文章目录
- 1、行列式
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- [1.1 性质](#1.1 性质)
- [1.2 行列式展开公式](#1.2 行列式展开公式)
- [1.3 特殊行列式](#1.3 特殊行列式)
- [1.4 克拉默法则](#1.4 克拉默法则)
- 2、矩阵
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- [2.1 矩阵多项式](#2.1 矩阵多项式)
- [2.2 运算法则](#2.2 运算法则)
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- [(1) 加法](#(1) 加法)
- [(2) 数乘矩阵](#(2) 数乘矩阵)
- [(3) 乘法](#(3) 乘法)
- [(4) 转置](#(4) 转置)
- [2.3 对角矩阵的性质与运算](#2.3 对角矩阵的性质与运算)
- [2.4 伴随矩阵](#2.4 伴随矩阵)
- [2.4 可逆矩阵的概念与定理](#2.4 可逆矩阵的概念与定理)
- 3、向量
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- 3.1线性组合和线性表示
- [3.2 线性相关与线性无关](#3.2 线性相关与线性无关)
- [3.3 向量组的秩](#3.3 向量组的秩)
- [3.4 极大无关组](#3.4 极大无关组)
- [3.5 内积](#3.5 内积)
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- [3.5.1 定义与性质](#3.5.1 定义与性质)
- [3.5.2 重要性质](#3.5.2 重要性质)
- [3.6 正交向量组](#3.6 正交向量组)
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- [3.6.1 基本概念](#3.6.1 基本概念)
- [3.6.2 重要定理](#3.6.2 重要定理)
- 4、线性方程组
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- [4.1 非齐次](#4.1 非齐次)
- [4.2 齐次线性方程组解的判定](#4.2 齐次线性方程组解的判定)
- 4.3齐次线性方程组的解的结构
- 4.4非齐次线性方程组的解的结构
- [5. 特征值和特征向量](#5. 特征值和特征向量)
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- [5.1 基本概念与定理](#5.1 基本概念与定理)
- [5.2 矩阵对角化](#5.2 矩阵对角化)
- [5.3 特征值与特征向量的若干结论](#5.3 特征值与特征向量的若干结论)
- 6、二次型
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- [6.1 标准型](#6.1 标准型)
- [6.2 合同](#6.2 合同)
文章目录
1、行列式
1.1 性质
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转置性质
行列式转置后值不变：
∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T| = |A| ∣AT∣=∣A∣ -
行/列互换
两行（或列）互换，行列式变号。若两行（或列）相同，行列式为0。
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公因子提取
某行（或列）有公因子 k k k，可提出：
- 推论1：某行（或列）全为0，行列式为0。
- 推论2：两行（或列）成比例，行列式为0。
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行列式拆分
若某行（或列）为两元素之和，可拆分为两个行列式之和：
∣ a 1 + b 1 ⋯ ⋮ ⋱ ∣ = ∣ a 1 ⋯ ⋮ ⋱ ∣ + ∣ b 1 ⋯ ⋮ ⋱ ∣ \begin{vmatrix}a_1+b_1 & \cdots \\\ \vdots & \ddots\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_1 & \cdots \\\ \vdots & \ddots\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}b_1 & \cdots \\\ \vdots & \ddots\end{vmatrix} a1+b1 ⋮⋯⋱ = a1 ⋮⋯⋱ + b1 ⋮⋯⋱ -
倍加性质
某行（或列）的 k k k倍加到另一行（或列），行列式值不变。
1.2 行列式展开公式
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余子式与代数余子式
- 余子式 M i j M_{ij} Mij：划去 a i j a_{ij} aij所在行、列得到的 ( n − 1 ) (n-1) (n−1)阶行列式。
- 代数余子式 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} Aij=(−1)i+jMij。
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展开定理
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定理1.1 ：行列式可按任意行（列）展开：
∣ A ∣ = ∑ k = 1 n a i k A i k （按第 i 行展开） |A| = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik} \quad \text{（按第i行展开）} ∣A∣=k=1∑naikAik（按第i行展开）∣ A ∣ = ∑ k = 1 n a k j A k j （按第 j 列展开） |A| = \sum_{k=1}^n a_{kj}A_{kj} \quad \text{（按第j列展开）} ∣A∣=k=1∑nakjAkj（按第j列展开）
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定理1.2 ：不同行（列）的代数余子式乘积和为0：
