剑指offer-29、最⼩的k个数

题⽬描述

输⼊ n 个整数，找出其中最⼩的 K 个数。例如输⼊ 4,5,1,6,2,7,3,8 这 8 个数字，则最⼩的 4 个数字是 1,2,3,4 。

思路及解答

排序法

最直接的思路是将数组排序后取前k个元素

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public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int[] input, int k) {
    ArrayList<Integer> result = new ArrayList<>();
    if (input == null || k <= 0 || k > input.length) {
        return result; // 处理非法输入
    }
    Arrays.sort(input); // 使用Java内置排序，时间复杂度O(n log n)
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        result.add(input[i]); // 取前k个元素
    }
    return result;
}

时间复杂度 ：主要由 Arrays.sort() 决定，为 O(n log n)
空间复杂度：O(k)，用于存储结果的列表

大顶堆法（推荐）

维护一个大小为k的大顶堆（Max-Heap），堆顶是当前k个数中的最大值。遍历数组，如果当前数比堆顶小，则替换堆顶并调整堆

这⾥不展开最⼤堆和最⼩堆的具体讲解，什么是最⼤堆/最⼩堆呢？

⼤/⼩堆树是完全⼆叉树
⼤/⼩堆树的每⼀个节点不⼩于/不⼤于其孩⼦节点。

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public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int[] input, int k) {
    ArrayList<Integer> result = new ArrayList<>();
    if (input == null || k <= 0 || k > input.length) {
        return result;
    }
    // 创建一个大顶堆，使用自定义比较器实现降序排列
    PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
    for (int num : input) {
        if (maxHeap.size() < k) {
            maxHeap.offer(num); // 堆未满，直接加入
        } else if (num < maxHeap.peek()) { // 当前数比堆顶最大值小
            maxHeap.poll(); // 移除堆顶最大值
            maxHeap.offer(num); // 将当前数加入堆
        }
    }
    result.addAll(maxHeap);
    return result;
}

时间复杂度：O(n log k)。每次插入或删除堆的操作需要 O(log k) 时间，共需进行 n 次这样的操作
空间复杂度：O(k)，堆的大小

堆这种数据结构适合处理海量数据 （数据无法一次性装入内存），或者当 k 远小于 n 时非常高效。

大数据问题处理面试题 ：www.seven97.top/interview/i...

快速选择法（效率最优）

基于快速排序的 partition 操作。每次随机选择一个基准元素（pivot），将数组划分为比基准小和比基准大的两部分。根据基准的位置与k的关系，决定继续划分哪一部分

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public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int[] input, int k) {
    ArrayList<Integer> result = new ArrayList<>();
    if (input == null || k <= 0 || k > input.length) {
        return result;
    }
    quickSelect(input, 0, input.length - 1, k);
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        result.add(input[i]);
    }
    return result;
}

private void quickSelect(int[] arr, int left, int right, int k) {
    if (left >= right) return;
    int pivotIndex = partition(arr, left, right);
    if (pivotIndex == k - 1) { // 基准点正好是第k-1个位置（0-indexed），则其左边就是最小的k个数
        return;
    } else if (pivotIndex > k - 1) { // 基准点位置大于k-1，说明最小的k个数在左边
        quickSelect(arr, left, pivotIndex - 1, k);
    } else { // 基准点位置小于k-1，说明最小的k个数还需要包括右边的一部分
        quickSelect(arr, pivotIndex + 1, right, k);
    }
}

// 分区操作，将小于基准的数放在左边，大于基准的数放在右边，返回基准的最终位置
private int partition(int[] arr, int left, int right) {
    // 随机选择基准，避免最坏情况
    int randomIndex = new Random().nextInt(right - left + 1) + left;
    swap(arr, left, randomIndex);
    int pivot = arr[left];
    int i = left, j = right;
    while (i < j) {
        while (i < j && arr[j] >= pivot) j--;
        while (i < j && arr[i] <= pivot) i++;
        if (i < j) swap(arr, i, j);
    }
    swap(arr, left, i);
    return i;
}

private void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

时间复杂度 ：平均 O(n)。每次partition操作平均处理n个元素，但每次都能将问题规模大致减半（n + n/2 + n/4 + ... ≈ 2n）。最坏情况（每次选的基准都是最大或最小值）下为O(n²)，但随机选择基准有效避免了最坏情况的发生。
空间复杂度：O(log n)，递归调用栈的深度