PINN驱动的高阶偏微分方程求解MATLAB代码

MATLAB 代码实现了一个基于物理信息神经网络(Physics-Informed Neural Network, PINN)的高阶偏微分方程(梁振动方程)求解器。以下是详细分析:


一、主要功能

main.m 是主程序,负责:

  • 设置问题参数(梁长 L、时间 T、训练点数量等);
  • 生成训练数据(PDE 残差点、初始条件点、边界条件点);
  • 构建神经网络结构;
  • 训练神经网络;
  • 预测解并可视化结果(与解析解比较、误差分析)。

modelLoss.m 是自定义损失函数,用于:

  • 计算 PDE 残差、初始条件残差、边界条件残差;
  • 使用自动微分(dlgradient)计算高阶导数;
  • 加权组合各项损失,并返回总损失和梯度。

二、逻辑关联

  • main.m 调用 modelLoss.m 在训练过程中计算损失和梯度。
  • modelLoss.m 中定义的损失函数包含了物理方程(PDE)、初始条件(IC)和边界条件(BC)的约束,确保神经网络学习到物理规律。

三、算法步骤

  1. 数据生成:在空间和时间域内随机采样点,包括内部点、初始时刻点、边界点。
  2. 网络构建:使用全连接层 + tanh 激活函数构建深层神经网络。
  3. 训练循环
    • 使用 Adam 优化器;
    • 动态衰减学习率;
    • 每轮计算损失(PDE + IC + BC)并反向传播。
  4. 预测与评估
    • 在测试网格上预测解;
    • 与解析解比较,计算误差;
    • 可视化结果和训练过程。

四、技术路线

  • PINN 方法:将偏微分方程作为正则项嵌入神经网络损失函数中。
  • 自动微分 :使用 dlgradient 计算高阶导数(如 ( u_{tt} ), ( u_{xxxx} ))。
  • 加权多目标损失:为 IC 和 BC 分配更高权重,增强约束。
  • 动态学习率衰减:提高训练稳定性。

五、公式原理


六、参数设定

参数 含义
L 梁长度 1
T 时间长度 1
numPDE PDE 残差点数 1000
numIC 初始条件点数 200
numBC 边界条件点数 300
numEpochs 训练轮数 1000
initialLR 初始学习率 0.001
decayRate 学习率衰减率 0.95
decaySteps 衰减步长 100

七、运行环境

  • 软件:MATLAB(需安装 Deep Learning Toolbox)
  • 硬件:支持 CPU/GPU 训练(若可用,可加速)
  • 版本 :建议 R2021a 或更高版本(因使用 dlarraydlnetwork

总结

该代码使用 PINN 方法求解梁振动方程,通过将物理约束嵌入神经网络训练中,避免了传统数值方法对网格的依赖,适用于复杂边界/初始条件的问题。代码结构清晰,包含完整的训练、预测和可视化流程,适合作为 PINN 入门和实践案例。



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