线代一轮复习

文章目录

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1、行列式
- [1.1 性质](#1.1 性质)
- [1.2 行列式展开公式](#1.2 行列式展开公式)
- [1.3 特殊行列式](#1.3 特殊行列式)
- [1.4 克拉默法则](#1.4 克拉默法则)
2、矩阵
- [2.1 矩阵多项式](#2.1 矩阵多项式)
- [2.2 运算法则](#2.2 运算法则)
- - [(1) 加法](#(1) 加法)
  - [(2) 数乘矩阵](#(2) 数乘矩阵)
  - [(3) 乘法](#(3) 乘法)
  - [(4) 转置](#(4) 转置)
- [2.3 对角矩阵的性质与运算](#2.3 对角矩阵的性质与运算)
- [2.4 伴随矩阵](#2.4 伴随矩阵)
- [2.4 可逆矩阵的概念与定理](#2.4 可逆矩阵的概念与定理)
3、向量
- 3.1线性组合和线性表示
- [3.2 线性相关与线性无关](#3.2 线性相关与线性无关)
- [3.3 向量组的秩](#3.3 向量组的秩)
- [3.4 极大无关组](#3.4 极大无关组)
- [3.5 内积](#3.5 内积)
- - [3.5.1 定义与性质](#3.5.1 定义与性质)
  - [3.5.2 重要性质](#3.5.2 重要性质)
- [3.6 正交向量组](#3.6 正交向量组)
- - [3.6.1 基本概念](#3.6.1 基本概念)
  - [3.6.2 重要定理](#3.6.2 重要定理)
4、线性方程组
- [4.1 非齐次](#4.1 非齐次)
- [4.2 齐次线性方程组解的判定](#4.2 齐次线性方程组解的判定)
- 4.3齐次线性方程组的解的结构
- 4.4非齐次线性方程组的解的结构
[5. 特征值和特征向量](#5. 特征值和特征向量)
- [5.1 基本概念与定理](#5.1 基本概念与定理)
- [5.2 矩阵对角化](#5.2 矩阵对角化)
- [5.3 特征值与特征向量的若干结论](#5.3 特征值与特征向量的若干结论)
6、二次型
- [6.1 标准型](#6.1 标准型)
- [6.2 合同](#6.2 合同)

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1、行列式

1.1 性质

转置性质

行列式转置后值不变：
∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T| = |A| ∣AT∣=∣A∣
行/列互换

两行（或列）互换，行列式变号。若两行（或列）相同，行列式为0。
公因子提取

某行（或列）有公因子 k k k，可提出：
- 推论1：某行（或列）全为0，行列式为0。
- 推论2：两行（或列）成比例，行列式为0。
行列式拆分

若某行（或列）为两元素之和，可拆分为两个行列式之和：
∣ a 1 + b 1 ⋯ ⋮ ⋱ ∣ = ∣ a 1 ⋯ ⋮ ⋱ ∣ + ∣ b 1 ⋯ ⋮ ⋱ ∣ \begin{vmatrix}a_1+b_1 & \cdots \\\ \vdots & \ddots\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_1 & \cdots \\\ \vdots & \ddots\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}b_1 & \cdots \\\ \vdots & \ddots\end{vmatrix} a1+b1 ⋮⋯⋱ = a1 ⋮⋯⋱ + b1 ⋮⋯⋱
倍加性质

某行（或列）的 k k k倍加到另一行（或列），行列式值不变。

1.2 行列式展开公式

余子式与代数余子式
- 余子式 M i j M_{ij} Mij：划去 a i j a_{ij} aij所在行、列得到的 ( n − 1 ) (n-1) (n−1)阶行列式。
- 代数余子式 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} Aij=(−1)i+jMij。
展开定理
- 定理1.1 ：行列式可按任意行（列）展开：
  ∣ A ∣ = ∑ k = 1 n a i k A i k （按第 i 行展开） |A| = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik} \quad \text{（按第 $i$ 行展开）} ∣A∣=k=1∑naikAik（按第i行展开）
  
  ∣ A ∣ = ∑ k = 1 n a k j A k j （按第 j 列展开） |A| = \sum_{k=1}^n a_{kj}A_{kj} \quad \text{（按第 $j$ 列展开）} ∣A∣=k=1∑nakjAkj（按第j列展开）
- 定理1.2 ：不同行（列）的代数余子式乘积和为0：
  ∑ k = 1 n a i k A j k = 0 ( i ≠ j ) \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = 0 \quad (i \ne j) k=1∑naikAjk=0(i=j)

1.3 特殊行列式

三角形行列式
上（下）三角行列式等于主对角线元素乘积：

∣ a 11 ⋯ a 1 n ⋱ ⋮ 0 a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n \begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\ & \ddots & \vdots \\\ 0 & & a_{nn}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} a11 0⋯⋱a1n⋮ann =a11a22⋯ann

