数学建模------马尔科夫链（Markov Chain Model）
- 一、马尔可夫链的定义
- 二、马尔科夫链的关键性质（平稳性与遍历性）
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- [2.1 平稳分布（极限分布）](#2.1 平稳分布（极限分布）)
- [2.2 遍历性](#2.2 遍历性)
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- 三、马尔科夫链模型的建模步骤（附实例）
- 四、马尔科夫链的常见应用场景
- 五、建模注意事项
- 六、常见扩展模型
- 七：代码
马尔科夫链（Markov Chain）是一种经典的随机过程模型，因俄国数学家安德烈・马尔科夫（Andrey Markov）而得名。它的核心特点是 "无后效性 "------ 未来状态的概率仅取决于当前状态，与过去的状态无关。这种特性使其在预测、决策、随机模拟等领域具有广泛应用，是数学建模中解决 "动态随机问题" 的重要工具。
马尔科夫链广泛应用于诸如人口迁移、用户行为预测、气象模拟、文本生成、设备寿命分析等离散状态建模场景中，尤其适用于状态数量有限、状态转移具有统计规律的建模问题。
一、马尔可夫链的定义
要理解马尔科夫链，需先明确三个核心概念：状态空间 、转移概率 和无后效性，这三者共同构成了模型的理论基石。
1. 状态与状态空间
状态：系统在某一时刻的 "处境" 或 "特征"，用离散的符号表示。例如：
天气模型中，状态可定义为 "晴（S₁）、阴（S₂）、雨（S₃）"；
股票走势中，状态可定义为 "上涨（S₁）、持平（S₂）、下跌（S₃）"。
状态空间（记为 I）：所有可能状态的集合，通常是有限离散集合，即 I = S 1 , S 2 , . . . , S n I={S_1,S_2,...,S_n} I=S1,S2,...,Sn（n 为状态总数）。
2. 无后效性（马尔科夫性）
这是马尔科夫链的核心性质，用概率语言可严格表述为：
这是马尔科夫链的核心性质，用概率语言可严格表述为：
对于任意时刻 t 1 < t 2 < . . . < t k < t t_1 < t_2 < ... < t_k < t t1<t2<...<tk<t，以及任意状态，有：
P ( X t = S m ∣ X t k = S j , X t k − 1 = S i k − 1 , . . . , X t 1 = S i 1 ) = P ( X t = S m ∣ X t k = S j ) P(X_t = S_m \mid X_{t_k} = S_j, X_{t_{k-1}} = S_{i_{k-1}}, ..., X_{t_1} = S_{i_1}) = P(X_t = S_m \mid X_{t_k} = S_j) P(Xt=Sm∣Xtk=Sj,Xtk−1=Sik−1,...,Xt1=Si1)=P(Xt=Sm∣Xtk=Sj)
通俗理解：只要知道系统 "现在" 的状态，就能预测 "未来"，无需关心 "过去" 是如何到达当前状态的。例如，预测明天的天气，只需知道今天的天气，无需知道昨天或上周的天气。
3. 转移概率与转移概率矩阵
（1）一步转移概率
设系统在时刻 t 处于状态 S i S_i Si，在时刻 t+1 转移到状态 S j S_j Sj的概率，称为一步转移概率，记为：
p i j = P ( X t + 1 = S j ∣ X t = S i ) ( i , j = 1 , 2 , . . . , n ) p_{ij} = P(X_{t+1} = S_j \mid X_t = S_i) \quad (i, j = 1, 2, ..., n) pij=P(Xt+1=Sj∣Xt=Si)(i,j=1,2,...,n)
其满足两个基本性质：
- 非负性： p i j ≥ 0 p_{ij} \geq 0 pij≥0（概率不可能为负）；
- 行和为 1： ∑ j = 1 n p i j = 1 \sum_{j=1}^n p_{ij} = 1 ∑j=1npij=1（从状态 S i S_i Si 出发，必然转移到某个状态）。
假设连续记录 10 天天气，状态序列如下（数字对应状态）：
第 1 天：1（晴）、第 2 天：1（晴）、第 3 天：2（阴）、第 4 天：2（阴）、第 5 天：1（晴）、第 6 天：1（晴）、第 7 天：1（晴）、第 8 天：2（阴）、第 9 天：1（晴）、第 10 天：1（晴）
一步转移描述 "当日状态→次日状态"，10 天数据对应9 个转移对（从第 1→2 天到第 9→10 天），手动列出所有转移对：
第 1→2 天：1→1（晴→晴）
第 2→3 天：1→2（晴→阴）
第 3→4 天：2→2（阴→阴）
