几种特殊的数字滤波器---原理及设计

我们在数字信号处理课程当中学习了如何利用Z变换分析信号和系统的频率响应，在此希望对这部分知识进行实践，所以可以想到对常用的滤波器进行设计。

1.设计数字滤波器的一般原则

（1）若使设计的滤波器拒绝某个频率 （不让该频率信号通过），应在单位圆上相应频率处设置一个零点

（2）若使设计的滤波器突出某个频率 （使该频率信号尽量无衰减的通过)，应在单位圆内相应的频率处设置一个极点，极点越接近单位圆，在该频率处的幅频响应幅值越大。

2.简单一阶滤波器的设计（1st-order System）

仅由一个零点或者极点调节系统滤波特性；

我们知道在单位圆上：

系统的幅频特性为：

---式1

（1）由一个零点调节的低通滤波器

其中fs/2是折叠频率，系统能够通过的最高频率成分，所以在该位置放置一个零点；可以得到，当频率B点在ω=0处，式1的分子最大，可以通过；当B点在ω=pi处时，分子为0，从而不同；且这种状态是随着ω从0到pi，越到高频越不畅通；从而达到一个低通滤波的效果。

我们写出我们的系统函数：

但是我们发现系统是非因果的，所以对其补一个极点，做一个一阶延迟：

注：圆心处的零极点，不会影响系统的幅频响应

我们希望最大幅度的地方归一化为1，而位置就在ω=0的地方，且最大幅度为2，所以补上一个1/2。

最后不难看出，这个就是我们的2点滑动平均滤波器 ，这就解答了有些时候我们会产生疑惑，均值滤波，按理说滤除的是高幅度的值，为什么也可以滤除我们的高频噪声，和频率有关了？这里我们的推导可以看到，它可以滤去高频（即高频量的幅值衰减到0），也是一个低通滤波器。

那我们同理可以得出一个简单的高通滤波器：（差分系统可以提取出我们的高频成分）

（2）由一个极点调节的低通滤波器

如果，用一个极点来设计一个低通滤波器，我们应该要把极点放在ω=0，并且靠近单位圆的位置，从而当频率即B点靠近低频时，式1的分母很小，靠近高频时，分母很大；

当我们需要在pi的位置，幅度为0，那我们就需要补一个零点在ω=pi的位置上：

（3）一阶低通滤波器的截至频率设计中关于带宽的考虑

这个时候，我们设计滤波器，希望有一些频段的值通过，有一些不通过，我们就要设计我们的带宽，也就涉及到了我们a的值如何选取的问题。

我们最大频率降为1/√2也就是0.707这个位置时，对应的ω就是我们的通带截止频率；也就是信号衰减不能够超过3dB；

通带截止频率与极点位置（a）的关系：

3.数字谐振器的设计（Resonator）

电路里的谐振：当电路中激励的频率等于电路的固有频率时，电路电磁振荡的振幅也将达到峰值。

而我们的数字谐振器就是由输入，得到的输出只凸显我们谐振的那个频率也就是我们想要的那个频率；

（1）常见的二阶数字谐振器

第一种形式：

第二种形式：

4.数字陷波器的设计（Trap filter）

陷波器 ：一种特殊的带阻滤波器，其阻带在理想情况下只有一个频率点，主要用于消除某个特定频率的于扰。

我们先按照正常想法，设计零点消除干扰：

其中，假设我们想滤除一个特定频率 ω0。根据数字信号处理理论，一个在单位圆上、设置角度为 ω0 的零点可以完美滤除这个频率分量。这个零点的位置是：z1=e^{jω0},这是一个复数。如果我们只放置这这一个复数零点, 系统函数 H(z) 的一部分就是 (1 - e^{jω0} z^{-1})。将其乘开，得到的系数 h[n]会包含e^{jω0}，这显然是一个复数（同时包含实部和虚部）

这意味着，要实现这个滤波器，你需要进行复数运算，处理复数的输入和输出。

而这个问题由数学工具可以解决：一个实系数多项式的复根（零点）必须成共轭对出现。也就是说如果 z1 是一个复零点，那么它的共轭 z1* 也必须是这个系统的零点，只有这样，多项式展开后的系数才会全是实数。（因为系数是实数，这个滤波器可以用真实的硬件（如数字信号处理器DSP）或软件程序来实现，处理我们现实中遇到的实信号。）

如下设计：