副对角线行列式

∣ 0 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 , n − 1 ⋯ a n 1 \begin{vmatrix}0 & \cdots & a_{1n} \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{n1} & \cdots & 0\end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} 0 ⋮ an1⋯⋱⋯a1n⋮0 =(−1)2n(n−1)a1na2,n−1⋯an1

分块行列式（拉普拉斯展开）

若 A A A为 m m m阶， B B B为 n n n阶矩阵：
∣ A ∗ O B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \begin{vmatrix}A & * \\\ O & B\end{vmatrix} = |A|\cdot|B| A O∗B =∣A∣⋅∣B∣

∣ O A B ∗ ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \begin{vmatrix}O & A \\\ B & *\end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A|\cdot|B| O BA∗ =(−1)mn∣A∣⋅∣B∣

范德蒙行列式

∣ 1 ⋯ 1 x 1 ⋯ x n ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n ( x i − x j ) \begin{vmatrix}1 & \cdots & 1 \\\ x_1 & \cdots & x_n \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ x_1^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}\end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (x_i - x_j) 1 x1 ⋮ x1n−1⋯⋯⋱⋯1xn⋮xnn−1 =1≤j<i≤n∏(xi−xj)

注：

1.4 克拉默法则

定理1.3（克拉默法则）

对于由 ( n ) 个方程、( n ) 个未知量构成的非齐次线性方程组：
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\\ \vdots \\\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2, ⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn

若其系数行列式 ( ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0)，则方程组有唯一解：
x i = ∣ A i ∣ ∣ A ∣ , i = 1 , 2 , ⋯ , n x_i = \frac{|A_i|}{|A|}, \quad i = 1, 2, \cdots, n xi=∣A∣∣Ai∣,i=1,2,⋯,n

其中 ( ∣ A i ∣ |A_i| ∣Ai∣) 是将 ( ∣ A ∣ ( |A| (∣A∣) 的第 ( i i i) 列替换为常数项 ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n b_1, b_2, \cdots, b_n b1,b2,⋯,bn) 所得的行列式。

注：

唯一解条件 ：仅当 ( ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0) 时适用。
特殊情况 ：
- 若 ( $\|A\| = 0$ )，方程组可能无解或有无穷多解，但不可能有唯一解。

推论（齐次线性方程组）

对于齐次线性方程组（常数项全为0）：

若 ( ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0)，方程组仅有零解 ( x 1 = x 2 = ⋯ = x n = 0 x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0 x1=x2=⋯=xn=0)。
若 ( ∣ A ∣ = 0 |A| = 0 ∣A∣=0)，方程组存在非零解（无穷多解）。

2、矩阵

2.1 矩阵多项式

2.2 运算法则

(1) 加法

设 A A A, B B B, C C C 为同型矩阵，则：

交换律 ： A + B = B + A A + B = B + A A+B=B+A
结合律 ： ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A + B) + C = A + (B + C) (A+B)+C=A+(B+C)
零矩阵 ： A + O = A A + O = A A+O=A（ O O O 为同型零矩阵）
负矩阵 ： A + ( − A ) = O A + (-A) = O A+(−A)=O

(2) 数乘矩阵

设 k k k, m m m 为标量，则：

结合性 ： k ( m A ) = ( k m ) A = m ( k A ) k(mA) = (km)A = m(kA) k(mA)=(km)A=m(kA)
分配律 ： ( k + m ) A = k A + m A (k + m)A = kA + mA (k+m)A=kA+mA
线性性 ： k ( A + B ) = k A + k B k(A + B) = kA + kB k(A+B)=kA+kB
单位数乘 ： 1 A = A 1A = A 1A=A, 0 A = O 0A = O 0A=O

(3) 乘法

若矩阵 A A A, B B B, C C C 满足乘法条件，则：

结合律 ： ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) (AB)C=A(BC)
左分配律 ： A ( B + C ) = A B + A C A(B + C) = AB + AC A(B+C)=AB+AC
右分配律 ： ( B + C ) A = B A + C A (B + C)A = BA + CA (B+C)A=BA+CA

(4) 转置

和的转置 ： ( A + B ) T = A T + B T (A + B)^T = A^T + B^T (A+B)T=AT+BT
数乘转置 ： ( k A ) T = k A T (kA)^T = kA^T (kA)T=kAT
积的转置 ： ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^T A^T (AB)T=BTAT
转置的转置 ： ( A T ) T = A (A^T)^T = A (AT)T=A

注：矩阵乘法一般不满足交换律（即 A B ≠ B A AB \neq BA AB=BA）。

2.3 对角矩阵的性质与运算

对角矩阵乘法

两个对角矩阵相乘结果仍为对角矩阵，且元素为对应位置相乘:
$a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3$ $b 1 0 0 0 b 2 0 0 0 b 3$ = $a 1 b 1 0 0 0 a 2 b 2 0 0 0 a 3 b 3$ \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 \\\\ 0 & a_2 & 0 \\\\ 0 & 0 & a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 & 0 & 0 \\\\ 0 & b_2 & 0 \\\\ 0 & 0 & b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & 0 & 0 \\\\ 0 & a_2 b_2 & 0 \\\\ 0 & 0 & a_3 b_3 \end{bmatrix} a1000a2000a3 b1000b2000b3 = a1b1000a2b2000a3b3

