高数基础知识（下）②

文章目录

七、微分方程
- [7.3 高阶线性微分方程](#7.3 高阶线性微分方程)
- - [7.3.1 线性微分方程的解的结构](#7.3.1 线性微分方程的解的结构)
  - [7.3.2 常系数齐次线性微分方程](#7.3.2 常系数齐次线性微分方程)
  - [7.3.3 常系数非齐次线性微分方程](#7.3.3 常系数非齐次线性微分方程)
八、多元函数微分学
- [8.1 偏导数](#8.1 偏导数)
- [8.2 全微分](#8.2 全微分)
- [8.3 基本定理](#8.3 基本定理)
- [8.4 复合函数微分法](#8.4 复合函数微分法)
- [8.5 隐函数微分法](#8.5 隐函数微分法)
- [8.6 多元函数的极值](#8.6 多元函数的极值)
- - [8.6.1 无条件极值](#8.6.1 无条件极值)
  - [8.6.2 条件极值（拉格朗日乘数法）](#8.6.2 条件极值（拉格朗日乘数法）)
九、二重积分
- [9.1 二重积分的概念](#9.1 二重积分的概念)
- [9.2 二重积分的性质](#9.2 二重积分的性质)
- 9.3、二重积分的计算
- - [9.3.1 利用直角坐标计算](#9.3.1 利用直角坐标计算)
  - [9.3.2 利用极坐标计算](#9.3.2 利用极坐标计算)
  - [9.3.3 利用函数的奇偶性计算](#9.3.3 利用函数的奇偶性计算)
  - [9.3.4 利用变量的轮换对称性计算](#9.3.4 利用变量的轮换对称性计算)

七、微分方程

7.3 高阶线性微分方程

7.3.1 线性微分方程的解的结构

这里只讨论二阶线性微分方程，其结论可以推广到更高阶的方程。二阶线性微分方程的一般形式为
y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) , y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x), y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x),

这里的 p ( x ) , q ( x ) , f ( x ) p(x), q(x), f(x) p(x),q(x),f(x) 均为连续函数。当方程右端的 f ( x ) ≡ 0 f(x) \equiv 0 f(x)≡0 时，称为二阶线性齐次方程 ，否则称为二阶线性非齐次方程。

齐次方程
y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 (①) y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \tag{①} y′′+p(x)y′+q(x)y=0(①)
非齐次方程
y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) . (②) y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x). \tag{②} y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x).(②)

定理如果 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) 和 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x) 是齐次方程①的两个线性无关的特解，那么

y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)

就是方程①的通解。

【注】 方程①的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数。

定理如果 y ∗ y^* y∗ 是非齐次方程②的一个特解， y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) 和 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x) 是齐次方程①的两个线性无关的特解，则
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y ∗ ( x ) y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + y^*(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x)

是非齐次微分方程②的通解。

定理如果 y 1 ∗ ( x ) , y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x), y_2^*(x) y1∗(x),y2∗(x) 是非齐次方程②的两个特解，则 y ( x ) = y 2 ∗ ( x ) − y 1 ∗ ( x ) y(x) = y_2^*(x) - y_1^*(x) y(x)=y2∗(x)−y1∗(x) 是齐次微分方程①的解。

定理如果 y 1 ∗ ( x ) , y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x), y_2^*(x) y1∗(x),y2∗(x) 分别是方程
y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 1 ( x ) , y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x), y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x),

y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 2 ( x ) y'' + p(x)y' + q(x)y = f_2(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f2(x)

的特解，则 y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x) + y_2^*(x) y1∗(x)+y2∗(x) 是方程
y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x) + f_2(x) y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x)

的一个特解。

7.3.2 常系数齐次线性微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为
y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 , (③) y'' + py' + qy = 0, \tag{③} y′′+py′+qy=0,(③)

其特征方程为 r 2 + p r + q = 0 r^2 + pr + q = 0 r2+pr+q=0，设 r 1 , r 2 r_1, r_2 r1,r2 为该方程的两个根。

(1) 若 r 1 ≠ r 2 r_1 \neq r_2 r1=r2 为两个不相等的实特征根，则方程③的通解为
y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x . y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}. y=C1er1x+C2er2x.

