问题
问题10：考虑粒子在"矩形势阱"中的能级
−uxx+Vu=λu -u_{xx} + V u = \lambda u −uxx+Vu=λu
其中 V(x)={−H∣x∣≤L0∣x∣>L V(x) = \begin{cases} -H & |x| \leq L \\ 0 & |x| > L \end{cases} V(x)={−H0∣x∣≤L∣x∣>L
提示：
- 分别求解 ∣x∣<L|x|<L∣x∣<L 和 ∣x∣>L|x|>L∣x∣>L 区域的方程，解必须在 ∣x∣=L|x|=L∣x∣=L 处连续（包括一阶导数）：u(L−0)=u(L+0) u(L-0) = u(L+0) u(L−0)=u(L+0)，ux(L−0)=ux(L+0) u_x(L-0) = u_x(L+0) ux(L−0)=ux(L+0)，在 x=−Lx=-Lx=−L 处同样。
- 所有特征值 λ\lambdaλ 属于区间 (−H,0)(-H, 0)(−H,0)。
- 分别考虑偶函数和奇函数的本征函数。
解决问题
我们求解定态薛定谔方程 −uxx+Vu=λu-u_{xx} + V u = \lambda u−uxx+Vu=λu，其中 V(x)V(x)V(x) 是矩形势阱。由于势能对称（偶函数），本征函数具有确定的宇称，因此分别考虑偶函数和奇函数解。
定义参数
- 令 k=λ+Hk = \sqrt{\lambda + H}k=λ+H ，由于 λ>−H\lambda > -Hλ>−H，有 k>0k > 0k>0。
- 令 κ=−λ\kappa = \sqrt{-\lambda}κ=−λ ，由于 λ<0\lambda < 0λ<0，有 κ>0\kappa > 0κ>0。
- 特征值 λ\lambdaλ 满足 −H<λ<0-H < \lambda < 0−H<λ<0，因此 kkk 和 κ\kappaκ 为实数正数。
区域解
- 区域 ∣x∣<L|x| < L∣x∣<L （势能 V=−HV = -HV=−H）：方程变为 −uxx−Hu=λu-u_{xx} - H u = \lambda u−uxx−Hu=λu，即 uxx+k2u=0u_{xx} + k^2 u = 0uxx+k2u=0。通解为：
u(x)=Acos(kx)+Bsin(kx) u(x) = A \cos(kx) + B \sin(kx) u(x)=Acos(kx)+Bsin(kx) - 区域 ∣x∣>L|x| > L∣x∣>L （势能 V=0V = 0V=0）：方程变为 −uxx=λu-u_{xx} = \lambda u−uxx=λu，即 uxx−κ2u=0u_{xx} - \kappa^2 u = 0uxx−κ2u=0。由于解需在无穷远处有限，通解为：
u(x)=Ce−κ∣x∣对于 ∣x∣>L u(x) = C e^{-\kappa |x|} \quad \text{对于 } |x| > L u(x)=Ce−κ∣x∣对于 ∣x∣>L
边界条件
在 x=Lx = Lx=L 和 x=−Lx = -Lx=−L 处，函数值和一阶导数必须连续。由于对称性，只需考虑 x=Lx = Lx=L 处条件，结果自动满足 x=−Lx = -Lx=−L 处。
偶函数解（对称解）
偶函数满足 u(x)=u(−x)u(x) = u(-x)u(x)=u(−x)。在 ∣x∣<L|x| < L∣x∣<L 区域，取 u(x)=Acos(kx)u(x) = A \cos(kx)u(x)=Acos(kx)；在 x>Lx > Lx>L 区域，取 u(x)=Be−κxu(x) = B e^{-\kappa x}u(x)=Be−κx。
在 x=Lx = Lx=L 处连续条件：
- 函数连续： Acos(kL)=Be−κL A \cos(kL) = B e^{-\kappa L} Acos(kL)=Be−κL (1)
- 导数连续： −Aksin(kL)=−Bκe−κL -A k \sin(kL) = -B \kappa e^{-\kappa L} −Aksin(kL)=−Bκe−κL ⇒ Aksin(kL)=Bκe−κL A k \sin(kL) = B \kappa e^{-\kappa L} Aksin(kL)=Bκe−κL (2)
将方程 (1) 代入方程 (2)：
Aksin(kL)=κAcos(kL)⇒ktan(kL)=κ A k \sin(kL) = \kappa A \cos(kL) \Rightarrow k \tan(kL) = \kappa Aksin(kL)=κAcos(kL)⇒ktan(kL)=κ
代入 kkk 和 κ\kappaκ：