性质

交换律

对角矩阵乘法可交换： Λ 1 Λ 2 = Λ 2 Λ 1 \Lambda_1 \Lambda_2 = \Lambda_2 \Lambda_1 Λ1Λ2=Λ2Λ1。
逆矩阵

若对角元素均非零（ a i ≠ 0 a_i \neq 0 ai=0），其逆矩阵为元素取倒数：

$a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3$ − 1 = $1 a 1 0 0 0 1 a 2 0 0 0 1 a 3$ \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 \\\\ 0 & a_2 & 0 \\\\ 0 & 0 & a_3 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_1} & 0 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{a_2} & 0 \\\\ 0 & 0 & \frac{1}{a_3} \end{bmatrix} a1000a2000a3 −1= a11000a21000a31

2.4 伴随矩阵

设 A A A 是一个 n n n 阶方阵（ n ≥ 2 n \geq 2 n≥2），其伴随矩阵 A ∗ A^* A∗（或记作 adj ( A ) \text{adj}(A) adj(A)）定义为：
A ∗ = $A 11 A 21 \dots A n 1 A 12 A 22 \dots A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n \dots A n n$ A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} A∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann

其中 A i j A_{ij} Aij 是矩阵 A A A 的元素 a i j a_{ij} aij 的代数余子式 （Cofactor），即：
A i j = ( − 1 ) i + j M i j , A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}, Aij=(−1)i+jMij,
M i j M_{ij} Mij 是 A A A 删去第 i i i 行第 j j j 列后得到的 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 阶子矩阵的行列式。

伴随矩阵的公式：

A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^* = A^*A = |A|E AA∗=A∗A=∣A∣E

( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ = 1 ∣ A ∣ A (A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \frac{1}{|A|}A (A∗)−1=(A−1)∗=∣A∣1A ( ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣=0)

( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (kA)^* = k^{n-1}A^* (kA)∗=kn−1A∗

( A ∗ ) ⊤ = ( A ⊤ ) ∗ (A^*)^{\top} = (A^{\top})^* (A∗)⊤=(A⊤)∗

∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*| = |A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1

( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A (A^*)^* = |A|^{n-2}A (A∗)∗=∣A∣n−2A ( n ≥ 2 n \geq 2 n≥2)

2.4 可逆矩阵的概念与定理

定义设 A A A 是 n n n 阶矩阵，如果存在 n n n 阶矩阵 B B B 使得

A B = B A = E AB = BA = E AB=BA=E（单位矩阵）

成立，则称 A A A 是可逆矩阵 或非奇异矩阵 ， B B B 是 A A A 的逆矩阵，记成 A − 1 = B A^{-1} = B A−1=B。

定理 2.1 若 A A A 可逆，则 A A A 的逆矩阵唯一。

定理 2.2 A A A 可逆 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0。

定理 2.3 设 A A A 和 B B B 是 n n n 阶矩阵且 A B = E AB = E AB=E，则 B A = E BA = E BA=E。

3. n n n 阶矩阵 A A A 可逆的充分必要条件

存在 n n n 阶矩阵 B B B，使 A B = E AB = E AB=E（或 B A = E BA = E BA=E）
∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0，或秩 r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n，或 A A A 的列（行）向量线性无关
齐次方程组 A x = 0 Ax = 0 Ax=0 只有零解
∀ b \forall b ∀b，非齐次线性方程组 A x = b Ax = b Ax=b 总有唯一解
矩阵 A A A 的特征值全不为 0

4. 逆矩阵的运算性质

若 k ≠ 0 k \neq 0 k=0, A A A 可逆，则 ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} (kA)−1=k1A−1。

若 A , B A, B A,B 可逆，则 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1，特别地 ( A 2 ) − 1 = ( A − 1 ) 2 (A^2)^{-1} = (A^{-1})^2 (A2)−1=(A−1)2。

若 A ⊤ A^{\top} A⊤ 可逆，则 ( A ⊤ ) − 1 = ( A − 1 ) ⊤ (A^{\top})^{-1} = (A^{-1})^{\top} (A⊤)−1=(A−1)⊤； ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1} = A (A−1)−1=A； ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} ∣A−1∣=∣A∣1。

注意即使 A , B A, B A,B 和 A + B A + B A+B 都可逆，一般地 ( A + B ) − 1 ≠ A − 1 + B − 1 (A + B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1} (A+B)−1=A−1+B−1。

5. 求逆矩阵的方法

方法一 用公式，若 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq0 ∣A∣=0，则 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗。

方法二 初等变换法。 ( A : E ) → 初等行变换 ( E : A − 1 ) (A:E) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (E:A^{-1}) (A:E)初等行变换 (E:A−1)。