(2) 若 r 1 = r 2 r_1 = r_2 r1=r2 为二重实特征根，则方程③的通解为
y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x . y = (C_1 + C_2 x)e^{r_1 x}. y=(C1+C2x)er1x.

(3) 若 r 1 = α + i β , r 2 = α − i β r_1 = \alpha + i\beta, r_2 = \alpha - i\beta r1=α+iβ,r2=α−iβ 为一对共轭复根，则方程③的通解为
y = e α x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) . y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x). y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).

7.3.3 常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为
y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) . (④) y'' + py' + qy = f(x). \tag{④} y′′+py′+qy=f(x).(④)

(1) 若 f ( x ) = P m ( x ) e λ x f(x) = P_m(x)e^{\lambda x} f(x)=Pm(x)eλx，其中 P m ( x ) P_m(x) Pm(x) 为 x x x 的 m m m 次多项式，则方程 ④ 的特解可设为
y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x , y^* = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}, y∗=xkQm(x)eλx,

其中 Q m ( x ) Q_m(x) Qm(x) 是与 P m ( x ) P_m(x) Pm(x) 同次的多项式， k k k 是特征方程含根 λ \lambda λ 的重复次数。

(2) 若 f ( x ) = e α x [ P l ( 1 ) ( x ) cos ⁡ β x + P n ( 2 ) ( x ) sin ⁡ β x ] f(x) = e^{\alpha x} [P_l^{(1)}(x)\cos\beta x + P_n^{(2)}(x)\sin\beta x] f(x)=eαx[Pl(1)(x)cosβx+Pn(2)(x)sinβx]，其中 P l ( 1 ) ( x ) , P n ( 2 ) ( x ) P_l^{(1)}(x), P_n^{(2)}(x) Pl(1)(x),Pn(2)(x) 分别为 x x x 的 l l l 次、 n n n 次多项式，则方程 ④ 的特解可设为
y ∗ = x k e α x [ R m ( 1 ) ( x ) cos ⁡ β x + R m ( 2 ) ( x ) sin ⁡ β x ] , y^* = x^k e^{\alpha x} [R_m^{(1)}(x)\cos\beta x + R_m^{(2)}(x)\sin\beta x], y∗=xkeαx[Rm(1)(x)cosβx+Rm(2)(x)sinβx],

其中 R m ( 1 ) ( x ) , R m ( 2 ) ( x ) R_m^{(1)}(x), R_m^{(2)}(x) Rm(1)(x),Rm(2)(x) 是两个 m m m 次多项式， m = max ⁡ ( l , n ) m = \max(l, n) m=max(l,n)。

当 α + i β \alpha + i\beta α+iβ 不是方程 ③ 的特征根时，取 k = 0 k = 0 k=0。

当 α + i β \alpha + i\beta α+iβ 是程 ③ 的单特征根时，取 k = 1 k = 1 k=1。

【例22】（2009，数一）若二阶常系数线性齐次微分方程 y ′ ′ + a y ′ + b y = 0 y'' + ay' + by = 0 y′′+ay′+by=0 的通解为 y = ( C 1 + C 2 x ) e x y = (C_1 + C_2 x) e^x y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y ′ ′ + a y ′ + b y = x y'' + ay' + by = x y′′+ay′+by=x 满足条件 y ( 0 ) = 2 , y ′ ( 0 ) = 0 y(0) = 2, y'(0) = 0 y(0)=2,y′(0)=0 的解为______。

