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向量的数量积
（这个定义可以参考高等数学中学习过的内积来理解）
假设x=（x1,x2······xn）T，y=（y1,y2······yn）T，且都∈Rn，或（Cn），把实数（x,y）=∑i=1n xiyi称为向量x与y的数量积，或者叫内积。
欧式范数
非负实数||x||2=（x，x）1/2 = (∑ i=1n xi2 )1/2 称为向量x的欧式范数
向量数量积的性质
（x，x）=0
（αx，y）= α（x，y）
（x，y）= （y，x）
（x1+x2，y）= （x1，y）+（x2，y）
|（x，y）| ≤ ||x||2 ||y||2
||x + y||2≤ ||x||2 + ||y||2（三角不等式）
向量范数的极限
在R中定义了实值函数，记作||·||，对所有的x,y∈ Rn，以及λ∈ R，如果满足：
1，||x|| ≥ 0，当且仅当x=0时， ||x|| = 0（即：非负性）
2，||λx||= | λ | || x ||（即：齐次性）
3， ||x + y||≤ ||x|| + ||y||（三角不等式）
那就称||x||是向量x的范数（或者模）
常用的范数
向量的♾️-范数（也叫做最大范数）：||x||♾️= max 1≤i≤n |xi|
向量的 1- 范数（也叫做绝对值范数） ：||x||1 = ∑i=1 n|xi|
向量的 2 -范数：||x||2 = （x，x）1/2 = (∑ i=1n xi2 )1/2 （就是向量本身的平方和再开二次根）
向量的 p -范数：||x||p = = (∑ i=1n xip )1/p ，1 ≤ p ≤♾️。
当 p=1 时，就是 1 范数，当 p=2 时，就是 2 范数。
向量序列的极限
假设{x(k)}是Rn中的一个向量序列, x*∈Rn，记：x(k)=（ x1(k) ， x2(k) ······ xn(k) ）T，x*=（ x1* ， x2* ······ xn* ）T，若limk→♾️ xi（k） = xi* (i=1,2,3······n)，就称向量序列{xi（k）}收敛于x*。
只看官方定义不是很好理解的话，就看下面这个表格：
| x(1) | x(2) | x(k) | ------> | x* |
|---|---|---|---|---|
| x1(1) | x1(2) | x1(k) | ------> | x1* |
| x2(1) | x2(2) | x2(k) | ------> | x2* |
| x3(1) | x3(2) | x3(k) | ------> | x3* |
范数的连续性（定理1）
Rn中的任何范数||x||都是x的连续函数。
范数的等价性（定理2）
设||x||s,||x||t是Rn中的任意两种范数,>则存在常数c1,c2>0,使得:
c1||x||s≤||x||t≤c2||x||s，对一切x∈Rn
（其实这个式子表达的是任意两个范数之间相差不超过一个常数倍）（也可以看出在一种范数意义下向量序列收敛，那么在任何一种范数意义在这个向量序列也收敛）
定理3
limk→♾️ x(k) = x*的充要条件是limk→♾️ ||x（k） - x*|| = 0,其中||·||是向量的任一种范数。
（这个定理常用来判断向量序列的收敛。）
矩阵范数
在Rn×n中定义了实值函数，记作||·||，对所有的A,B∈Rn×n，以及λ∈R，如果满足：
1，||A|| ≥ 0，当且仅当A=0时， ||A|| = 0（即：非负性）
2，||λA||= | λ | || A ||（即：齐次性）
3， ||A + B|≤ ||A|| + ||B||（三角不等式）
4，||A B|| ≤ ||A|| ||B||
那就称||A||是矩阵A的范数。
相容性
（在大多数情况在，矩阵和向量会同时出现，因为它有相容性）
假设矩阵范数||·||s，向量范数||·||t，如果对于任何向量x∈Rn，以及矩阵A∈Rn×n，都有：
||Ax || t≤ ||A|| s||x||t
成立，那么就称矩阵范数||·||s与向量范数||·||t相容。
从属范数
设||·||是Rn中的向量范数，对于任何A∈Rn，若定义：
||A|| = max||x||=1||Ax||
那么||A||是矩阵A的范数，则矩阵范数||·||称为向量范数||·||的从属范数。矩阵范数与向量范数相容。也就是有：
||Ax|| = ||A|| ||x||
（Ax，x都是向量范数，A是矩阵范数）
常用的矩阵范数
♾️-范数（行范数）：||A||♾️=max1≤i≤n∑j=1n
|aij|，从属于向量的♾️-范数的矩阵范数。
（先计算每一行上元素绝对值的行和）
1 -范数（列范数）：||A||1=max1≤j≤n∑i=1n
|aij|，从属于向量的1-范数的矩阵范数。
（先计算每一列上元素绝对值的列和）
2-范数（谱范数）：||A||2=√λmax（ATA），是从属于向量的2-范数的矩阵范数。其中，λmax是矩阵ATA的最大特征值。
F-范数：||A||F=[∑ i,j=1 n aij 2]1/2，是与向量的2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数。
举个例子：
计算A的常用范数。
解析：
1，A的♾️-范数（行范数）：由于A的第一行绝对值之和是3，第二行绝对值之和是1，所以取最大的为3，因此无穷范数就是3。
2，A的1-范数（列范数）：由于A的第一列绝对值之和是3，第二列绝对值之和是1，所以取最大的为3，因此1-范数就是3。
3，A的2-范数（谱范数）：计算过程如下：
4，F-范数：
所有元素的平方和是6，所以对6开二次跟即可。
因此：
谱半径
矩阵 A∈Rn的特征值按模最大值称为 A 的谱半径，记为 ρ(A) ，即 ρ(A) =max 1≤i≤n |λi|，式中，λi是 A 的特征值.
谱半径是所有函范数的下界
A 的 2-范数与该矩阵的谱半径相等
A²的谱半径就是谱半径²
未完待更~~~
：）