方法三 用定义求 B B B，使 A B = E AB=E AB=E 或 B A = E BA=E BA=E，则 A A A 可逆，且 A − 1 = B A^{-1}=B A−1=B。

方法四 用分块矩阵。

设 B , C B,C B,C 都是可逆矩阵，则
$B O O C$ − 1 = $B - 1 O O C - 1$ , $O B C O$ − 1 = $O C - 1 B - 1 O$ \begin{bmatrix} B & O \\\\ O & C \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} B^{-1} & O \\\\ O & C^{-1} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} O & B \\\\ C & O \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & C^{-1} \\\\ B^{-1} & O \end{bmatrix} BOOC −1= B−1OOC−1 , OCBO −1= OB−1C−1O

3、向量

3.1线性组合和线性表示

给定向量组 A ： a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m A：a_1,a_2,a_3,...,a_m A：a1,a2,a3,...,am，对于任何一组实数 k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k m k_1,k_2,k_3,...,k_m k1,k2,k3,...,km，表达式 k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + k m a m k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3+···+k_ma_m k1a1+k2a2+k3a3+⋅⋅⋅+kmam 称为向量组 A 的一个线性组合 ， k 1 , k 2 , k 3 , . . . , K m k_1,k_2,k_3,...,K_m k1,k2,k3,...,Km称为这个线性组合的系数
给定向量组 A ： a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m A：a_1,a_2,a_3,...,a_m A：a1,a2,a3,...,am，向量 b b b ，如果存在一组数 λ 1 , λ 2 , λ 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , λ m λ_1,λ_2,λ_3,···,λ_m λ1,λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm，使 b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ m a m b=λ_1a_1+λ_2a_2+λ_3a_3+···+λ_ma_m b=λ1a1+λ2a2+λ3a3+⋅⋅⋅+λmam ，则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示

定理：

向量 b b b 由向量组 A ： a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m A：a_1,a_2,a_3,...,a_m A：a1,a2,a3,...,am 表示的充分必要条件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , a 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , a m ) A=(a_1,a_2,a_3,···,a_m) A=(a1,a2,a3,⋅⋅⋅,am) 的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m , b ) B=(a_1,a_2,a_3,...,a_m,b) B=(a1,a2,a3,...,am,b) 的秩
若 A ，B能互相表示，则称他们是等价的
向量组 A 能由向量组 B 线性表示 的充分必要条件为 R ( A ) = R ( A , B ) R(A)=R(A,B) R(A)=R(A,B)，或者 R ( A ) ≤ R ( B ) R(A) ≤ R(B) R(A)≤R(B)，等价的充要条件 为 R ( A ) = R ( B ) = R ( A , B ) R(A)=R(B)=R(A,B) R(A)=R(B)=R(A,B)

3.2 线性相关与线性无关

给定向量组 A ： a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m A：a_1,a_2,a_3,...,a_m A：a1,a2,a3,...,am，存在不全为零实数 k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k m k_1,k_2,k_3,...,k_m k1,k2,k3,...,km，使 k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3+···+k_ma_m = 0 k1a1+k2a2+k3a3+⋅⋅⋅+kmam=0 ，则称向量组 A 是线性相关 的，否则称他线性无关

简单来说：

线性相关：有非零解
线性无关：只有零解

重要结论：

方阵形式：直接判断行列式的值是否为零，线性相关D为0，线性无关D不为0
行数大于列数的矩阵：判断齐次线性方程组的解，线性相关有非零解 ，线性无关只有零解
列数大于行数的矩阵：向量个数大于维数，一定线性相关

向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am 线性相关 的充分必要条件是：其中至少有一个向量可由其余 m -1 个向量线性表示
向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am 线性无关 的充分必要条件是：其中每一个向量 都不能由其余 m -1 个向量线性表示
若向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am 线性无关，而向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m , b a_1,a_2,a_3,...,a_m,b a1,a2,a3,...,am,b 线性相关，则 b 可由 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am 线性表示，且表达式唯一

注：线性表示和线性相关性是不同的概念

若部分线性相关，则整个向量组也线性相关
若整体线性无关，则任意一个部分也线性无关
如果n维向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am 线性无关，则在每一个向量上都添加 m 个分量，得到的 n+m 维接长的向量组也线性无关
如果n维向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am 线性相关，则在每一个向量上都减去 m 个分量，得到的 n-m 维截断的向量组也线性相关

向量组线性无关 ⇔ 秩等于向量个数
线性相关 ⇔ 秩小于向量个数

3.3 向量组的秩

定义：向量组的极大无关组所包含向量的个数，称为向量组的的秩

定理：

如果两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价

行向量组与列向量组：

行向量组的秩为行秩，列向量组的秩为列秩
行秩=列秩=矩阵的秩

3.4 极大无关组

定义：设向量组 A ： a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m A：a_1,a_2,a_3,...,a_m A：a1,a2,a3,...,am中有一部分向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a r ( r < n ) a_1,a_2,a_3,...,a_r (r<n) a1,a2,a3,...,ar(r<n)满足