由微分方程 y ′ ′ + a y ′ + b y = 0 y'' + ay' + by = 0 y′′+ay′+by=0 的通解为 y = ( C 1 + C 2 x ) e x y = (C_1 + C_2 x) e^x y=(C1+C2x)ex 可知， r = 1 r = 1 r=1 是齐次方程的特征方程的二重根，则齐次方程的特征方程为 ( r − 1 ) 2 = 0 (r - 1)^2 = 0 (r−1)2=0，即 r 2 − 2 r + 1 = 0 r^2 - 2r + 1 = 0 r2−2r+1=0，则 a = − 2 , b = 1 a = -2, b = 1 a=−2,b=1，非齐次方程为 y ′ ′ − 2 y ′ + y = x y'' - 2y' + y = x y′′−2y′+y=x。

设非齐次方程的特解为 y ∗ = a ′ x + b ′ y^* = a'x + b' y∗=a′x+b′，代入方程得 a ′ = 1 , b ′ = 2 a' = 1, b' = 2 a′=1,b′=2，则其通解为 y = ( C 1 + C 2 x ) e x + x + 2 y = (C_1 + C_2 x) e^x + x + 2 y=(C1+C2x)ex+x+2。

由 y ( 0 ) = 2 , y ′ ( 0 ) = 0 y(0) = 2, y'(0) = 0 y(0)=2,y′(0)=0 知 C 1 = 0 , C 2 = − 1 C_1 = 0, C_2 = -1 C1=0,C2=−1，故 y = x ( 1 − e x ) + 2 y = x(1 - e^x) + 2 y=x(1−ex)+2。

八、多元函数微分学

8.1 偏导数

设函数 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 在点 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 的某邻域内有定义，若极限
f ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x , y ) − f ( x , y ) Δ x f(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x, y) - f(x, y)}{\Delta x} f(x)=Δx→0limΔxf(x,y)−f(x,y)

存在，则称该极限为 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 ( x , y ) (x, y) (x,y) 处对 x x x 的偏导数 ，记为 ∂ z ∂ x \frac{\partial z}{\partial x} ∂x∂z。即

∂ z ∂ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x \frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} ∂x∂z=Δx→0limΔxf(x+Δx,y)−f(x,y)

同理

∂ z ∂ y = lim ⁡ Δ y → 0 f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) Δ y \frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} ∂y∂z=Δy→0limΔyf(x,y+Δy)−f(x,y)

注：在函数的分界点处的偏导数，用偏导数定义求。

8.2 全微分

设函数 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 在点 P ( x , y ) P(x, y) P(x,y) 的某邻域内有定义，分别给 x , y x, y x,y 以增量 Δ x , Δ y \Delta x, \Delta y Δx,Δy，相应地得到函数的全增量 Δ z \Delta z Δz，若其可表示为

Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) , \Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho), Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),

其中 A , B A, B A,B 与 Δ x , Δ y \Delta x, \Delta y Δx,Δy 无关， ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 ， o ( ρ ) o(\rho) o(ρ) 为 Δ x → 0 , Δ y → 0 \Delta x \to 0, \Delta y \to 0 Δx→0,Δy→0 时 ρ \rho ρ 的高阶无穷小，则称函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 处可微。

A Δ x + B Δ y A \Delta x + B \Delta y AΔx+BΔy 称为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 处的全微分。

记 d z = A Δ x + B Δ y dz = A \Delta x + B \Delta y dz=AΔx+BΔy，当 z = f ( x , y ) z = f(x,y) z=f(x,y) 在 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 的斜面可微时， A = ∂ z ∂ x A = \frac{\partial z}{\partial x} A=∂x∂z， B = ∂ z ∂ y B = \frac{\partial z}{\partial y} B=∂y∂z。则

d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy dz=∂x∂zdx+∂y∂zdy

用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证： lim ⁡ ρ → 0 Δ z − f x ′ ( x , y ) Δ x − f y ′ ( x , y ) Δ y ρ \lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - f'_x(x,y) \Delta x - f'_y(x,y) \Delta y}{\rho} ρ→0limρΔz−fx′(x,y)Δx−fy′(x,y)Δy 是否为0