第 4→5 天：2→1（阴→晴）
第 5→6 天：1→1（晴→晴）
第 6→7 天：1→1（晴→晴）
第 7→8 天：1→2（晴→阴）
第 8→9 天：2→1（阴→晴）
第 9→10 天：1→1（晴→晴）
按 "初始状态（当日）" 分类，统计转移到 "目标状态（次日）" 的次数（记为 i i i= 初始状态， j j j= 目标状态），手动计数即可：
- 初始状态为 S 1 S_1 S1（晴天）的转移次数
先筛选 "初始状态 = 1" 的转移对：共 6 个（第 1、2、5、6、7、9 对），再统计目标状态：
- 1→1（晴→晴）：第 1、5、6、9 对 → 4 次
- 1→2（晴→阴）：第 2、7 对 → 2 次
从 S 1 S_1 S1出发的总转移次数：4+2=6 次（与筛选出的转移对数量一致，计数正确）
- 初始状态为 S 2 S_2 S2（阴天）的转移次数
初始状态为 S 2 S_2 S2筛选 "初始状态 = 2" 的转移对：共 3 个（第 3、4、8 对），统计目标状态：
- 2→1（阴→晴）：第 4、8 对 → 2 次
- 2→2（阴→阴）：第 3 对 → 1 次
从 S 2 S_2 S2出发的总转移次数：2+1=3 次（与筛选出的转移对数量一致，计数正确）
整理转移次数表
| 初始状态 \ 目标状态 | S 1 S_1 S1（晴） | S 2 S_2 S2（晴） |
|---|---|---|
| S 1 S_1 S1（晴） | 4 | 2 |
| S 2 S_2 S2（晴） | 2 | 1 |
验证总转移次数：6+3=9 次（与 10 天数据对应 9 个转移对完全匹配，无计数错误）。
根据定义，一步转移概率 p i j = 从 S i 到 S j 的转移次数 从 S i 出发的总转移次数 p_{ij} = \frac{\text{从}S_i\text{到}S_j\text{的转移次数}}{\text{从}S_i\text{出发的总转移次数}} pij=从Si出发的总转移次数从Si到Sj的转移次数,
p 11 p_{11} p11（晴→晴）： 4 6 ≈ 0.667 \frac{4}{6} ≈ 0.667 64≈0.667
p 12 p_{12} p12（晴→阴）： 2 6 ≈ 0.333 \frac{2}{6} ≈ 0.333 62≈0.333
p 21 p_{21} p21（阴→晴）： 2 3 ≈ 0.667 \frac{2}{3} ≈ 0.667 32≈0.667
p 22 p_{22} p22（阴→阴）： 1 3 ≈ 0.333 \frac{1}{3} ≈ 0.333 31≈0.333
验证概率性质
非负性：所有 p i j p_ij pij（0.667、0.333、0.667、0.333）均≥0，符合要求；
行和为 1：
第 1 行（晴）：0.667+0.333=1
第 2 行（阴）：0.667+0.333=1
（2）转移概率矩阵
将所有一步转移概率按行（当前状态）和列（下一状态）排列，得到一步转移概率矩阵，记为
P = ( p 11 p 12 . . . p 1 n p 21 p 22 . . . p 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ p n 1 p n 2 . . . p n n ) P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & ... & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & ... & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & ... & p_{nn} \end{pmatrix} P= p11p21⋮pn1p12p22⋮pn2......⋱...p1np2n⋮pnn
例如，天气模型（3 个状态：晴 S₁、阴 S₂）的转移矩阵可能为：
P = ( p 11 p 12 p 21 p 22 ) = ( 2 3 1 3 2 3 1 3 ) P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\ % 初始状态S1（晴）的转移概率 p_{21} & p_{22} % 初始状态S2（阴）的转移概率 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ % 或0.667 & 0.333 \frac{2}{3} & \frac{1}{3} % 或0.667 & 0.333 \end{pmatrix} P=(p11p21p12p22)=(32323131)
（3）k 步转移概率矩阵
