【数据结构】并查集

目录

[1. 并查集原理](#1. 并查集原理)

[2. 并查集实现](#2. 并查集实现)

2.1并查集的优化问题

[3. 并查集应用](#3. 并查集应用)

---

1. 并查集原理

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素根据某种联系划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于哪个集合的运算。

适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-findset)。

比如：某公司今年校招全国总共招生10人，西安招4人，成都招3人，武汉招3人，10个人来自不

同的学校，起先互不相识，每个学生都是一个独立的小团体，现给这些学生进行编号：{0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9}; 给以下数组用来存储该小集体，数组中的数字代表：该小集体中具有成员的个

数。(负号下文解释)

毕业后，学生们要去公司上班，每个地方的学生自发组织成小分队一起上路，于是：

西安学生小分队s1={0,6,7,8}，成都学生小分队s2={1,4,9}，武汉学生小分队s3={2,3,5}就相互认识

了，10个人形成了三个小团体。假设右三个群主0,1,2担任队长，负责大家的出行。

一趟火车之旅后，每个小分队成员就互相熟悉，称为了一个朋友圈，之前每个小队，队长带领队员，我们可以视作一棵树，大家组成的朋友圈就可以视作森林，这个森林就是并查集，即并查集就是森林。

与堆的实现类似，并查集主要通过数组下标表示关系。

现在假设一组数据，我们可以将其映射到数组的每个位置上，数组初始化为-1。

根据小团体的标号，我们就可以将每个人映射到数组中，为了表示数据间的相互关系，现在队员映射到的位置里面存储队长映射位置的下标，同时队长每有一个队员，队长位置存储的值就-1。

最终根据映射关系我们就可以做出上图

从上图可以看出：编号6,7,8同学属于0号小分队，该小分队中有4人(包含队长0，每一个-1就代表一个人)；编号为4和9的同学属于1号小分队，该小分队有3人(包含队长1)，编号为3和5的同学属于2号小分队，该小分队有3个人(包含队长1)。

仔细观察数组中内值分布，可以得出以下结论：

1. 数组的下标对应集合中元素的编号

2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数

3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

在公司工作一段时间后，西安小分队中8号同学与成都小分队1号同学奇迹般的走到了一起，两个

小圈子的学生相互介绍，最后成为了一个小圈子：

现在0集合有7个人，2集合有3个人，总共两个朋友圈。同时1内部就要存储其父亲的映射位置，0映射位置存储数据也要变成-7，表示这个集合中共有7个人。

通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：

1. 查找元素属于哪个集合
沿着数组表示树形关系往上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)

2. 查看两个元素是否属于同一个集合
沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在

3. 将两个集合归并成一个集合
将两个集合中的元素合并将一个集合名称改成另一个集合的名称

4. 集合的个数
遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

2. 并查集实现

class UnionFindSet
{
public:
	// 初始时，将数组中元素全部设置为-1
	UnionFindSet(size_t size)
		: _ufs(size, -1)
	{
	}

	// 给一个元素的编号，找到该元素所在集合的名称
	int FindRoot(int index)
	{
		// 如果数组中存储的是负数，找到根，否则一直继续
		while (_ufs[index] >= 0)
		{
			index = _ufs[index];
		}
		return index;
	}

    //将两个元素合并到一个集合中
	bool Union(int x1, int x2)
	{
		int root1 = FindRoot(x1);
		int root2 = FindRoot(x2);
		// 根相同，x1已经与x2在同一个集合
		if (root1 == root2)
			return false;
		// 将两个集合中元素合并
		_ufs[root1] += _ufs[root2];
		// 将其中一个集合名称改变成另外一个（改变指向的根）
		_ufs[root2] = root1;
		return true;
	}

	// 数组中负数的个数，即为集合的个数
	size_t Count()const
	{
		size_t count = 0;
		for (auto e : _ufs)
		{
			if (e < 0)
				++count;
		}
		return count;
	}

private:
	vector<int> _ufs;
};

注：以上的情况仅仅针对可以直接映射到数组的数据，如果针对的数据无法直接映射到数组下标，那么需要先增加一层映射，用来给数据增加编号。

如下图，数据是人名的情况，我们可以先使用map，让数据从0、1、2、3........依次编号。

2.1并查集的优化问题

在上面的实现当中，将两个集合合并的过程中，其实并没有具体的规则，比如将哪个集合合并到哪个集合上。

但是在具体的实践过程中，随着数据量级的不断增大，集合的合并可能会造成，整体的树太高，从而导致寻找根的效率答复下降。

如上图，对于5来说找到根的0的效率是比较差的，整体的路径比较长。

因此并查集也衍生出了压缩路径的优化需求。

思路一，就是合并时将数据量小的合集往大合集合并。

//将两个元素合并到一个集合中
bool Union(int x1, int x2)
{
	int root1 = FindRoot(x1);
	int root2 = FindRoot(x2);
	// 根相同，x1已经与x2在同一个集合
	if (root1 == root2)
		return false;