8.3 基本定理

Th1 （求偏导与次序无关定理）设 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 的两个混合偏导数 f x y ′ ′ ( x , y ) , f y x ′ ′ ( x , y ) f_{xy}''(x, y), f_{yx}''(x, y) fxy′′(x,y),fyx′′(x,y) 在区域 D D D 内连续，则有
f x y ′ ′ ( x , y ) = f y x ′ ′ ( x , y ) f_{xy}''(x, y) = f_{yx}''(x, y) fxy′′(x,y)=fyx′′(x,y)

Th2 （可微与偏导存在的关系定理）若 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 在点 P ( x , y ) P(x, y) P(x,y) 处可微，则在该点处 ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} ∂x∂z,∂y∂z 必存在，且有
d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy dz=∂x∂zdx+∂y∂zdy

Th3 （偏导存在与可微的关系定理）若 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 的两个偏导数 ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} ∂x∂z,∂y∂z 在 P ( x , y ) P(x, y) P(x,y) 上的某邻域内存在，且在 P ( x , y ) P(x, y) P(x,y) 连续。则 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 在点 P ( x , y ) P(x, y) P(x,y) 处可微。

8.4 复合函数微分法

(1) 设 z = f ( u , v ) , u = φ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ) z = f(u,v), u = \varphi(x,y), v = \psi(x,y) z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y)，则
{ ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y \begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \end{cases} {∂x∂z=∂u∂z⋅∂x∂u+∂v∂z⋅∂x∂v∂y∂z=∂u∂z⋅∂y∂u+∂v∂z⋅∂y∂v

(2) 设 z = f ( u , v ) , u = φ ( x ) , v = ψ ( x ) z = f(u,v), u = \varphi(x), v = \psi(x) z=f(u,v),u=φ(x),v=ψ(x)，则
d z d x = ∂ z ∂ u ⋅ d u d x + ∂ z ∂ v ⋅ d v d x \frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dx} dxdz=∂u∂z⋅dxdu+∂v∂z⋅dxdv

称为 z z z 的全导数。

(3) 设 z = f ( x , u , v ) , u = φ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ) z = f(x,u,v), u = \varphi(x,y), v = \psi(x,y) z=f(x,u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y)，则
{ ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x ∂ z ∂ y = 0 + ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y \begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 + \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \end{cases} {∂x∂z=∂x∂f+∂u∂f⋅∂x∂u+∂v∂f⋅∂x∂v∂y∂z=0+∂u∂f⋅∂y∂u+∂v∂f⋅∂y∂v

注：复合函数一定要按中间变量，抽象函数的简阶偏导数，其中间变量用数字1,2,3,...表示更简洁。

8.5 隐函数微分法

(1) 设 F ( x , y ) = 0 F(x,y) = 0 F(x,y)=0，则 d y d x = − F x ′ ( x , y ) F y ′ ( x , y ) \frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)} dxdy=−Fy′(x,y)Fx′(x,y)。

(2) 设 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z) = 0 F(x,y,z)=0，则
∂ z ∂ x = − F x ′ ( x , y , z ) F z ′ ( x , y , z ) , ∂ z ∂ y = − F y ′ ( x , y , z ) F z ′ ( x , y , z ) \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x(x,y,z)}{F'_z(x,y,z)}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y(x,y,z)}{F'_z(x,y,z)} ∂x∂z=−Fz′(x,y,z)Fx′(x,y,z),∂y∂z=−Fz′(x,y,z)Fy′(x,y,z)

(3) 设由方程组
{ F ( x , y , z ) = 0 , G ( x , y , z ) = 0 \begin{cases} F(x,y,z) = 0, \\ G(x,y,z) = 0 \end{cases} {F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0

