机器学习面试题：逻辑回归Logistic Regression（LR）

题目

（1）简述一下什么是逻辑回归Logistic Regression（LR）；

（2）推导逻辑回归Logistic Regression（LR）的梯度表达式；

（3）在Logistic Regression（LR）里有两个特征，分别是， 前的权重参数分别是，而且。现在对LR加入L2正则，则模型优化后，推导参数的关系；

解答

（1）

逻辑回归 虽然名字里带有"回归"，但它实际上是一种解决分类问题 （尤其是二分类）的经典机器学习算法。它的核心思想是：通过一个逻辑函数（Sigmoid函数），将线性回归的预测结果映射到0和1之间，从而得到某个样本属于特定类别的概率。

1.核心思想与工作原理

1. 从线性回归出发

   • 线性回归的公式是：，它输出一个连续的数值，范围是 ，适合预测价格、销量等。

   • 但分类问题需要输出一个概率，其值必须在 [0, 1] 之间。

2. 引入Sigmoid函数（逻辑函数）

   • 为了解决这个矛盾，逻辑回归将线性回归的输出 z（）作为Sigmoid函数的输入。

   • Sigmoid函数 的公式为：

   • 它的功能是将任何实数 z "挤压"到 (0, 1) 区间内。当 z 很大时， 无限接近1；当 z 很小时， 无限接近0。

3. 得到概率输出

   • 最终，逻辑回归模型的输出是一个概率值：
     

   • 这个 表示在给定输入特征 x 的情况下，样本属于类别1的概率。

   • 通常，我们会设定一个**阈值（默认为0.5）**来做最终分类：

     • 如果 ，则预测为类别1。

     • 如果 ，则预测为类别0。

2.主要特点

• 输出是概率：这不仅给出了分类结果，还给出了预测的"把握程度"，这比单纯的硬分类更具解释性。

• 本质是线性分类器 ：它的决策边界是一条直线（在二维空间中）或一个超平面（在高维空间中）。这意味着它擅长处理线性可分 或近似线性可分的数据。

• 训练过程 ：通过极大似然估计法 来寻找最优的参数 ，使得预测出的概率分布最接近真实数据的分布。优化过程通常使用梯度下降等算法。

3.优点与缺点

优点：

1. 简单高效：实现简单，计算成本低，易于理解和部署。

2. 可解释性强：不仅可以预测类别，还可以得到概率值。并且模型的权重参数可以直观地反映特征对结果的影响程度（例如，权重越大，该特征对预测为正类的贡献越大）。

3. 不易过拟合：尤其是当数据集线性可分或特征数量不多时。也可以通过L1、L2正则化来防止过拟合。

缺点：

1. 对非线性决策边界的数据集表现较差。虽然可以通过引入特征交叉项或多项式特征来提升能力，但这并非其天然优势。

2. 当特征空间很大或数据特征之间存在高度相关性时，性能可能会下降。

（2）

在逻辑回归（Logistic Regression, LR）中，梯度是优化算法（如梯度下降）的关键部分。

1. 逻辑回归模型和损失函数

逻辑回归的假设函数为：

其中， 是参数向量，x 是特征向量。

对于单个样本 ，其中 ，交叉熵损失函数为：

对于整个训练集（有 m 个样本），代价函数为：

2. 梯度推导

为了计算梯度 ，我们需要求偏导数 ​。这里使用链式法则。

令 ，则 。Sigmoid函数的导数为：

对于单个样本，损失函数对 的偏导数为：

其中：

• （通过求导得到）

• 

• 

代入后：

因此，对于单个样本，梯度向量为：

对于整个训练集，代价函数 J(θ) 的梯度是所有样本梯度的平均值：

3. 向量化形式

在实现中，通常使用向量化计算以提高效率。设：

• X 为设计矩阵，维度 m×n（m 个样本，n 个特征），其中每一行是一个样本 。

• y 为标签向量，维度 m×1。

• 为预测向量，维度 m×1。

则梯度的向量化形式为：

4. 总结

逻辑回归的梯度表达式为：

这个梯度用于梯度下降更新参数：

其中 α 是学习率。

（3）

1. 模型预测值 ：逻辑回归的线性部分为 （b为偏置项）。由于 ，代入得。因此，交叉熵损失函数仅依赖于组合 ​ 和 b。

2. 总损失函数 ：加入L2正则化后，总损失函数为 ，其中 是交叉熵损失，λ 是正则化参数。

3. 优化条件：在最优解处，梯度为零。计算偏导数：

   • 

   • 

4. 求解关系 ：从第二个方程得 ，代入第一个方程：。 简化得，即 ​。

结论：模型优化后，权重 ​ 和 的关系为 ​。这意味着权重与特征之间的线性关系一致：特征 ​ 是 ​ 的 a 倍，权重 也是 的 a 倍。这种关系确保了在L2正则化下，模型对相关特征的处理是平衡的，避免了过拟合。