$a_1,a_2,a_3,...,a_r$ 线性无关
向量组 A 中任意 r + 1 r+1 r+1(如果有 r + 1 r+1 r+1个向量的话) ，则称 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a r a_1,a_2,a_3,...,a_r a1,a2,a3,...,ar是向量组 A 的一个极大线性无关组。简称为极大无关组

求向量组极大无关组的方法：先将列向量组构成矩阵A，然后对A实行初等行变换，把A化为行最简型矩阵，由行最简型矩阵列之间的关系，确定原向量组间的线性关系，从而确定极大无关组。(**行最简型矩阵中每行首个非零元素所在的列**)

3.5 内积

3.5.1 定义与性质

内积定义 ：对于向量 a = ( a 1 , . . . , a n ) \mathbf{a}=(a_1,...,a_n) a=(a1,...,an)和 b = ( b 1 , . . . , b n ) \mathbf{b}=(b_1,...,b_n) b=(b1,...,bn)，其内积为：
$a , b$ = ∑ i = 1 n a i b i $\\mathbf{a},\\mathbf{b}$ = \sum_{i=1}^n a_ib_i $a,b$ =i=1∑naibi
矩阵内积 ：对于 m × n m×n m×n矩阵 A , B A,B A,B，其内积为：
$A , B$ = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j b i j $A,B$ = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ij} $A,B$ =i=1∑mj=1∑naijbij
向量长度（范数） ：
∥ a ∥ = $a , a$ = ∑ i = 1 n a i 2 \|\mathbf{a}\| = \sqrt{ $\\mathbf{a},\\mathbf{a}$ } = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} ∥a∥= $a,a$ =i=1∑nai2
单位向量 ：若 ∥ a ∥ = 1 \|\mathbf{a}\|=1 ∥a∥=1，则称 a \mathbf{a} a为单位向量
施瓦茨不等式 ：
∣ $a , b$ ∣ ≤ ∥ a ∥ ⋅ ∥ b ∥ | $\\mathbf{a},\\mathbf{b}$ | \leq \|\mathbf{a}\|\cdot\|\mathbf{b}\| ∣ $a,b$ ∣≤∥a∥⋅∥b∥

3.5.2 重要性质

对称性： $a , b$ = $b , a$ $\\mathbf{a},\\mathbf{b}$ = $\\mathbf{b},\\mathbf{a}$ $a,b$ = $b,a$
线性性： $k a + b , c$ = k $a , c$ + $b , c$ $k\\mathbf{a}+\\mathbf{b},\\mathbf{c}$ =k $\\mathbf{a},\\mathbf{c}$ + $\\mathbf{b},\\mathbf{c}$ $ka+b,c$ =k $a,c$ + $b,c$
正定性： $a , a$ ≥ 0 $\\mathbf{a},\\mathbf{a}$ \geq 0 $a,a$ ≥0，且 $a , a$ = 0 ⟺ a = 0 $\\mathbf{a},\\mathbf{a}$ =0 \iff \mathbf{a}=\mathbf{0} $a,a$ =0⟺a=0

例题1 ：计算向量 a = ( 1 , 2 , 3 ) \mathbf{a}=(1,2,3) a=(1,2,3)和 b = ( 4 , − 5 , 6 ) \mathbf{b}=(4,-5,6) b=(4,−5,6)的内积和长度。
解：

内积：
$a , b$ = 1 × 4 + 2 × ( − 5 ) + 3 × 6 = 4 − 10 + 18 = 12 $\\mathbf{a},\\mathbf{b}$ = 1×4 + 2×(-5) + 3×6 = 4-10+18=12 $a,b$ =1×4+2×(−5)+3×6=4−10+18=12
长度：
∥ a ∥ = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 \|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14} ∥a∥=12+22+32 =14
∥ b ∥ = 4 2 + ( − 5 ) 2 + 6 2 = 77 \|\mathbf{b}\| = \sqrt{4^2+(-5)^2+6^2} = \sqrt{77} ∥b∥=42+(−5)2+62 =77

3.6 正交向量组

3.6.1 基本概念

正交定义 ：若 $a , b$ = 0 $\\mathbf{a},\\mathbf{b}$ =0 $a,b$ =0，则称向量 a \mathbf{a} a与 b \mathbf{b} b正交
正交向量组：由非零向量组成的向量组，其中任意两个不同向量都正交
标准正交基：由单位向量组成的正交向量组