∑ k = 1 n a i k A j k = 0 ( i ≠ j ) \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = 0 \quad (i \ne j) k=1∑naikAjk=0(i=j)
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1.3 特殊行列式
- 三角形行列式
上（下）三角行列式等于主对角线元素乘积：
∣ a 11 ⋯ a 1 n ⋱ ⋮ 0 a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n \begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\ & \ddots & \vdots \\\ 0 & & a_{nn}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} a11 0⋯⋱a1n⋮ann =a11a22⋯ann
- 副对角线行列式
∣ 0 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 , n − 1 ⋯ a n 1 \begin{vmatrix}0 & \cdots & a_{1n} \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{n1} & \cdots & 0\end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} 0 ⋮ an1⋯⋱⋯a1n⋮0 =(−1)2n(n−1)a1na2,n−1⋯an1
- 分块行列式（拉普拉斯展开）
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若 A A A为 m m m阶， B B B为 n n n阶矩阵：
∣ A ∗ O B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \begin{vmatrix}A & * \\\ O & B\end{vmatrix} = |A|\cdot|B| A O∗B =∣A∣⋅∣B∣∣ O A B ∗ ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \begin{vmatrix}O & A \\\ B & *\end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A|\cdot|B| O BA∗ =(−1)mn∣A∣⋅∣B∣
- 范德蒙行列式
∣ 1 ⋯ 1 x 1 ⋯ x n ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n ( x i − x j ) \begin{vmatrix}1 & \cdots & 1 \\\ x_1 & \cdots & x_n \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ x_1^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}\end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (x_i - x_j) 1 x1 ⋮ x1n−1⋯⋯⋱⋯1xn⋮xnn−1 =1≤j<i≤n∏(xi−xj)
注：
1.4 克拉默法则
定理1.3（克拉默法则）
对于由 ( n ) 个方程、( n ) 个未知量构成的非齐次线性方程组：
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\\ \vdots \\\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2, ⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn
若其系数行列式 ( ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0)，则方程组有唯一解：
x i = ∣ A i ∣ ∣ A ∣ , i = 1 , 2 , ⋯ , n x_i = \frac{|A_i|}{|A|}, \quad i = 1, 2, \cdots, n xi=∣A∣∣Ai∣,i=1,2,⋯,n
其中 ( ∣ A i ∣ |A_i| ∣Ai∣) 是将 ( ∣ A ∣ ( |A| (∣A∣) 的第 ( i i i) 列替换为常数项 ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n b_1, b_2, \cdots, b_n b1,b2,⋯,bn) 所得的行列式。
注：
- 唯一解条件 ：仅当 ( ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0) 时适用。
- 特殊情况 ：
- 若 ( \|A\| = 0 )，方程组可能无解或有无穷多解，但不可能有唯一解。
推论（齐次线性方程组）
对于齐次线性方程组（常数项全为0）：
- 若 ( ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0)，方程组仅有零解 ( x 1 = x 2 = ⋯ = x n = 0 x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0 x1=x2=⋯=xn=0)。
- 若 ( ∣ A ∣ = 0 |A| = 0 ∣A∣=0)，方程组存在非零解（无穷多解）。
2、矩阵
2.1 矩阵多项式
2.2 运算法则
(1) 加法
设 A A A, B B B, C C C 为同型矩阵，则：
- 交换律 ： A + B = B + A A + B = B + A A+B=B+A
- 结合律 ： ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A + B) + C = A + (B + C) (A+B)+C=A+(B+C)
- 零矩阵 ： A + O = A A + O = A A+O=A（ O O O 为同型零矩阵）
- 负矩阵 ： A + ( − A ) = O A + (-A) = O A+(−A)=O
(2) 数乘矩阵
设 k k k, m m m 为标量，则：
- 结合性 ： k ( m A ) = ( k m ) A = m ( k A ) k(mA) = (km)A = m(kA) k(mA)=(km)A=m(kA)