若要预测 "k 步后" 的状态（如后天的天气，即 2 步转移），需用到k 步转移概率矩阵，记为 P ( k ) P^{(k)} P(k)
。根据 "Chapman-Kolmogorov 方程"，k 步转移矩阵可由一步转移矩阵的 k 次幂得到： P ( k ) = P k P^{(k)} = P^k P(k)=Pk
例如，2 步转移矩阵 P ( 2 ) = P × P P^{(2)} = P \times P P(2)=P×P，其元素 p i j ( 2 ) p_{ij}^{(2)} pij(2) 表示 "从状态 S i S_i Si出发，经过 2 步转移到 S j S_j Sj 的概率"。
二、马尔科夫链的关键性质（平稳性与遍历性）
在数学建模中，我们常关注 "长期稳定状态"，这需要通过马尔科夫链的平稳性 和遍历性来分析。
2.1 平稳分布（极限分布）
若存在一个概率向量 π = ( π 1 , π 2 , . . . , π n ) \pi = (\pi_1, \pi_2, ..., \pi_n) π=(π1,π2,...,πn) （满足 π j ≥ 0 \pi_j \geq 0 πj≥0且 ∑ j = 1 n π j = 1 \sum_{j=1}^n \pi_j = 1 ∑j=1nπj=1 ），使得： π = π P \pi = \pi P π=πP
则称 π \pi π 为马尔科夫链的平稳分布。
通俗理解：当系统达到平稳分布时，状态的概率分布不再随时间变化。例如，长期观察天气后发现，晴、阴、雨的概率稳定在（0.3, 0.4, 0.3），此时无论初始天气如何，最终都会趋近于这个分布。
2.2 遍历性
若马尔科夫链满足：
- 从任意初始状态出发，经过足够多步后，能到达所有状态（即 "不可约"）；
- 不存在 "周期性循环"（即 "非周期"）；
则称该马尔科夫链具有遍历性，且满足： lim k → ∞ P ( k ) = ( π 1 π 2 . . . π n π 1 π 2 . . . π n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ π 1 π 2 . . . π n ) \lim_{k \to \infty} P^{(k)} = \begin{pmatrix} \pi_1 & \pi_2 & ... & \pi_n \\ \pi_1 & \pi_2 & ... & \pi_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \pi_1 & \pi_2 & ... & \pi_n \end{pmatrix} limk→∞P(k)= π1π1⋮π1π2π2⋮π2......⋱...πnπn⋮πn
即 k 步转移矩阵的所有行都趋近于平稳分布 π \pi π。这意味着：无论初始状态如何，长期后系统的状态分布都会收敛到平稳分布------ 这是马尔科夫链用于 "长期预测" 的核心依据。
三、马尔科夫链模型的建模步骤（附实例）
以 "预测某地区未来天气分布" 为例，完整建模流程如下：
步骤 1：确定状态空间
根据问题定义离散状态。此处定义：
状态 1（S₁）：晴天；
状态 2（S₂）：阴天；
状态 3（S₃）：雨天；
状态空间 S 1 , S 2 , S 3 {S₁, S₂, S₃} S1,S2,S3
步骤 2：收集数据，估计转移概率矩阵
通过历史数据（如过去 30 天的天气记录）计算转移频率，近似作为转移概率。例如，
假设研究者连续记录 30 天天气，得到如下状态序列（数字 1 = 晴天、2 = 阴天、3 = 雨天）：
第 1 天：1（晴）、第 2 天：1（晴）、第 3 天：1（晴）、第 4 天：2（阴）、第 5 天：2（阴）、
第 6 天：1（晴）、第 7 天：3（雨）、第 8 天：3（雨）、第 9 天：1（晴）、第 10 天：1（晴）、
第 11 天：1（晴）、第 12 天：1（晴）、第 13 天：1（晴）、第 14 天：1（晴）、第 15 天：2（阴）、
第 16 天：2（阴）、第 17 天：3（雨）、第 18 天：1（晴）、第 19 天：1（晴）、第 20 天：1（晴）、
第 21 天：2（阴）、第 22 天：1（晴）、第 23 天：3（雨）、第 24 天：3（雨）、第 25 天：3（雨）、
第 26 天：2（阴）、第 27 天：2（阴）、第 28 天：2（阴）、第 29 天：3（雨）、第 30 天：3（雨）
统计得：
- 晴天（S₁）后：18 次转晴天、9 次转阴天、3 次转雨天 → 频率（0.6, 0.3, 0.1）→ 转移概率 p 11 = 0.6 , p 12 = 0.3 , p 13 = 0.1 p_{11}=0.6, p_{12}=0.3, p_{13}=0.1 p11=0.6,p12=0.3,p13=0.1；