3.6.2 重要定理

正交向量组的线性无关性 ：

任何正交向量组都是线性无关的
Gram-Schmidt正交化 ：

可将线性无关向量组转化为正交向量组：
- b 1 = a 1 \mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1 b1=a1
- b 2 = a 2 − $a 2 , b 1$ $b 1 , b 1$ b 1 \mathbf{b}_2 = \mathbf{a}_2 - \frac{ $\\mathbf{a}_2,\\mathbf{b}_1$ }{ $\\mathbf{b}_1,\\mathbf{b}_1$ }\mathbf{b}_1 b2=a2− $b1,b1$ $a2,b1$ b1
- b 3 = a 3 − $a 3 , b 1$ $b 1 , b 1$ b 1 − $a 3 , b 2$ $b 2 , b 2$ b 2 \mathbf{b}_3 = \mathbf{a}_3 - \frac{ $\\mathbf{a}_3,\\mathbf{b}_1$ }{ $\\mathbf{b}_1,\\mathbf{b}_1$ }\mathbf{b}_1 - \frac{ $\\mathbf{a}_3,\\mathbf{b}_2$ }{ $\\mathbf{b}_2,\\mathbf{b}_2$ }\mathbf{b}_2 b3=a3− $b1,b1$ $a3,b1$ b1− $b2,b2$ $a3,b2$ b2
- ...

例题2 ：验证向量组 a 1 = ( 1 , 1 , 1 ) \mathbf{a}_1=(1,1,1) a1=(1,1,1)， a 2 = ( 1 , − 1 , 0 ) \mathbf{a}_2=(1,-1,0) a2=(1,−1,0)， a 3 = ( 1 , 1 , − 2 ) \mathbf{a}_3=(1,1,-2) a3=(1,1,−2)是否正交。

解：
计算各对内积：

$a 1 , a 2$ = 1 × 1 + 1 × ( − 1 ) + 1 × 0 = 0 $\\mathbf{a}_1,\\mathbf{a}_2$ = 1×1 + 1×(-1) + 1×0 = 0 $a1,a2$ =1×1+1×(−1)+1×0=0
$a 1 , a 3$ = 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × ( − 2 ) = 0 $\\mathbf{a}_1,\\mathbf{a}_3$ = 1×1 + 1×1 + 1×(-2) = 0 $a1,a3$ =1×1+1×1+1×(−2)=0
$a 2 , a 3$ = 1 × 1 + ( − 1 ) × 1 + 0 × ( − 2 ) = 0 $\\mathbf{a}_2,\\mathbf{a}_3$ = 1×1 + (-1)×1 + 0×(-2) = 0 $a2,a3$ =1×1+(−1)×1+0×(−2)=0
因此该向量组是正交向量组。

例题3 ：将线性无关向量组 a 1 = ( 1 , 1 , 0 ) \mathbf{a}_1=(1,1,0) a1=(1,1,0)， a 2 = ( 1 , 0 , 1 ) \mathbf{a}_2=(1,0,1) a2=(1,0,1)， a 3 = ( 0 , 1 , 1 ) \mathbf{a}_3=(0,1,1) a3=(0,1,1)正交化。

解：
使用Gram-Schmidt正交化：

b 1 = a 1 = ( 1 , 1 , 0 ) \mathbf{b}_1 = \mathbf{a}_1 = (1,1,0) b1=a1=(1,1,0)
b 2 = a 2 − $a 2 , b 1$ $b 1 , b 1$ b 1 = ( 1 , 0 , 1 ) − 1 2 ( 1 , 1 , 0 ) = ( 1 2 , − 1 2 , 1 ) \mathbf{b}_2 = \mathbf{a}_2 - \frac{ $\\mathbf{a}_2,\\mathbf{b}_1$ }{ $\\mathbf{b}_1,\\mathbf{b}_1$ }\mathbf{b}_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = (\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1) b2=a2− $b1,b1$ $a2,b1$ b1=(1,0,1)−21(1,1,0)=(21,−21,1)
b 3 = a 3 − $a 3 , b 1$ $b 1 , b 1$ b 1 − $a 3 , b 2$ $b 2 , b 2$ b 2 = ( 0 , 1 , 1 ) − 1 2 ( 1 , 1 , 0 ) − 1 / 2 3 / 2 ( 1 2 , − 1 2 , 1 ) = ( − 2 3 , 2 3 , 2 3 ) \mathbf{b}_3 = \mathbf{a}_3 - \frac{ $\\mathbf{a}_3,\\mathbf{b}_1$ }{ $\\mathbf{b}_1,\\mathbf{b}_1$ }\mathbf{b}_1 - \frac{ $\\mathbf{a}_3,\\mathbf{b}_2$ }{ $\\mathbf{b}_2,\\mathbf{b}_2$ }\mathbf{b}_2 = (0,1,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) - \frac{1/2}{3/2}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1) = (-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}) b3=a3− $b1,b1$ $a3,b1$ b1− $b2,b2$ $a3,b2$ b2=(0,1,1)−21(1,1,0)−3/21/2(21,−21,1)=(−32,32,32)

最终得到正交向量组： b 1 = ( 1 , 1 , 0 ) \mathbf{b}_1=(1,1,0) b1=(1,1,0)， b 2 = ( 1 2 , − 1 2 , 1 ) \mathbf{b}_2=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1) b2=(21,−21,1)， b 3 = ( − 2 3 , 2 3 , 2 3 ) \mathbf{b}_3=(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}) b3=(−32,32,32)