	//数据量小的合集往大合集合并
	if (abs(root1) < abs(root2))
		swap(root1, root2);

	// 将两个集合中元素合并
	_ufs[root1] += _ufs[root2];
	// 将其中一个集合名称改变成另外一个（改变指向的根）
	_ufs[root2] = root1;
	return true;
}

以上图为例，假设左边集合根有99个孩子，右边有9个，左边是大合集，这个时候我们发现如果我们合并，不断是大集合合并到小集合，还是小集合合并到大集合，对于某一个集合来说，其所有的节点都比原先要多出一层的路径，所以如果大集合合并到小集合，100节点多出一层路径，而小集合合并到大集合只会有10个节点多出一层。

所以通过集合合并时，小合集合并到大合集的优化方式可以起到很好优化效果。

思路二：是在FindRoot函数中，我们可以将多层节点的父亲直接变成最顶层节点

	// 给一个元素的编号，找到该元素所在集合的名称
	int FindRoot(int index)
	{
		// 如果数组中存储的是负数，找到根，否则一直继续
		while (_ufs[index] >= 0)
		{
			index = _ufs[index];
		}

        //压缩路径
        while(_ufs[x] >= 0){
        int parent = _ufs[x];
        _ufs[x] = root;       

        x = parent;
        }

		return index;
	}

如上图，假设我们不加优化，合并后就会变成下图

我们发现对于9来说寻找根的效率退化非常大。每次合并，我们直接将节点合并到最顶层的根，树高就可以控制了。

3. 并查集应用

省份数量

对于这道题目，不管是直接还是间接相连，从并查集的角度出发，只要相连，就意味着节点间存在关系，属于同一个集合中。因此并查集中的集合的个数也就是我们本体中省份的个数。

class Solution {
public:
	int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
		// 手动控制并查集
        //本体节点天然就可以视作编号，可以直接映射
		vector<int> ufs(isConnected.size(), -1);

		// 查找根
		auto findRoot = [&ufs](int x)
			{
				while (ufs[x] >= 0)
					x = ufs[x];
				return x;
			};

        //遍历，根据提供的直接或间接连接的关系将节点合并到同一个集合中
		for (size_t i = 0; i < isConnected.size(); ++i)
		{
			for (size_t j = 0; j < isConnected[i].size(); ++j)
			{
				if (isConnected[i][j] == 1)
				{
					// 合并集合
					int root1 = findRoot(i);
					int root2 = findRoot(j);
					if (root1 != root2)
					{
						ufs[root1] += ufs[root2];
						ufs[root2] = root1;
					}
				}
			}
		}

        //集合个数就是省份的个数
		int n = 0;
		for (auto e : ufs)
		{
			if (e < 0)
				++n;
		}
		return n;
	}
};

等式方程的可满足性

本题中是要我们根据符号判断是否相悖，我们可以将相等视作两个字母可以合并到一个集合中，如果后续我们判断不相等的字母却在同一个集合中，就说明前后条件是相悖。

/*
解题思路：
1. 将所有"=="两端的字符合并到一个集合中
2. 检测"!=" 两端的字符是否在同一个结合中，如果在不满足，如果不在满足
*/
class Solution {
public:
	bool equationsPossible(vector<string>& equations) {
		vector<int> ufs(26, -1);
		auto findRoot = [&ufs](int x)
			{
				while (ufs[x] >= 0)
					x = ufs[x];
				return x;
			};

		// 第一遍，先把相等的值加到一个集合中
        //因为这里是字母，要通过-'a'才能映射到数组中
		for (auto& str : equations)
		{
			if (str[1] == '=')
			{
				int root1 = findRoot(str[0] - 'a');
				int root2 = findRoot(str[3] - 'a');
				if (root1 != root2)
				{
					ufs[root1] += ufs[root2];
					ufs[root2] = root1;
				}
			}
		}

		// 第二遍，如果不相等的字母在一个集合，就说明相悖了
		// 返回false
		for (auto& str : equations)
		{
			if (str[1] == '!')
			{
				int root1 = findRoot(str[0] - 'a');
				int root2 = findRoot(str[3] - 'a');
				if (root1 == root2)
				{
					return false;
				}
			}
		}
		return true;
	}
};