- 阴天（S₂）后：6 次转晴天、15 次转阴天、9 次转雨天 → 频率（0.2, 0.5, 0.3）→ 转移概率 p 21 = 0.2 , p 22 = 0.5 , p 23 = 0.3 p_{21}=0.2, p_{22}=0.5, p_{23}=0.3 p21=0.2,p22=0.5,p23=0.3 ；
- 雨天（S₃）后：3 次转晴天、12 次转阴天、15 次转雨天 → 频率（0.1, 0.4, 0.5）→ 转移概率 p 31 = 0.1 , p 32 = 0.4 , p 33 = 0.5 p_{31}=0.1, p_{32}=0.4, p_{33}=0.5 p31=0.1,p32=0.4,p33=0.5
最终得到转移矩阵 P = ( 0.6 0.3 0.1 0.2 0.5 0.3 0.1 0.4 0.5 ) P = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.3 & 0.1 \\ % ä>>Šå¤©æ™´ï¼Œæ˜Žå¤©æ™´(0.6)ã€é˜´(0.3)ã€é›¨(0.1) 0.2 & 0.5 & 0.3 \\ % ä>>Šå¤©é˜´ï¼Œæ˜Žå¤©æ™´(0.2)ã€é˜´(0.5)ã€é›¨(0.3) 0.1 & 0.4 & 0.5 \\ % ä>>Šå¤©é›¨ï¼Œæ˜Žå¤©æ™´(0.1)ã€é˜´(0.4)ã€é›¨(0.5) \end{pmatrix} P= 0.60.20.10.30.50.40.10.30.5
步骤 3：分析模型的遍历性（验证长期预测可行性）
需验证两点：
不可约性：从任意状态出发能到达所有状态。例如，S₁→S₂→S₃→S₁，存在路径，故不可约；
非周期性：不存在正整数 d>1，使得所有转移步数都是 d 的倍数。例如，从 S₁出发，1 步可回 S₁（d 不整除 1），故非周期；
因此，该马尔科夫链具有遍历性，可求平稳分布。
步骤 4：求解平稳分布（长期预测）
根据平稳分布定义 π = π P \pi = \pi P π=πP，结合 π 1 + π 2 + π 3 = 1 \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 π1+π2+π3=1，建立方程组：
{ π 1 = 0.6 π 1 + 0.2 π 2 + 0.1 π 3 π 2 = 0.3 π 1 + 0.5 π 2 + 0.4 π 3 π 3 = 0.1 π 1 + 0.3 π 2 + 0.5 π 3 π 1 + π 2 + π 3 = 1 \begin{cases} \pi_1 = 0.6\pi_1 + 0.2\pi_2 + 0.1\pi_3 \\ \pi_2 = 0.3\pi_1 + 0.5\pi_2 + 0.4\pi_3 \\ \pi_3 = 0.1\pi_1 + 0.3\pi_2 + 0.5\pi_3 \\ \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧π1=0.6π1+0.2π2+0.1π3π2=0.3π1+0.5π2+0.4π3π3=0.1π1+0.3π2+0.5π3π1+π2+π3=1
解方程组得： π = ( 0.25 , 0.4 , 0.35 ) \pi = (0.25, 0.4, 0.35) π=(0.25,0.4,0.35)
步骤 5：短期预测（利用 k 步转移矩阵）
若今天是晴天（初始状态向量 π ( 0 ) = ( 1 , 0 , 0 ) \pi^{(0)} = (1, 0, 0) π(0)=(1,0,0)，预测明天（1 步后）和后天（2 步后）的天气分布：
- 明天（1 步）： π ( 1 ) = π ( 0 ) P = ( 1 A ~ --- 0.6 + 0 A ~ --- 0.2 + 0 A ~ --- 0.1 , . . . ) = ( 0.6 , 0.3 , 0.1 ) \pi^{(1)} = \pi^{(0)} P = (1Ã---0.6 + 0Ã---0.2 + 0Ã---0.1, ...) = (0.6, 0.3, 0.1) π(1)=π(0)P=(1A~---0.6+0A~---0.2+0A~---0.1,...)=(0.6,0.3,0.1)
- 后天（2 步）： π ( 2 ) = π ( 1 ) P = ( 0.6 A ~ --- 0.6 + 0.3 A ~ --- 0.2 + 0.1 A ~ --- 0.1 , . . . ) = ( 0.43 , 0.35 , 0.22 ) \pi^{(2)} = \pi^{(1)} P = (0.6Ã---0.6 + 0.3Ã---0.2 + 0.1Ã---0.1, ...) = (0.43, 0.35, 0.22) π(2)=π(1)P=(0.6A~---0.6+0.3A~---0.2+0.1A~---0.1,...)=(0.43,0.35,0.22)