4、线性方程组

4.1 非齐次

线性方程组 A m n A_{mn} Amn * x x x=b 有解的充要条件是 r(A，b)= r(A)
当线性方程组 A m n ∗ x A_{mn} * x Amn∗x=b 有解时：r 为秩，n为系数项数，即未知量的个数(列向量个数)
- 若 r(A，b)= r(A)=r = n ，方程组有唯一解
- 若 r(A，b)= r(A)=r < n ，方程组有无穷多解
同理， A m n ∗ x A_{mn }* x Amn∗x=b 无解的充要条件是 r ( A ， b ) ! = r ( A ) r(A，b)!=r(A) r(A，b)!=r(A)

4.2 齐次线性方程组解的判定

齐次线性方程组一定满足： r ( A , b ) r(A,b) r(A,b)= r ( A ) r(A) r(A)

齐次线性方程组 A m n ∗ x = 0 A_{mn} * x=0 Amn∗x=0 只有零解的充要条件是 r(A)= n
齐次线性方程组 A m n ∗ x = 0 A_{mn} * x=0 Amn∗x=0 有非零解的充要条件是 r(A)< n（有非零解即为无穷多解）

4.3齐次线性方程组的解的结构

解向量的概念

若齐次线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个n维向量组，若能求出这个向量组的一个极大无关组，则就能用它来表示它的全部解，这个极大无关组 称为齐次线性方程组的基础解系

齐次线性方程组有非零解，则它一定有基础解系。

定理1 ：如果齐次线性方程组 A m n ∗ x = 0 A_{mn} * x=0 Amn∗x=0 的系数矩阵A的秩 r ( A ) = r < n r(A)= r < n r(A)=r<n，则 A m n ∗ x = 0 A_{mn} * x=0 Amn∗x=0 的基础解系中有 n − r n-r n−r 个解向量

4.4非齐次线性方程组的解的结构

非齐次线性方程组的解的结构为：非齐次线性方程组的特解 + 齐次线性方程组的通解。

求线性方程组通解的一般步骤

齐次线性方程组：

对于增广矩阵化简为 行最简型矩阵

判断解的情况并且得到解向量的个数 = n-r

通过行最简矩阵得到自由未知量 ，首非零元与自由未知量确定方程，求方程解，得到各个未知量的解，并且得到每一个基础解系

通解为各个基础解系的k倍和
非齐次线性方程组：

步骤与上面基本一致，但是通解为：特解 + 导出组（导出组指的是常数项为0）的基础解系

5. 特征值和特征向量

5.1 基本概念与定理

定义 : 设 A A A是 n n n阶方阵，若存在数 λ \lambda λ和非零向量 α \alpha α使得： A α = λ α A\alpha = \lambda\alpha Aα=λα，则称 λ \lambda λ为 A A A的特征值， α \alpha α为对应 λ \lambda λ的特征向量。

带参数r的n阶方阵称为A的特征方阵；
它的行列式称为A的特征多项式；
∣ λ E − A ∣ |\lambda E-A| ∣λE−A∣=0称为A的特征方程

求解特征值与特征向量的方法：

n阶实方阵的特征值就是它的特征方程的n个根
任意取定一个特征值，其对应特征向量就是相应齐次线性方程组（rE-A）x=0 的所有非零解

例题1：求特征值和特征向量
求矩阵 A = $3 1 1 3$ A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix} A= $3113$ 的特征值和特征向量。

解：

特征方程：

∣ 3 − λ 1 1 3 − λ ∣ = ( 3 − λ ) 2 − 1 = 0 \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\\\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^2 -1 = 0 3−λ113−λ =(3−λ)2−1=0

解得： λ 1 = 2 \lambda_1=2 λ1=2， λ 2 = 4 \lambda_2=4 λ2=4

求特征向量：

对 λ 1 = 2 \lambda_1=2 λ1=2：

$1 1 1 1$ $x 1 x 2$ = 0 ⇒ α 1 = k $1 - 1$ \begin{bmatrix}1&1\\\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\\\x_2\end{bmatrix}=0 \Rightarrow \alpha_1=k\begin{bmatrix}1\\\\-1\end{bmatrix} 1111 x1x2 =0⇒α1=k 1−1

对 λ 2 = 4 \lambda_2=4 λ2=4：

$- 1 1 1 - 1$ $x 1 x 2$ = 0 ⇒ α 2 = k $1 1$ \begin{bmatrix}-1&1\\\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\\\x_2\end{bmatrix}=0 \Rightarrow \alpha_2=k\begin{bmatrix}1\\\\1\end{bmatrix} −111−1 x1x2 =0⇒α2=k 11