λ+H tan(Lλ+H)=−λ \sqrt{\lambda + H} \, \tan\left( L \sqrt{\lambda + H} \right) = \sqrt{-\lambda} λ+H tan(Lλ+H )=−λ
令 z=Lλ+Hz = L \sqrt{\lambda + H}z=Lλ+H ，则 −λ=H−k2=H−z2L2=HL2−z2L\sqrt{-\lambda} = \sqrt{H - k^2} = \sqrt{H - \frac{z^2}{L^2}} = \frac{\sqrt{H L^2 - z^2}}{L}−λ =H−k2 =H−L2z2 =LHL2−z2 。方程变为：
zLtan(z)=HL2−z2L⇒ztan(z)=HL2−z2 \frac{z}{L} \tan(z) = \frac{\sqrt{H L^2 - z^2}}{L} \Rightarrow z \tan(z) = \sqrt{H L^2 - z^2} Lztan(z)=LHL2−z2 ⇒ztan(z)=HL2−z2
这是偶函数的特征方程。其中 zzz 必须满足 0<z<LH0 < z < L \sqrt{H}0<z<LH （因为 λ<0\lambda < 0λ<0 implies k2<Hk^2 < Hk2<H）。
奇函数解（反对称解）
奇函数满足 u(x)=−u(−x)u(x) = -u(-x)u(x)=−u(−x)。在 ∣x∣<L|x| < L∣x∣<L 区域，取 u(x)=Asin(kx)u(x) = A \sin(kx)u(x)=Asin(kx)；在 x>Lx > Lx>L 区域，取 u(x)=Be−κxu(x) = B e^{-\kappa x}u(x)=Be−κx。
在 x=Lx = Lx=L 处连续条件：
- 函数连续： Asin(kL)=Be−κL A \sin(kL) = B e^{-\kappa L} Asin(kL)=Be−κL (3)
- 导数连续： Akcos(kL)=−Bκe−κL A k \cos(kL) = -B \kappa e^{-\kappa L} Akcos(kL)=−Bκe−κL (4)
从方程 (3) 得 B=Asin(kL)eκL B = A \sin(kL) e^{\kappa L} B=Asin(kL)eκL，代入方程 (4)：
Akcos(kL)=−Aκsin(kL)⇒kcos(kL)=−κsin(kL)⇒kcot(kL)=−κ A k \cos(kL) = -A \kappa \sin(kL) \Rightarrow k \cos(kL) = -\kappa \sin(kL) \Rightarrow k \cot(kL) = -\kappa Akcos(kL)=−Aκsin(kL)⇒kcos(kL)=−κsin(kL)⇒kcot(kL)=−κ
代入 kkk 和 κ\kappaκ：
λ+H cot(Lλ+H)=−−λ \sqrt{\lambda + H} \, \cot\left( L \sqrt{\lambda + H} \right) = -\sqrt{-\lambda} λ+H cot(Lλ+H )=−−λ
令 z=Lλ+Hz = L \sqrt{\lambda + H}z=Lλ+H ，则方程变为：
zLcot(z)=−HL2−z2L⇒zcot(z)=−HL2−z2 \frac{z}{L} \cot(z) = -\frac{\sqrt{H L^2 - z^2}}{L} \Rightarrow z \cot(z) = -\sqrt{H L^2 - z^2} Lzcot(z)=−LHL2−z2 ⇒zcot(z)=−HL2−z2
这是奇函数的特征方程。同样，zzz 满足 0<z<LH0 < z < L \sqrt{H}0<z<LH .
特征值计算
特征值 λ\lambdaλ 由 zzz 决定：
λ=z2L2−H \lambda = \frac{z^2}{L^2} - H λ=L2z2−H
其中 zzz 是特征方程的解。特征方程为超越方程，需数值求解。对于给定 HHH 和 LLL，求解 zzz 后即可得 λ\lambdaλ.
总结
- 偶函数能级由 ztan(z)=HL2−z2 z \tan(z) = \sqrt{H L^2 - z^2} ztan(z)=HL2−z2 决定。
- 奇函数能级由 zcot(z)=−HL2−z2 z \cot(z) = -\sqrt{H L^2 - z^2} zcot(z)=−HL2−z2 决定。
- 能级 λ\lambdaλ 位于 (−H,0)(-H, 0)(−H,0) 区间，且每个方程有有限个解，对应束缚态。
此问题展示了量子力学中矩形势阱的能级结构，特征方程决定了离散的能级。