确定的隐函数为 y = y ( x ) , z = z ( x ) y = y(x), z = z(x) y=y(x),z=z(x)，则 d y d x , d z d x \frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx} dxdy,dxdz 可通过解关于 d y d x , d z d x \frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx} dxdy,dxdz 的线性方程组：
{ F x ′ + F y ′ d y d x + F z ′ d z d x = 0 G x ′ + G y ′ d y d x + G z ′ d z d x = 0 ⇒ { F y ′ d y d x + F z ′ d z d x = − F x ′ G y ′ d y d x + G z ′ d z d x = − G x ′ \begin{cases} F'_x + F'_y \frac{dy}{dx} + F'_z \frac{dz}{dx} = 0 \\ G'_x + G'_y \frac{dy}{dx} + G'_z \frac{dz}{dx} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} F'_y \frac{dy}{dx} + F'_z \frac{dz}{dx} = -F'_x \\ G'_y \frac{dy}{dx} + G'_z \frac{dz}{dx} = -G'_x \end{cases} {Fx′+Fy′dxdy+Fz′dxdz=0Gx′+Gy′dxdy+Gz′dxdz=0⇒{Fy′dxdy+Fz′dxdz=−Fx′Gy′dxdy+Gz′dxdz=−Gx′

来求解。

8.6 多元函数的极值

定义设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0) 的某邻域内有定义, 若对于该邻域内异于点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0) 的任一点 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y), 恒有

f ( x , y ) > f ( x 0 , y 0 ) ( 或 < f ( x 0 , y 0 ) ) , f(x,y) > f(x_0,y_0) \quad (\text{或} < f(x_0,y_0)), f(x,y)>f(x0,y0)(或<f(x0,y0)),

则称 f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0) f(x0,y0) 为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 的极小值（或极大值）。

Th1 （取极值的必要条件）设 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0) 的一阶偏导数存在, 且 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0) 是 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 极值点, 则

{ f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 \begin{cases} f'_x(x_0, y_0) = 0\\ f'_y(x_0, y_0) = 0 \end{cases} {fx′(x0,y0)=0fy′(x0,y0)=0

Th2 （函数取极值的充分条件）设 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 在点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0) 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且
f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f'_x(x_0, y_0) = 0, f'_y(x_0, y_0) = 0 fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0