5.2 矩阵对角化

对角化条件

A A A有 n n n个线性无关特征向量
A A A的每个特征值的几何重数等于代数重数

例题： 将 A = $2 - 1 - 1 2$ A=\begin{bmatrix}2&-1\\\\-1&2\end{bmatrix} A= 2−1−12 对角化。

解：

特征值： λ 1 = 1 \lambda_1=1 λ1=1， λ 2 = 3 \lambda_2=3 λ2=3
特征向量：
- λ 1 = 1 \lambda_1=1 λ1=1对应 α 1 = ( 1 , 1 ) T \alpha_1=(1,1)^T α1=(1,1)T
- λ 2 = 3 \lambda_2=3 λ2=3对应 α 2 = ( − 1 , 1 ) T \alpha_2=(-1,1)^T α2=(−1,1)T
构造矩阵：

P = $1 - 1 1 1$ , P − 1 = 1 2 $1 1 - 1 1$ P=\begin{bmatrix}1&-1\\\\1&1\end{bmatrix}, \quad P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1\\\\-1&1\end{bmatrix} P= 11−11 ,P−1=21 1−111

对角化结果：

A = P $1 0 0 3$ P − 1 A=P\begin{bmatrix}1&0\\\\0&3\end{bmatrix}P^{-1} A=P 1003 P−1

5.3 特征值与特征向量的若干结论

实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量。
三角矩阵的特征值 ：

上下三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素。
特征向量的唯一性 ：

一个向量 p 不可能是同一个方阵 A 的不同特征值的特征向量。
方阵与其转置的特征值关系 ：

n阶方阵和它的转置具有相同的特征值。
特征值与矩阵的关系 ：

设 r₁, r₂, ..., rₙ 为方阵 A 的全体特征值，则必有：
- 特征值之和等于对角线元素之和（迹）：
  
  ∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i = tr ( A ) \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = \text{tr}(A) ∑i=1nλi=∑i=1naii=tr(A)
- 特征值之积等于行列式的值 ：
  ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \prod_{i=1}^{n} \lambda_{i} = |A| ∏i=1nλi=∣A∣

6、二次型

n n n元二次齐次函数：
f ( x 1 , . . . , x n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j ( a i j = a j i ) f(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j \quad (a_{ij}=a_{ji}) f(x1,...,xn)=i=1∑nj=1∑naijxixj(aij=aji)

矩阵形式： f ( x ) = x T A x f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x} f(x)=xTAx

A(对称矩阵)称为二次型f的矩阵，对称阵A的秩为二次型f的秩
二次型与对称阵具有一一对应的关系，一个二次型 f 由其对应的实对称矩阵 A 唯一确定。当给定了二次型 f 后，便可以确定其对应的实对称矩阵 A
- A 的对角线元素为： a i i a_{ii} aii为 x i 2 x_{i} ^2 xi2项的系数
- A 的其他元素为： a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} aij=aji 为 x i j x_{ij} xij 项的系数的 2 − 1 2^{-1} 2−1

例题3：化二次型为标准形
化二次型 f = 2 x 1 2 + 3 x 2 2 + 4 x 1 x 2 f=2x_1^2+3x_2^2+4x_1x_2 f=2x12+3x22+4x1x2为标准形。

解法1（配方法） ：
f = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 + 3 x 2 2 = 2 ( x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 ) + x 2 2 = 2 ( x 1 + x 2 ) 2 + x 2 2 \begin{aligned} f &= 2x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2 \\\\ &= 2(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)+x_2^2 \\\\ &= 2(x_1+x_2)^2+x_2^2 \end{aligned} f=2x12+4x1x2+3x22=2(x12+2x1x2+x22)+x22=2(x1+x2)2+x22
令 y 1 = x 1 + x 2 y_1=x_1+x_2 y1=x1+x2， y 2 = x 2 y_2=x_2 y2=x2，则 f = 2 y 1 2 + y 2 2 f=2y_1^2+y_2^2 f=2y12+y22

解法2（正交变换法）：

写出矩阵 A = $2 2 2 3$ A=\begin{bmatrix}2&2\\\\2&3\end{bmatrix} A= 2223
求特征值： λ 1 = 1 \lambda_1=1 λ1=1， λ 2 = 4 \lambda_2=4 λ2=4
标准形： f = y 1 2 + 4 y 2 2 f=y_1^2+4y_2^2 f=y12+4y22

6.1 标准型

定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准型

正交变换法化二次型为标准型的方法：

写出二次型的矩阵A，求其特征值
求出特征值对应的特征向量，并且将他们正交单位化
将正交单位化后的特征向量依次作为列向量构成正交矩阵 P。
做正交变换 x = P y x=Py x=Py，得二次型的标准型

正交单位化的时候：

如果对应不同的特征值，所以他们正交，直接单位化即可

如果对应相同的特征值 ，所以要首先正交化 ，然后再单位化

6.2 合同

对于两个矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得 C T A C = B C^TAC=B CTAC=B，就称A合同（或相合）于B，记作A≃B，也是一种等价关系。因此可以称A和B是合同矩阵。