1，泊松求和公式
设 x(t)x(t)x(t) 具有傅里叶变换。
频率表示
X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πft dt X(f)=\int_{-\infty}^\infty x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{~d}t X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πft dt
则有
∑n=−∞∞x(n)=∑k=−∞∞X(k)=∑k=−∞∞∫−∞∞x(k)e−j2πkt dt \color{red} \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty X(k)=\sum_{k=-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x(k)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi kt}\mathrm{~d}t n=−∞∑∞x(n)=k=−∞∑∞X(k)=k=−∞∑∞∫−∞∞x(k)e−j2πkt dt
角频率表示
X(jω)=∫−∞∞x(t)e−jωt dt X(\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{~d}t X(jω)=∫−∞∞x(t)e−jωt dt
则有
∑n=−∞∞x(nT)=1T∑k=−∞∞X(j2πkT)=1T∑k=−∞∞∫−∞∞x(t)e−j(2πk/T)t dt \color{red} \sum_{n=-\infty}^\infty x(nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^\infty X(\mathrm{j}\frac{2\pi k}{T})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(2\pi k/T) t}\mathrm{~d}t n=−∞∑∞x(nT)=T1k=−∞∑∞X(jT2πk)=T1k=−∞∑∞∫−∞∞x(t)e−j(2πk/T)t dt
其中 TTT 是采样周期。
2，泊松求和公式证明
2.1，频率公式
构造函数 F(t)=∑n=−∞∞x(t+n)F(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t+n)F(t)=n=−∞∑∞x(t+n) 。
F(t+1)=∑n=−∞∞x(t+1+n)=∑k=−∞∞x(t+k)=F(t) F(t+1)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t+1+n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t+k)=F(t) F(t+1)=n=−∞∑∞x(t+1+n)=k=−∞∑∞x(t+k)=F(t)
因此 F(t)F(t)F(t) 是周期函数，周期 T=1T=1T=1 。
把 F(t)F(t)F(t) 展开成傅里叶级数
F(t)=∑k=−∞+∞akejk(2π/T)t=∑k=−∞+∞akej2πkt F(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \mathrm{e}^{\mathrm{j} k(2 \pi / T) t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2\pi kt} F(t)=k=−∞∑+∞akejk(2π/T)t=k=−∞∑+∞akej2πkt
其中
ak=1T∫TF(t)e−jk(2π/T)t dt=∫01F(t)e−j2πkt dt a_k=\frac{1}{T} \int_T F(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k(2 \pi / T) t} \mathrm{~d} t=\int_0^1 F(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2\pi kt} \mathrm{~d} t ak=T1∫TF(t)e−jk(2π/T)t dt=∫01F(t)e−j2πkt dt
将 F(t)=∑n=−∞∞x(t+n)F(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t+n)F(t)=n=−∞∑∞x(t+n) 代入得到
ak=∫01[∑n=−∞∞x(t+n)]e−j2πkt dt a_k=\int_0^1 [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t+n)] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2\pi kt} \mathrm{~d} t ak=∫01[n=−∞∑∞x(t+n)]e−j2πkt dt
交换积分和求和的次序
ak=∑n=−∞∞∫01x(t+n)e−j2πkt dt a_k=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_0^1 x(t+n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2\pi kt} \mathrm{~d} t ak=n=−∞∑∞∫01x(t+n)e−j2πkt dt
令 t+n=mt+n=mt+n=m ，则
ak=∑n=−∞∞∫nn+1x(m)e−j2πk(m−n) dm=∑n=−∞∞∫nn+1x(m)e−j2πkm dm a_k=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_n^{n+1} x(m) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2\pi k(m-n)} \mathrm{~d} m=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_n^{n+1} x(m) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2\pi km} \mathrm{~d} m ak=n=−∞∑∞∫nn+1x(m)e−j2πk(m−n) dm=n=−∞∑∞∫nn+1x(m)e−j2πkm dm
注意到 aka_kak 是无穷多个区间为 1 的积分之和，可以进行合并
ak=∫−∞∞x(m)e−j2πkm dm a_k=\int_{-\infty}^\infty x(m) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2\pi km} \mathrm{~d} m ak=∫−∞∞x(m)e−j2πkm dm
因为 x(t)x(t)x(t) 的傅里叶变换为
X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πft dt X(f)=\int_{-\infty}^\infty x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi ft}\mathrm{~d}t X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πft dt
对比上式， ak=X(k)a_k=X(k)ak=X(k) 。
代入傅里叶级数反变换
