177.330, 19.736, 32.725); //原点
Eigen::Vector3d X(177.330, 41.935, 13.790);//X坐标点
Eigen::Vector3d Y(177.330, 44.744, 17.329);//Y坐标点
//计算X轴方向向量
Eigen::Vector3d u_x =X -O;
cout<< "u_x transpose = "<< u_x.transpose() <<endl;
//计算初始 Y 轴方向向量
Eigen::Vector3d u_y = Y-O;
cout<< "init u_y transpose = "<< u_y.transpose() <<endl;
//计算Z轴方向向量 使用叉乘计算
Eigen::Vector3d u_z =u_x.cross(u_y);
cout<< "u_z transpose = "<< u_z.transpose() <<endl;
// 检查是否共线
cout <<"u_z.norm = "<< u_z.norm() <<endl;
if (u_z.norm() < 1e-6)
{
std::cout << "向量共线，无法创建有效的坐标系。" << std::endl;
}
//
u_y = u_z.cross(u_x); // Y轴方向向量 修正 Y 轴方向
// u_x = u_y.cross(u_z);
// 通过 Z 轴和 X 轴的叉乘重新计算 Y 轴，确保 X、Y、Z 轴两两垂直（正交化处理），这是关键的修正步骤，正确。
cout<< "u_x transpose = "<< u_x.transpose() <<endl;
cout<< "u_y transpose = "<< u_y.transpose() <<endl;
cout<< "u_z transpose = "<< u_z.transpose() <<endl;
// 初始化一个4x4单位矩阵
Eigen::Matrix4d UserMatrix;
UserMatrix.setIdentity();
// 归一化向量
u_x.normalize();
u_y.normalize();
u_z.normalize();
UserMatrix <<
u_x.x(), u_y.x(), u_z.x(), O.x(),
u_x.y(), u_y.y(), u_z.y(), O.y(),
u_x.z(), u_y.z(), u_z.z(), O.z(),
0, 0, 0, 1;
cout <<"UserMatrix = \n "<< UserMatrix<<endl;为什么需要修正？
在构建三维坐标系时，X、Y、Z 轴必须两两垂直（正交），否则坐标系会 "歪扭"，无法正确描述空间变换（如旋转、平移）。因此：
- 原始
u_y可能不满足垂直要求，必须通过u_z.cross(u_x)重新计算（利用叉乘 "垂直于两个输入向量" 的特性 ），确保Y轴与X、Z轴都垂直。
共线 = 三个点 A、B、O 落在 同一条直线上。