什么是多元函数的可微性？
多元函数的可微性是微积分中的一个核心概念，它描述了函数在某一点附近能否用线性函数很好地近似。对于二元函数 z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y)，可微性意味着在点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 附近，函数值的变化可以由一个线性变换（全微分）来近似。
证明多元函数可微的完整三步法
第一步：写出全增量 Δz
全增量表示函数值在点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 处的实际变化量：
Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
理解 ：Δz 衡量了当自变量从 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 变化到 (x0+Δx,y0+Δy)(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)(x0+Δx,y0+Δy) 时，函数值的真实变化。
第二步：写出全微分 dz
全微分是函数增量的线性近似：
dz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δydz = f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta ydz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy
其中 fxf_xfx 和 fyf_yfy 是函数在 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 处的偏导数。
理解：dz 表示如果函数是线性的，那么它的增量应该是多少。可微性要求这个线性近似与真实增量之间的误差是高阶无穷小。
第三步：计算极限判断可微性
关键极限表达式：
lim(Δx,Δy)→(0,0)Δz−dz(Δx)2+(Δy)2=0\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{\Delta z - dz}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = 0(Δx,Δy)→(0,0)lim(Δx)2+(Δy)2 Δz−dz=0
如果这个极限等于 0，则函数在 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 处可微。
理解 ：这个极限检验的是线性近似的相对误差。分母 (Δx)2+(Δy)2\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}(Δx)2+(Δy)2 是自变量变化的距离，分子是实际增量与线性近似的差值。极限为 0 意味着当自变量变化很小时，线性近似的误差相对于变化距离是高阶无穷小。
完整示例演示
例题 ：证明函数 f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2f(x,y)=x2+y2 在点 (1,1)(1, 1)(1,1) 处可微。
第一步：计算 Δz
Δz=f(1+Δx,1+Δy)−f(1,1)\Delta z = f(1 + \Delta x, 1 + \Delta y) - f(1, 1)Δz=f(1+Δx,1+Δy)−f(1,1)
=[(1+Δx)2+(1+Δy)2]−(12+12)= [(1 + \Delta x)^2 + (1 + \Delta y)^2] - (1^2 + 1^2)=[(1+Δx)2+(1+Δy)2]−(12+12)
=[1+2Δx+(Δx)2+1+2Δy+(Δy)2]−2= [1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 1 + 2\Delta y + (\Delta y)^2] - 2=[1+2Δx+(Δx)2+1+2Δy+(Δy)2]−2
=2Δx+2Δy+(Δx)2+(Δy)2= 2\Delta x + 2\Delta y + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2=2Δx+2Δy+(Δx)2+(Δy)2
第二步：计算 dz
首先求偏导数：
- fx(x,y)=2xf_x(x, y) = 2xfx(x,y)=2x，所以 fx(1,1)=2f_x(1, 1) = 2fx(1,1)=2
- fy(x,y)=2yf_y(x, y) = 2yfy(x,y)=2y，所以 fy(1,1)=2f_y(1, 1) = 2fy(1,1)=2
全微分为：
dz=fx(1,1)Δx+fy(1,1)Δy=2Δx+2Δydz = f_x(1, 1)\Delta x + f_y(1, 1)\Delta y = 2\Delta x + 2\Delta ydz=fx(1,1)Δx+fy(1,1)Δy=2Δx+2Δy
第三步：计算关键极限
Δz−dz=[2Δx+2Δy+(Δx)2+(Δy)2]−[2Δx+2Δy]=(Δx)2+(Δy)2\Delta z - dz = [2\Delta x + 2\Delta y + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2] - [2\Delta x + 2\Delta y] = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2Δz−dz=[2Δx+2Δy+(Δx)2+(Δy)2]−[2Δx+2Δy]=(Δx)2+(Δy)2
计算极限：
lim(Δx,Δy)→(0,0)(Δx)2+(Δy)2(Δx)2+(Δy)2=lim(Δx,Δy)→(0,0)(Δx)2+(Δy)2=0\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \frac{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = 0(Δx,Δy)→(0,0)lim(Δx)2+(Δy)2 (Δx)2+(Δy)2=(Δx,Δy)→(0,0)lim(Δx)2+(Δy)2 =0
结论 ：由于极限为 0，函数 f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2f(x,y)=x2+y2 在点 (1,1)(1, 1)(1,1) 处可微。
深入理解与注意事项
1. 可微性与偏导数的关系
- 可微一定连续，且偏导数存在
- 偏导数存在且连续，则函数可微
- 偏导数存在但不连续，函数可能不可微
2. 常见错误判断
反例 ：函数 f(x,y)={xyx2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}f(x,y)={x2+y2xy,0,(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0)
在 (0,0)(0,0)(0,0) 处：
- 偏导数 fx(0,0)f_x(0,0)fx(0,0) 和 fy(0,0)f_y(0,0)fy(0,0) 都存在（等于 0）
- 但函数在 (0,0)(0,0)(0,0) 不连续，因此不可微
3. 实际应用意义
可微性保证了我们可以使用线性化方法来近似计算函数值，这是许多数值方法和工程应用的基础。
总结
证明多元函数可微性的三步法提供了一个系统化的框架。理解每一步的数学意义和物理背景对于掌握这一概念至关重要。记住，可微性不仅要求偏导数存在，还要求线性近似能够以足够高的精度描述函数的局部行为。