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量子计算核心原理学习笔记（2）
量子计算的基本定义回顾
经典比特与量子比特的区别。
经典比特是一个确定的0或1，物理上可通过三极管的高低电平实现。
而量子计算的基本单位是量子比特 (Qubit) ，它是一个量子态，可以表示为两个基本计算基矢 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩ 和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩ 的线性叠加。
其数学形式为一个二维复数向量： ∣ ψ ⟩ = a ∣ 0 ⟩ + b ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle ∣ψ⟩=a∣0⟩+b∣1⟩，其中 a a a 和 b b b 是复数概率幅，必须满足归一化条件 ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 = 1 |a|^2 + |b|^2 = 1 ∣a∣2+∣b∣2=1。在向量表示法中，基矢定义为 ∣ 0 ⟩ ≡ ( 1 0 ) |0\rangle \equiv \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ∣0⟩≡(10) 和 ∣ 1 ⟩ ≡ ( 0 1 ) |1\rangle \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ∣1⟩≡(01)，因此任意量子态可写作 ∣ ψ ⟩ = ( a b ) |\psi\rangle = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} ∣ψ⟩=(ab)。
∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩ 和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩ 为一组计算基 (computational basis)。
狄拉克符号、内积与外积
量子力学中广泛使用狄拉克符号 。其中， ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩ (ket)代表一个列向量。
与之对应，其共轭转置 （一个行向量）被称为bra ，记作 ⟨ ψ ∣ \langle\psi| ⟨ψ∣。
若 ∣ ψ ⟩ = ( a b ) |\psi\rangle = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} ∣ψ⟩=(ab)，则 ⟨ ψ ∣ = ( a ∗ , b ∗ ) \langle\psi| = (a^*, b^*) ⟨ψ∣=(a∗,b∗)。这个命名源于将括号(bracket)拆分为bra和ket两部分。
内积 (Inner Product) ：由一个bra和一个ket构成，如 ⟨ ϕ ∣ ψ ⟩ \langle\phi|\psi\rangle ⟨ϕ∣ψ⟩，结果是一个标量（复数）。
外积 (Outer Product) ：由一个ket和一个bra构成，如 ∣ ψ ⟩ ⟨ ϕ ∣ |\psi\rangle\langle\phi| ∣ψ⟩⟨ϕ∣，结果是一个矩阵或算符。例如， ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ = ( 1 0 ) ( 1 , 0 ) + ( 0 1 ) ( 0 , 1 ) = ( 1 0 0 0 ) + ( 0 0 0 1 ) = ( 1 0 0 1 ) = I |0\rangle\langle0| + |1\rangle\langle1| = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}(1, 0) + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}(0, 1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I ∣0⟩⟨0∣+∣1⟩⟨1∣=(10)(1,0)+(01)(0,1)=(1000)+(0001)=(1001)=I，这是单位矩阵。
可逆计算
要理解如何对量子比特进行操作，可以先从经典计算中的逻辑门 出发。
诸如与门 (AND) 、或门 (OR) 和非门 (NOT) 构成了经典计算的基础。一个重要的概念是通用门集合 (Universal Gate Set) ，即能够通过组合实现任意布尔函数的一组门。例如，{与门, 或门, 非门} 就是一个通用集合，而与非门 (NAND) 本身也是通用的。
经典计算的一个关键特点是其操作通常不可逆 。
例如，一个与门的输出为0，我们无法反推出其输入是(0,0), (0,1)还是(1,0)，这个过程丢失了信息。然而，量子力学中的演化是可逆的，因此量子计算也必须是可逆计算 (Reversible Computation) 。
为了解决这个问题，可以通过引入额外的比特，即 Ancilla 比特 ，来将任意不可逆的经典计算转化为可逆计算。
一个典型的可逆通用门是Toffoli门 。它有三个输入和三个输出 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z)，其操作定义为将输入映射到 ( x , y , z ⊕ ( x ∧ y ) ) (x, y, z \oplus (x \land y)) (x,y,z⊕(x∧y))。通过巧妙设置输入，例如将 z z z 设为0，第三个输出就变成了 x ∧ y x \land y x∧y，从而实现了与门的功能。由于Toffoli门是可逆且通用的，这证明了任何经典计算都可以被一个可逆的计算过程所模拟。
在可逆计算中，Ancilla比特在完成计算后会变成不再需要的"垃圾"信息。清理这些垃圾比特的标准方法是先将计算结果复制出来，然后逆向运行同样的计算电路，这会将Ancilla比特恢复到初始的零状态。