∑n=−∞∞x(t+n)=F(t)=∑k=−∞+∞akej2πkt=∑k=−∞+∞X(k)ej2πkt \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t+n)=F(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2\pi kt}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(k) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2\pi kt} n=−∞∑∞x(t+n)=F(t)=k=−∞∑+∞akej2πkt=k=−∞∑+∞X(k)ej2πkt
取 t=0t=0t=0 ，得到
∑n=−∞∞x(n)=∑k=−∞+∞X(k) \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(k) n=−∞∑∞x(n)=k=−∞∑+∞X(k)
得证。
2.2，角频率公式
思路和频率形式类似。
构造函数 F(t)=∑n=−∞∞x(t+nT)F(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t+nT)F(t)=n=−∞∑∞x(t+nT) 。则
F(t+T)=∑n=−∞∞x(t+(n+1)T)=∑k=−∞∞x(t+kT)=F(t) F(t+T)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t+(n+1)T)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t+kT)=F(t) F(t+T)=n=−∞∑∞x(t+(n+1)T)=k=−∞∑∞x(t+kT)=F(t)
因此 F(t)F(t)F(t) 是周期函数，其周期为 TTT 。
F(t)F(t)F(t) 展开成傅里叶级数
F(t)=∑k=−∞+∞akejk(2π/T)t F(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \mathrm{e}^{\mathrm{j} k(2 \pi / T) t} F(t)=k=−∞∑+∞akejk(2π/T)t
其中
ak=1T∫TF(t)e−jk(2π/T)t dt=1T∫0TF(t)e−jk(2π/T)t dt a_k=\frac{1}{T} \int_T F(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k(2 \pi / T) t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{T} \int_0^T F(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k(2 \pi / T) t} \mathrm{~d} t ak=T1∫TF(t)e−jk(2π/T)t dt=T1∫0TF(t)e−jk(2π/T)t dt
将 F(t)=∑n=−∞∞x(t+nT)F(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t+nT)F(t)=n=−∞∑∞x(t+nT) 代入得到
ak=1T∫0T[∑n=−∞∞x(t+nT)]e−jk(2π/T)t dt a_k=\frac{1}{T} \int_0^T [\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t+nT)] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k(2 \pi / T) t} \mathrm{~d} t ak=T1∫0T[n=−∞∑∞x(t+nT)]e−jk(2π/T)t dt
交换积分和求和的次序
ak=1T∑n=−∞∞∫0Tx(t+nT)e−jk(2π/T)t dt a_k=\frac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \int_0^T x(t+nT) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k(2 \pi / T) t} \mathrm{~d} t ak=T1n=−∞∑∞∫0Tx(t+nT)e−jk(2π/T)t dt
令 m=t+nTm=t+nTm=t+nT ，则
ak=1T∑n=−∞∞∫nT(n+1)Tx(m)e−jk(2π/T)(m−nT) dm=1T∑n=−∞∞∫nT(n+1)Tx(m)e−jk(2π/T)m dm a_k=\frac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \int_{nT}^{(n+1)T} x(m) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k(2 \pi / T) (m-nT)} \mathrm{~d} m=\frac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \int_{nT}^{(n+1)T} x(m) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k(2 \pi / T) m} \mathrm{~d} m ak=T1n=−∞∑∞∫nT(n+1)Tx(m)e−jk(2π/T)(m−nT) dm=T1n=−∞∑∞∫nT(n+1)Tx(m)e−jk(2π/T)m dm
注意到 aka_kak 是无穷多个区间为 TTT 的积分之和，可以进行合并
ak=1T∫−∞∞x(m)e−jk(2π/T)m dm a_k=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^\infty x(m) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k(2\pi /T)m} \mathrm{~d} m ak=T1∫−∞∞x(m)e−jk(2π/T)m dm
因为 x(t)x(t)x(t) 的傅里叶变换为
X(jω)=∫−∞∞x(t)e−jωt dt X(\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{~d}t X(jω)=∫−∞∞x(t)e−jωt dt
可见
ak=1TX(j2πkT) a_k=\frac{1}{T}X(\mathrm{j}\frac{2\pi k}{T}) ak=T1X(jT2πk)
代入傅里叶级数反变换
∑n=−∞∞x(t+nT)=F(t)=1T∑k=−∞+∞X(j2πkT)ejk(2π/T)t \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t+nT)=F(t)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(\mathrm{j}\frac{2\pi k}{T}) \mathrm{e}^{\mathrm{j} k(2 \pi / T) t} n=−∞∑∞x(t+nT)=F(t)=T1k=−∞∑+∞X(jT2πk)ejk(2π/T)t
取 t=0t=0t=0 得到
∑n=−∞∞x(nT)=1T∑k=−∞+∞X(j2πkT) \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(\mathrm{j}\frac{2\pi k}{T}) n=−∞∑∞x(nT)=T1k=−∞∑+∞X(jT2πk)
得证。