跳跃游戏（二）：DFS 求解最少跳跃次数与最优路径

题目描述

给定一个非负整数数组 nums，数组中每个元素代表在该位置可以跳跃的最大长度。要求找出从数组起始位置（下标 0）跳到最后一个位置（下标 nums.size() - 1）的最少跳跃次数 ，并输出对应的最优跳跃过程 （如示例中的 0->1->4 表示从下标 0 跳到 1，再从 1 跳到 4）。

解题思路

采用深度优先搜索（DFS）的思路，从起始位置开始，尝试所有可能的跳跃步数，递归探索每一条可能的路径，同时记录跳跃次数和路径。当到达或超过最后一个位置时，更新最少跳跃次数和对应的最优路径。

核心逻辑

递归探索 ：从当前位置 i 出发，尝试跳跃 1 到 nums[i] 步，递归进入下一个位置 next。
路径与次数更新：每进入一个位置，将其加入当前路径；当到达终点时，若当前跳跃次数更少，则更新最少次数和最优路径。
回溯：探索完当前位置的所有可能跳跃后，将当前位置从路径中移除，回溯以探索其他可能路径。

代码实现

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;

// 存储最优跳跃路径
vector<int> best_path;
// 最少跳跃次数，初始化为整型最大值
int min_jumps = INT_MAX;
// 存储跳跃数组
vector<int> nums;

// 深度优先搜索函数
// i：当前位置；cnt：已跳跃次数；path：当前路径
void dfs(int i, int cnt, vector<int>& path) {
    // 将当前位置加入路径
    path.push_back(i);
    
    // 终止条件：到达或超过最后一个位置
    if (i >= nums.size() - 1) {
        // 若当前跳跃次数更少，更新最少次数和最优路径
        if (cnt < min_jumps) {
            min_jumps = cnt;
            best_path = path;
        }
        // 回溯，移除当前位置
        path.pop_back();
        return;
    }
    
    // 尝试从当前位置跳出的所有可能步数
    for (int j = 1; j <= nums[i]; j++) {
        int next = i + j;
        // 防止越界，直接跳到终点
        if (next >= nums.size()) {
            next = nums.size() - 1;
        }
        dfs(next, cnt + 1, path);  // 递归探索下一个位置
    }
    
    // 回溯，移除当前位置（所有子路径探索完后）
    path.pop_back();
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    nums.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> nums[i];
    }
    
    vector<int> current_path;  // 记录当前递归路径
    dfs(0, 0, current_path);
    
    // 输出最少跳跃次数和最优路径
    cout << min_jumps << " ";
    for (int i = 0; i < best_path.size(); i++) {
        if (i > 0) {
            cout << "->";  // 路径中位置间用->连接
        }
        cout << best_path[i];
    }
    cout << endl;
    
    return 0;
}

代码解释

全局变量 ：best_path 存储最优路径，min_jumps 记录最少跳跃次数，nums 存储输入的跳跃数组。
dfs 函数 ：
- 每次进入函数先将当前位置 i 加入路径 path。
- 若到达终点，判断是否更新最少次数和最优路径，然后回溯。
- 遍历当前位置可跳跃的步数，递归探索下一个位置，探索完所有子路径后回溯。
main 函数 ：
- 读取输入的数组长度和数组元素。
- 调用 dfs 函数从起始位置 0 开始探索。
- 最后输出最少跳跃次数和最优路径。

示例运行

输入：

复制代码

5
2 3 1 1 4

输出：

复制代码

2 0->1->4

解释：最少需要跳跃 2 次，路径为从 0 跳到 1，再从 1 跳到 4。

复杂度分析

时间复杂度：最坏情况下，需要探索所有可能的跳跃路径，时间复杂度为 O(2n)，其中 n 是数组长度。因为每个位置都可能有多种跳跃选择，呈现指数级增长。
空间复杂度：主要用于存储递归栈和路径，空间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组长度，递归深度最多为 n，路径存储也最多为 n 个元素。

优化思路

若要处理更大规模的数组，可添加剪枝逻辑：当当前跳跃次数已经大于等于已知的最少跳跃次数时，直接终止当前路径的探索，避免无效递归，可有效减少时间消耗。