即后天晴天概率 43%，阴天 35%，雨天 22%。
四、马尔科夫链的常见应用场景
应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是根据某些变量现在的情况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。
除天气预测外，马尔科夫链在数学建模中还有大量应用，核心是 "状态离散、无后效性" 的问题：
- 经济领域：股票走势预测（状态：涨 / 平 / 跌）、市场占有率预测（状态：各品牌）；
- 生物领域：种群状态转移（状态：健康 / 患病 / 死亡）、DNA 序列分析；
- 工程领域：设备故障预测（状态：正常 / 维修 / 故障）、交通流量控制（状态：畅通 / 拥堵）；
- 社会领域：人口迁移预测（状态：农村 / 城市）、用户行为分析（状态：活跃 / 沉睡）。
五、建模注意事项
- 状态定义需合理：状态需离散、互斥，且能完整描述系统（如天气若加 "多云"，需补充为 4 状态）；
- 转移概率需可靠：尽量用足够多的历史数据估计，避免主观赋值；若数据不足，可结合专家经验修正；
- 遍历性验证不可少：若模型不满足遍历性（如存在 "吸收态"，如 "死亡" 状态无法转移），则无平稳分布，需调整模型（如定义 "吸收马尔科夫链"）。
六、常见扩展模型
高阶马尔科夫链：引入更多历史状态影响
隐马尔科夫模型 HMM：用于观测数据不可直接看到状态的情形（如语音识别）
马尔科夫决策过程 MDP：引入"动作"和"奖励"，用于强化学习建模
七：代码
python版
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 原始天气状态序列：1=晴（sunny），2=阴（cloudy），3=雨（rainy）
weather_seq = [1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
2, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3]
n_states = 3 # 3种状态：sunny(1)、cloudy(2)、rainy(3)
count_matrix = np.zeros((n_states, n_states)) # 初始化转移计数矩阵
# 构建转移计数矩阵（统计从当前状态到下一状态的次数）
for i in range(len(weather_seq) - 1):
current = weather_seq[i] - 1 # 状态索引从0开始（对应原1/2/3）
next_ = weather_seq[i + 1] - 1
count_matrix[current, next_] += 1
# 归一化为转移概率矩阵 P（每行和为1，满足概率性质）
P = count_matrix / count_matrix.sum(axis=1, keepdims=True)
print("State Transition Probability Matrix P：\n", np.round(P, 3)) # 输出概率矩阵（保留3位小数）
# 初始状态（已知第1天是晴天：Day1 is sunny）
pi_0 = np.zeros(n_states)
pi_0[weather_seq[0] - 1] = 1 # 初始状态向量：晴天概率=1，其他为0
# 生成30天的状态分布（马尔科夫链演化：Markov Chain Evolution）
def simulate_markov(P, pi_0, steps=30):
history = [pi_0] # 存储每天的状态概率分布
pi = pi_0.copy() # 当前状态分布
for _ in range(steps):
pi = pi @ P # 矩阵乘法：计算下一天的状态分布
history.append(pi)
return np.array(history) # 返回31天的分布（初始+30天）
history = simulate_markov(P, pi_0, steps=30) # 执行模拟
# 输出前5天结果示意（Show first 5 days for demonstration）
print("\nFirst 5 Days' State Distribution:")
for i in range(5):
