已知两个平面点的坐标、切线方向、曲率，使用牛顿迭代法构造三阶 Bézier 曲线的方法

1. 三阶 Bézier 曲线定义

B(t) = (1-t)^3P0 + 3 (1-t)^2t P1 + 3*(1-t)t^2P2 + t^3*P3, t ∈ 0,1

其中： P0：起点 P3：终点 P1, P2：控制点

2. 输入条件

设： P0 = (x0, y0) // 起点坐标

P3 = (x3, y3) // 终点坐标

T0 = (cos θ0, sin θ0) // 起点切线方向单位向量

T3 = (cos θ3, sin θ3) // 终点切线方向单位向量

κ0：起点曲率（标量）

κ3：终点曲率（标量）

3. 控制点参数化

引入参数 s0 和 s3，分别表示起点和终点处的"速度幅值"：

P1 = P0 + (s0/3) * T0

P2 = P3 - (s3/3) * T3

目标：通过牛顿迭代法求解 s0 和 s3，使得 Bézier 曲线在端点处的曲率等于给定值 κ0 和 κ3。

4. 曲率公式（端点处）

在 t = 0 处的曲率近似公式为：

κ0 ≈ | B'(0) × B''(0) | / |B'(0)|^3

计算导数： B'(0) = 3*(P1 - P0) = s0 * T0

B''(0) = 6*(P2 - 2*P1 + P0)

代入 P1 和 P2：

令 ΔP = P3 - P0

则： P1 = P0 + (s0/3)*T0

P2 = P3 - (s3/3)*T3

B''(0) = 6* (P3 - (s3/3)*T3) - 2* (P0 + (s0/3)*T0) + P0
= 6* P3 - P0 - (2\*s0/3)*T0 - (s3/3)*T3
= 6* ΔP - (2*s0/3)\*T0 - (s3/3)\*T3

二维叉积（标量）： a × b = a_xb_y - a_yb_x

则： B'(0) × B''(0) = (s0T0) × {6 ΔP - (2*s0/3)*T0 - (s3/3)*T3}
= 6s0 * T0 × ΔP - (2*s0/3)* (T0 × T0) - (s3/3)*(T0 × T3)
= 6s0 * T0 × ΔP - (s3/3)\*(T0 × T3) （因 T0 × T0 = 0）

|B'(0)|^3 = (s0)^3

所以： κ0 = |6*s0 * T0 × ΔP - (s3/3)* (T0 × T3) | / (s0)^3

= 6 * | T0 × ΔP - (s3/3)*(T0 × T3) | / (s0)^2

同理，在 t = 1 处：

κ3 = 6 * | T3 × (-ΔP) - (s0/3)*(T3 × T0) | / (s3)^2

注意：T3 × T0 = - (T0 × T3)

令： C03 = T0 × T3 = cosθ0sinθ3 - sinθ0 cosθ3 = sin(θ3 - θ0)

D0 = T0 × ΔP

D3 = T3 × (P0 - P3) = T3 × (-ΔP)

则曲率方程为：

(1) κ0 = 6 * | D0 - (s3/3)*C03 | / (s0)^2

(2) κ3 = 6 * | D3 + (s0/3)*C03 | / (s3)^2

5. 牛顿迭代法求解 s0 和 s3

定义变量： x = s0, s3^T

定义残差函数： F(x) = f1(s0,s3), f2(s0,s3) ^T

其中： f1(s0,s3) = 6 * | D0 - (s3/3)*C03 | / (s0)^2 - κ0

f2(s0,s3) = 6 * | D3 + (s0/3)*C03 | / (s3)^2 - κ3

为简化，假设符号已知（例如曲率方向一致），可暂时去掉绝对值（迭代中根据符号调整）：

假设： D0 - (s3/3)*C03 ≥ 0

D3 + (s0/3)*C03 ≥ 0

则： f1 = 6*( D0 - (s3/3)C03 ) / (s0)^2 - κ0
f2 = 6( D3 + (s0/3)*C03 ) / (s3)^2 - κ3

雅可比矩阵 J = ∂f1/∂s0, ∂f1/∂s3 ; ∂f2/∂s0, ∂f2/∂s3

计算偏导数：

∂f1/∂s0 = 6*( D0 - (s3/3)C03 ) * (-2) / (s0)^3
= -12( D0 - (s3/3)*C03 ) / (s0)^3

∂f1/∂s3 = 6 * (-C03/3) / (s0)^2 = -2*C03 / (s0)^2

∂f2/∂s0 = 6 * (C03/3) / (s3)^2 = 2*C03 / (s3)^2

∂f2/∂s3 = 6*( D3 + (s0/3)C03 ) * (-2) / (s3)^3
= -12( D3 + (s0/3)*C03 ) / (s3)^3

6. 牛顿迭代步骤

1. 初始化：

   选择初始值 s0^(0), s3^(0)（例如基于弦长：s0 = |P3-P0|, s3 = |P3-P0|）设置容差 ε（如 1e-6），最大迭代次数 N

2. 对 k = 0,1,2,...,N-1： a. 计算当前残差： f1_k = 6*( D0 - (s3_k/3)C03 ) / (s0_k)^2 - κ0
   f2_k = 6 ( D3 + (s0_k/3)C03 ) / (s3_k)^2 - κ3 b. 若 |f1_k| < ε 且 |f2_k| < ε，收敛，跳出 c. 计算雅可比矩阵元素： J11 = -12 ( D0 - (s3_k/3)C03 ) / (s0_k)^3
   J12 = -2 C03 / (s0_k)^2

   J21 = 2C03 / (s3_k)^2
   J22 = -12 ( D3 + (s0_k/3)*C03 ) / (s3_k)^3 d. 解线性方程组： J11 J12 Δs0 -f1_k

   J21 J22 Δs3 = -f2_k e. 更新： s0_{k+1} = s0_k + Δs0

   s3_{k+1} = s3_k + Δs3 f. 若 Δs 很小，收敛

3. 输出最终 s0, s3

7. 计算控制点

P1 = P0 + (s0/3) * T0

P2 = P3 - (s3/3) * T3

8. 注意事项

• 若 κ0 = 0 或 κ3 = 0，表示直线段，可单独处理（如设 s0 较大）
• 叉积符号反映曲率方向，迭代中需检查绝对值内的表达式符号，必要时调整
• 初始值选择影响收敛性，建议基于几何意义初始化（如 s0 ≈ √(|D0|/κ0) 等）