量子计算的核心假设
量子计算遵循量子力学的基本假设，这些假设构成了其数学和物理框架。
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假设一：量子态 (State Space)
一个孤立量子系统的状态由一个复数向量空间中的单位向量（也称态向量）完全描述。
对于单个量子比特，这是一个二维复向量空间。
该状态可以通过布洛赫球面 (Bloch Sphere) 进行几何可视化。球面上任意一点都对应一个纯态，其参数化形式为：
∣ ψ ⟩ = cos ( θ 2 ) ∣ 0 ⟩ + e i ϕ sin ( θ 2 ) ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle = \cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle + e^{i\phi}\sin(\frac{\theta}{2})|1\rangle ∣ψ⟩=cos(2θ)∣0⟩+eiϕsin(2θ)∣1⟩其中，全体相位因子 e i α e^{i\alpha} eiα 不影响物理实在，因此可以忽略。 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩ 和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩ 分别对应球面的北极和南极。 X X X轴的正方向对应 ∣ + ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) |+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) ∣+⟩=2 1(∣0⟩+∣1⟩)， Y Y Y轴的正方向对应 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + i ∣ 1 ⟩ ) \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + i|1\rangle) 2 1(∣0⟩+i∣1⟩)。
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假设二：量子演化 (Quantum Dynamics)
一个封闭量子系统的演化过程是线性的，并且可以用一个幺正变换 (Unitary Transformation) 来描述。
如果系统在 t 1 t_1 t1 时刻的状态是 ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_1\rangle ∣ψ1⟩，在 t 2 t_2 t2 时刻的状态是 ∣ ψ 2 ⟩ |\psi_2\rangle ∣ψ2⟩，那么必然存在一个幺正矩阵 U U U 使得 ∣ ψ 2 ⟩ = U ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_2\rangle = U|\psi_1\rangle ∣ψ2⟩=U∣ψ1⟩。幺正矩阵的定义是 U † U = U U † = I U^\dagger U = UU^\dagger = I U†U=UU†=I，其中 U † U^\dagger U† 是 U U U 的共轭转置。
这种幺正演化保证了系统的总概率（即向量的范数）守恒。这个规则来源于物理学中的薛定谔方程 。
常见的单比特量子门，如Pauli门、Hadamard门（H）、Phase门（S）和T门，都是幺正矩阵的例子。
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假设三：复合系统 (Composite Systems)
当多个量子系统组合成一个复合系统时，其状态空间是各个子系统状态空间的张量积 (Tensor Product) 。
例如，一个由两个量子比特组成的系统，其状态空间是两个二维空间的张量积，形成一个四维空间。
如果第一个量子比特的状态是 ∣ ψ ⟩ = a ∣ 0 ⟩ + b ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle ∣ψ⟩=a∣0⟩+b∣1⟩，第二个是 ∣ ϕ ⟩ = c ∣ 0 ⟩ + d ∣ 1 ⟩ |\phi\rangle = c|0\rangle + d|1\rangle ∣ϕ⟩=c∣0⟩+d∣1⟩，那么复合系统的状态就是： ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ ϕ ⟩ = ( a ∣ 0 ⟩ + b ∣ 1 ⟩ ) ⊗ ( c ∣ 0 ⟩ + d ∣ 1 ⟩ ) = a c ∣ 00 ⟩ + a d ∣ 01 ⟩ + b c ∣ 10 ⟩ + b d ∣ 11 ⟩ |\psi\rangle \otimes |\phi\rangle = (a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes (c|0\rangle + d|1\rangle) = ac|00\rangle + ad|01\rangle + bc|10\rangle + bd|11\rangle ∣ψ⟩⊗∣ϕ⟩=(a∣0⟩+b∣1⟩)⊗(c∣0⟩+d∣1⟩)=ac∣00⟩+ad∣01⟩+bc∣10⟩+bd∣11⟩。
这种可以写成两个子系统张量积形式的状态被称为乘积态 (Product State) 。
然而，并非所有复合系统的状态都是乘积态。那些不能 被分解为子系统张量积的状态，被称为纠缠态 (Entangled State) ，例如著名的贝尔态 1 2 ( ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ ) \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle) 2 1(∣00⟩+∣11⟩) 就是一个纠缠态。