print(f"Day {i}: Sunny={history[i][0]:.3f}, Cloudy={history[i][1]:.3f}, Rainy={history[i][2]:.3f}")
# 可视化：天气状态分布演化（Visualization: Weather State Distribution Evolution）
plt.figure(figsize=(10, 5)) # 设置图大小
plt.plot(history[:, 0], label="Sunny") # 晴天概率曲线
plt.plot(history[:, 1], label="Cloudy") # 阴天概率曲线
plt.plot(history[:, 2], label="Rainy") # 雨天概率曲线
plt.title("Weather State Distribution Evolution (30 Days)") # 图标题
plt.xlabel("Day") # x轴标签（天数）
plt.ylabel("Probability") # y轴标签（概率）
plt.xticks(np.arange(0, 31, 5)) # x轴刻度：每5天显示1个
plt.grid(True, alpha=0.3) # 显示网格（透明度0.3，避免遮挡曲线）
plt.legend(loc="best") # 图例：自动放在最佳位置
plt.tight_layout() # 自动调整布局，避免标签被截断
plt.show() # 显示图像输出结果：
python
State Transition Probability Matrix P：
[[0.643 0.214 0.143]
[0.25 0.5 0.25 ]
[0.286 0.143 0.571]]
First 5 Days' State Distribution:
Day 0: Sunny=1.000, Cloudy=0.000, Rainy=0.000
Day 1: Sunny=0.643, Cloudy=0.214, Rainy=0.143
Day 2: Sunny=0.508, Cloudy=0.265, Rainy=0.227
Day 3: Sunny=0.458, Cloudy=0.274, Rainy=0.269
Day 4: Sunny=0.439, Cloudy=0.273, Rainy=0.287
matlab版
python
% 原始天气序列（1=晴，2=阴，3=雨）
weather_seq = [1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 1 1 ...
2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 3 2 2 2 3 3];
n_states = 3;
count_matrix = zeros(n_states);
% 构建转移计数矩阵
for i = 1:(length(weather_seq) - 1)
current = weather_seq(i);
next = weather_seq(i+1);
count_matrix(current, next) = count_matrix(current, next) + 1;
end
% 转移概率矩阵 P
P = count_matrix ./ sum(count_matrix, 2);
disp('状态转移概率矩阵 P:');
disp(round(P, 3));
% 初始状态分布（Day 1 是"晴"）
pi_0 = zeros(1, n_states);
pi_0(weather_seq(1)) = 1;
% 演化30天
steps = 30;
pi_t = zeros(steps+1, n_states);
pi_t(1, :) = pi_0;
for t = 2:(steps+1)
pi_t(t, :) = pi_t(t-1, :) * P;
end
disp('前5天状态分布：');
disp(round(pi_t(1:5, :), 3));
% 可视化（如需要）
figure;
plot(0:steps, pi_t(:, 1), '-o', 'DisplayName', '晴 (sunny)');
hold on;
plot(0:steps, pi_t(:, 2), '-o', 'DisplayName', '阴 (cloudy)');
plot(0:steps, pi_t(:, 3), '-o', 'DisplayName', '雨 (rainy)');
xlabel('天数');
ylabel('概率');
title('天气状态分布演化（30天）');
legend;
grid on;