f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) \] 2 − f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) ⋅ f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) \< 0 , \[f''_{xy}(x_0, y_0)\]\^2 - f''_{xx}(x_0, y_0) \\cdot f''_{yy}(x_0, y_0) \< 0, \[fxy′′(x0,y0)\]2−fxx′′(x0,y0)⋅fyy′′(x0,y0)\<0, 则 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0) 是 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 的一个极值点。 ① 若 f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) \> 0 f''_{xx}(x_0, y_0) \> 0 fxx′′(x0,y0)\>0 (或 f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) \> 0 f''_{yy}(x_0, y_0) \> 0 fyy′′(x0,y0)\>0)，则 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0) 为极小值点。 ② 若 f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) \< 0 f''_{xx}(x_0, y_0) \< 0 fxx′′(x0,y0)\<0 (或 f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) \< 0 f''_{yy}(x_0, y_0) \< 0 fyy′′(x0,y0)\<0)，则 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0) 为极大值点。 #### 8.6.1 无条件极值 解题程序： ① 求出 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 的驻点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0)； ② 用 **Th2** 判别点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0) 是否为极值点。若是，则 f ( x 0 , y 0 ) f(x_0, y_0) f(x0,y0) 为 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 的极值。 #### 8.6.2 条件极值（拉格朗日乘数法） ① 由条件 φ ( x , y ) = 0 \\varphi (x, y) = 0 φ(x,y)=0，求 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 的极值。 解题程序： 1. 令 F ( x , y ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y ) F(x, y) = f(x, y) + \\lambda \\varphi (x, y) F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)； 2. 解方程组 { f x ′ ( x , y ) + λ φ x ′ ( x , y ) = 0 f y ′ ( x , y ) + λ φ y ′ ( x , y ) = 0 φ ( x , y ) = 0 \\begin{cases} f'_x (x, y) + \\lambda \\varphi'_x (x, y) = 0 \\\\ f'_y (x, y) + \\lambda \\varphi'_y (x, y) = 0 \\\\ \\varphi (x, y) = 0 \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧fx′(x,y)+λφx′(x,y)=0fy′(x,y)+λφy′(x,y)=0φ(x,y)=0 求驻点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0)； 3. f ( x 0 , y 0 ) f(x_0, y_0) f(x0,y0) 即为 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 的极值（存在的话）。 ② 由条件 φ ( x , y , z ) = 0 \\varphi (x, y, z) = 0 φ(x,y,z)=0，求 u = f ( x , y , z ) u = f(x, y, z) u=f(x,y,z) 的极值。 解题程序： 1. 令 F ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) + λ φ ( x , y , z ) F(x, y, z) = f(x, y, z) + \\lambda \\varphi (x, y, z) F(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)； 2. 解方程组 { f x ′ ( x , y , z ) + λ φ x ′ ( x , y , z ) = 0 f y ′ ( x , y , z ) + λ φ y ′ ( x , y , z ) = 0 f z ′ ( x , y , z ) + λ φ z ′ ( x , y , z ) = 0 φ ( x , y , z ) = 0 \\begin{cases} f_x'(x, y, z) + \\lambda \\varphi_x'(x, y, z) = 0 \\\\ f_y'(x, y, z) + \\lambda \\varphi_y'(x, y, z) = 0 \\\\ f_z'(x, y, z) + \\lambda \\varphi_z'(x, y, z) = 0 \\\\ \\varphi(x, y, z) = 0 \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧fx′(x,y,z)+λφx′(x,y,z)=0fy′(x,y,z)+λφy′(x,y,z)=0fz′(x,y,z)+λφz′(x,y,z)=0φ(x,y,z)=0 若 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0, y_0, z_0) (x0,y0,z0) 为其解， f ( x 0 , y 0 , z 0 ) f(x_0, y_0, z_0) f(x0,y0,z0) 即为 f ( x , y , z ) f(x, y, z) f(x,y,z) 的极值（若存在的话）。 ③ 由条件 φ 1 ( x , y , z ) = 0 , φ 2 ( x , y , z ) = 0 \\varphi_1(x, y, z) = 0, \\varphi_2(x, y, z) = 0 φ1(x,y,z)=0,φ2(x,y,z)=0 求函数 u = f ( x , y , z ) u = f(x, y, z) u=f(x,y,z) 的极值。 解题程序： ① 令 F ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) + λ 1 φ 1 ( x , y , z ) + λ 2 φ 2 ( x , y , z ) F(x, y, z) = f(x, y, z) + \\lambda_1 \\varphi_1(x, y, z) + \\lambda_2 \\varphi_2(x, y, z) F(x,y,z)=f(x,y,z)+λ1φ1(x,y,z)+λ2φ2(x,y,z) ② 以下仿①、②。 *** ** * ** *** ## 九、二重积分 ### 9.1 二重积分的概念 **定义** 设函数 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 在有界闭区域 D D D 上有定义，将区域 D D D 任意分成 n n n 个小闭区域 Δ σ 1 , Δ σ 2 , ⋯   , Δ σ n , \\Delta \\sigma_1, \\Delta \\sigma_2, \\cdots, \\Delta \\sigma_n, Δσ1,Δσ2,⋯,Δσn, 其中 Δ σ i \\Delta \\sigma_i Δσi 表示第 i i i 个小区域，也表示它的面积。在每个 Δ σ i \\Delta \\sigma_i Δσi 上任取一点 ( ξ i , η i ) (\\xi_i, \\eta_i) (ξi,ηi)，作乘积 f ( ξ i , η i ) Δ σ i f(\\xi_i, \\eta_i) \\Delta \\sigma_i f(ξi,ηi)Δσi，并求和 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \\sum_{i=1}\^n f(\\xi_i, \\eta_i) \\Delta \\sigma_i ∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi。记 λ \\lambda λ 为 n n n 个小区域 Δ σ 1 , Δ σ 2 , ⋯   , Δ σ n \\Delta \\sigma_1, \\Delta \\sigma_2, \\cdots, \\Delta \\sigma_n Δσ1,Δσ2,⋯,Δσn 中的最大直径，如果 lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \\lim_{\\lambda \\to 0} \\sum_{i=1}\^n f(\\xi_i, \\eta_i) \\Delta \\sigma_i λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi 存在，则称此极限值为函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在区域 D D D 上的二重积分，记为 ∬ D f ( x , y ) d σ = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i . \\iint\\limits_D f(x, y) d\\sigma = \\lim_{\\lambda \\to 0} \\sum_{i=1}\^n f(\\xi_i, \\eta_i) \\Delta \\sigma_i. D∬f(x,y)dσ=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi. **几何意义** 二重积分 ∬ D f ( x , y ) d σ \\iint\\limits_D f(x, y) d\\sigma D∬f(x,y)dσ 是一个数。当 f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) \\geq 0 f(x,y)≥0 时，其值等于以区域 D D D 为底，以曲面 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积；当 f ( x , y ) ≤ 0 f(x, y) \\leq 0 f(x,y)≤0 时，二重积分的值为负值，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。 ### 9.2 二重积分的性质 **性质1**（不等式性质） (1) 若在 D D D 上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ) f(x, y) \\leq g(x, y) f(x,y)≤g(x,y)，则 ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ ∬ D g ( x , y ) d σ . \\iint\\limits_D f(x,y) d\\sigma \\leq \\iint\\limits_D g(x,y) d\\sigma. D∬f(x,y)dσ≤D∬g(x,y)dσ. (2) 若在 D D D 上 m ≤ f ( x , y ) ≤ M m \\leq f(x,y) \\leq M m≤f(x,y)≤M，则 m σ ≤ ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ M σ , m\\sigma \\leq \\iint\\limits_D f(x,y) d\\sigma \\leq M\\sigma, mσ≤D∬f(x,y)dσ≤Mσ, 其中 σ \\sigma σ 为区域 D D D 的面积。 (3) ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ ∬ D ∣ f ( x , y ) ∣ d σ . \\iint\\limits_D f(x,y) d\\sigma \\leq \\iint\\limits_D \|f(x,y)\| d\\sigma. D∬f(x,y)dσ≤D∬∣f(x,y)∣dσ. **性质2** （中值定理） 设函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在闭区域 D D D 上连续， σ \\sigma σ 为区域 D D D 的面积，则在 D D D 上至少存在一点 ( ξ , η ) (\\xi,\\eta) (ξ,η)，使得 ∬ D f ( x , y ) d σ = f ( ξ , η ) ⋅ σ . \\iint\\limits_D f(x,y) d\\sigma = f(\\xi,\\eta) \\cdot \\sigma. D∬f(x,y)dσ=f(ξ,η)⋅σ. ### 9.3、二重积分的计算 #### 9.3.1 利用直角坐标计算 (1) 先 y y y 后 x x x。积分区域 D D D 可以用 a ≤ x ≤ b , φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) a \\leq x \\leq b, \\varphi_1(x) \\leq y \\leq \\varphi_2(x) a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x) 表示， ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y . \\iint\\limits_D f(x,y) d\\sigma = \\int_a\^b dx \\int_{\\varphi_1(x)}\^{\\varphi_2(x)} f(x,y) dy. D∬f(x,y)dσ=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy. (2) 先 x x x 后 y y y。积分区域 D D D 可以用 c ≤ y ≤ d , φ 1 ( y ) ≤ x ≤ φ 2 ( y ) c \\leq y \\leq d, \\varphi_1(y) \\leq x \\leq \\varphi_2(y) c≤y≤d,φ1(y)≤x≤φ2(y) 表示， ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ c d d y ∫ φ 1 ( y ) φ 2 ( y ) f ( x , y ) d x . \\iint\\limits_D f(x,y) d\\sigma = \\int_c\^d dy \\int_{\\varphi_1(y)}\^{\\varphi_2(y)} f(x,y) dx. D∬f(x,y)dσ=∫cddy∫φ1(y)φ2(y)f(x,y)dx. #### 9.3.2 利用极坐标计算 先 r r r 后 θ \\theta θ。积分区域 D D D 可以用 α ≤ θ ≤ β , φ 1 ( θ ) ≤ r ≤ φ 2 ( θ ) \\alpha \\leq \\theta \\leq \\beta, \\varphi_1(\\theta) \\leq r \\leq \\varphi_2(\\theta) α≤θ≤β,φ1(θ)≤r≤φ2(θ) 表示， ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ φ 1 ( θ ) φ 2 ( θ ) f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r . \\iint\\limits_D f(x,y) d\\sigma = \\int_\\alpha\^\\beta d\\theta \\int_{\\varphi_1(\\theta)}\^{\\varphi_2(\\theta)} f(r\\cos \\theta, r\\sin \\theta) r dr. D∬f(x,y)dσ=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr. #### 9.3.3 利用函数的奇偶性计算 (1) 若积分域 D D D 关于 y y y 轴对称， f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 关于 x x x 有奇偶性，则： ∬ D f ( x , y ) d σ = { 2 ∬ D x ≥ 0 f ( x , y ) d σ , f ( x , y ) 关于 x 为偶函数 , 0 , f ( x , y ) 关于 x 为奇函数 . \\iint\\limits_D f(x,y) d\\sigma = \\begin{cases} 2 \\iint\\limits_{D_{x \\geq 0}} f(x,y) d\\sigma, \& f(x,y) \\text{ 关于 } x \\text{ 为偶函数}, \\\\ 0, \& f(x,y) \\text{ 关于 } x \\text{ 为奇函数}. \\end{cases} D∬f(x,y)dσ=⎩ ⎨ ⎧2Dx≥0∬f(x,y)dσ,0,f(x,y) 关于 x 为偶函数,f(x,y) 关于 x 为奇函数. (2) 若积分域 D D D 关于 x x x 轴对称， f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 关于 y y y 有奇偶性，则： ∬ D f ( x , y ) d σ = { 2 ∬ D y ≥ 0 f ( x , y ) d σ , f ( x , y ) 关于 y 为偶函数 , 0 , f ( x , y ) 关于 y 为奇函数 . \\iint\\limits_D f(x,y) d\\sigma = \\begin{cases} 2 \\iint\\limits_{D_{y \\geq 0}} f(x,y) d\\sigma, \& f(x,y) \\text{ 关于 } y \\text{ 为偶函数}, \\\\ 0, \& f(x,y) \\text{ 关于 } y \\text{ 为奇函数}. \\end{cases} D∬f(x,y)dσ=⎩ ⎨ ⎧2Dy≥0∬f(x,y)dσ,0,f(x,y) 关于 y 为偶函数,f(x,y) 关于 y 为奇函数. #### 9.3.4 利用变量的轮换对称性计算 如果积分域 D D D 具有轮换对称性，也就是关于直线 y = x y = x y=x 对称，即 D D D 的表达式中将 x x x 换作 y y y， y y y 换作 x x x，表达式不变，则 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D f ( y , x ) d σ . \\iint\\limits_D f(x,y) d\\sigma = \\iint\\limits_D f(y,x) d\\sigma. D∬f(x,y)dσ=D∬f(y,x)dσ.