- 分配律 ： ( k + m ) A = k A + m A (k + m)A = kA + mA (k+m)A=kA+mA
- 线性性 ： k ( A + B ) = k A + k B k(A + B) = kA + kB k(A+B)=kA+kB
- 单位数乘 ： 1 A = A 1A = A 1A=A, 0 A = O 0A = O 0A=O
(3) 乘法
若矩阵 A A A, B B B, C C C 满足乘法条件，则：
- 结合律 ： ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) (AB)C=A(BC)
- 左分配律 ： A ( B + C ) = A B + A C A(B + C) = AB + AC A(B+C)=AB+AC
- 右分配律 ： ( B + C ) A = B A + C A (B + C)A = BA + CA (B+C)A=BA+CA
(4) 转置
- 和的转置 ： ( A + B ) T = A T + B T (A + B)^T = A^T + B^T (A+B)T=AT+BT
- 数乘转置 ： ( k A ) T = k A T (kA)^T = kA^T (kA)T=kAT
- 积的转置 ： ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^T A^T (AB)T=BTAT
- 转置的转置 ： ( A T ) T = A (A^T)^T = A (AT)T=A
注 ：矩阵乘法一般不满足交换律（即 A B ≠ B A AB \neq BA AB=BA）。
2.3 对角矩阵的性质与运算
对角矩阵乘法
两个对角矩阵相乘结果仍为对角矩阵，且元素为对应位置相乘:
a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 \] \[ b 1 0 0 0 b 2 0 0 0 b 3 \] = \[ a 1 b 1 0 0 0 a 2 b 2 0 0 0 a 3 b 3 \] \\begin{bmatrix} a_1 \& 0 \& 0 \\\\\\\\ 0 \& a_2 \& 0 \\\\\\\\ 0 \& 0 \& a_3 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} b_1 \& 0 \& 0 \\\\\\\\ 0 \& b_2 \& 0 \\\\\\\\ 0 \& 0 \& b_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} a_1 b_1 \& 0 \& 0 \\\\\\\\ 0 \& a_2 b_2 \& 0 \\\\\\\\ 0 \& 0 \& a_3 b_3 \\end{bmatrix} a1000a2000a3 b1000b2000b3 = a1b1000a2b2000a3b3
**性质**
1. **交换律**
对角矩阵乘法可交换： Λ 1 Λ 2 = Λ 2 Λ 1 \\Lambda_1 \\Lambda_2 = \\Lambda_2 \\Lambda_1 Λ1Λ2=Λ2Λ1。
2. **逆矩阵**
若对角元素均非零（ a i ≠ 0 a_i \\neq 0 ai=0），其逆矩阵为元素取倒数：
\[ a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 \] − 1 = \[ 1 a 1 0 0 0 1 a 2 0 0 0 1 a 3 \] \\begin{bmatrix} a_1 \& 0 \& 0 \\\\\\\\ 0 \& a_2 \& 0 \\\\\\\\ 0 \& 0 \& a_3 \\end{bmatrix}\^{-1} = \\begin{bmatrix} \\frac{1}{a_1} \& 0 \& 0 \\\\\\\\ 0 \& \\frac{1}{a_2} \& 0 \\\\\\\\ 0 \& 0 \& \\frac{1}{a_3} \\end{bmatrix} a1000a2000a3 −1= a11000a21000a31
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### 2.4 伴随矩阵
设 A A A 是一个 n n n 阶方阵（ n ≥ 2 n \\geq 2 n≥2），其伴随矩阵 A ∗ A\^\* A∗（或记作 adj ( A ) \\text{adj}(A) adj(A)）定义为：
A ∗ = \[ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n \] A\^\* = \\begin{bmatrix} A_{11} \& A_{21} \& \\cdots \& A_{n1} \\\\\\\\ A_{12} \& A_{22} \& \\cdots \& A_{n2} \\\\\\\\ \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \& \\vdots \\\\\\\\ A_{1n} \& A_{2n} \& \\cdots \& A_{nn} \\end{bmatrix} A∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann
其中 A i j A_{ij} Aij 是矩阵 A A A 的元素 a i j a_{ij} aij 的**代数余子式** （Cofactor），即：
A i j = ( − 1 ) i + j M i j , A_{ij} = (-1)\^{i+j} M_{ij}, Aij=(−1)i+jMij,
M i j M_{ij} Mij 是 A A A 删去第 i i i 行第 j j j 列后得到的 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 阶子矩阵的行列式。
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**伴随矩阵的公式：**
A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA\^\* = A\^\*A = \|A\|E AA∗=A∗A=∣A∣E
( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ = 1 ∣ A ∣ A (A\^\*)\^{-1} = (A\^{-1})\^\* = \\frac{1}{\|A\|}A (A∗)−1=(A−1)∗=∣A∣1A ( ∣ A ∣ ≠ 0 \|A\|\\neq 0 ∣A∣=0)
( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (kA)\^\* = k\^{n-1}A\^\* (kA)∗=kn−1A∗
( A ∗ ) ⊤ = ( A ⊤ ) ∗ (A\^\*)\^{\\top} = (A\^{\\top})\^\* (A∗)⊤=(A⊤)∗
∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \|A\^\*\| = \|A\|\^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1
( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A (A\^\*)\^\* = \|A\|\^{n-2}A (A∗)∗=∣A∣n−2A ( n ≥ 2 n \\geq 2 n≥2)
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### 2.4 可逆矩阵的概念与定理
**定义** 设 A A A 是 n n n 阶矩阵，如果存在 n n n 阶矩阵 B B B 使得
A B = B A = E AB = BA = E AB=BA=E（单位矩阵）
成立，则称 A A A 是**可逆矩阵** 或**非奇异矩阵** ， B B B 是 A A A 的逆矩阵，记成 A − 1 = B A\^{-1} = B A−1=B。
**定理 2.1** 若 A A A 可逆，则 A A A 的逆矩阵唯一。
**定理 2.2** A A A 可逆 ⇔ \\Leftrightarrow ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 \|A\| \\neq 0 ∣A∣=0。
**定理 2.3** 设 A A A 和 B B B 是 n n n 阶矩阵且 A B = E AB = E AB=E，则 B A = E BA = E BA=E。
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**3. n n n 阶矩阵 A A A 可逆的充分必要条件**
1. 存在 n n n 阶矩阵 B B B，使 A B = E AB = E AB=E（或 B A = E BA = E BA=E）
2. ∣ A ∣ ≠ 0 \|A\| \\neq 0 ∣A∣=0，或秩 r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n，或 A A A 的列（行）向量线性无关
3. 齐次方程组 A x = 0 Ax = 0 Ax=0 只有零解
4. ∀ b \\forall b ∀b，非齐次线性方程组 A x = b Ax = b Ax=b 总有唯一解
5. 矩阵 A A A 的特征值全不为 0
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**4. 逆矩阵的运算性质**
若 k ≠ 0 k \\neq 0 k=0, A A A 可逆，则 ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (kA)\^{-1} = \\frac{1}{k}A\^{-1} (kA)−1=k1A−1。
若 A , B A, B A,B 可逆，则 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)\^{-1} = B\^{-1}A\^{-1} (AB)−1=B−1A−1，特别地 ( A 2 ) − 1 = ( A − 1 ) 2 (A\^2)\^{-1} = (A\^{-1})\^2 (A2)−1=(A−1)2。
若 A ⊤ A\^{\\top} A⊤ 可逆，则 ( A ⊤ ) − 1 = ( A − 1 ) ⊤ (A\^{\\top})\^{-1} = (A\^{-1})\^{\\top} (A⊤)−1=(A−1)⊤； ( A − 1 ) − 1 = A (A\^{-1})\^{-1} = A (A−1)−1=A； ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ \|A\^{-1}\| = \\frac{1}{\|A\|} ∣A−1∣=∣A∣1。
**注意** 即使 A , B A, B A,B 和 A + B A + B A+B 都可逆，一般地 ( A + B ) − 1 ≠ A − 1 + B − 1 (A + B)\^{-1} \\neq A\^{-1} + B\^{-1} (A+B)−1=A−1+B−1。
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**5. 求逆矩阵的方法**
**方法一** 用公式，若 ∣ A ∣ ≠ 0 \|A\|\\neq0 ∣A∣=0，则 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A\^{-1}=\\frac{1}{\|A\|}A\^\* A−1=∣A∣1A∗。
**方法二** 初等变换法。 ( A : E ) → 初等行变换 ( E : A − 1 ) (A:E) \\xrightarrow{\\text{初等行变换}} (E:A\^{-1}) (A:E)初等行变换 (E:A−1)。
**方法三** 用定义求 B B B，使 A B = E AB=E AB=E 或 B A = E BA=E BA=E，则 A A A 可逆，且 A − 1 = B A\^{-1}=B A−1=B。
**方法四** 用分块矩阵。
设 B , C B,C B,C 都是可逆矩阵，则
\[ B O O C \] − 1 = \[ B − 1 O O C − 1 \] , \[ O B C O \] − 1 = \[ O C − 1 B − 1 O \] \\begin{bmatrix} B \& O \\\\\\\\ O \& C \\end{bmatrix}\^{-1} = \\begin{bmatrix} B\^{-1} \& O \\\\\\\\ O \& C\^{-1} \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} O \& B \\\\\\\\ C \& O \\end{bmatrix}\^{-1} = \\begin{bmatrix} O \& C\^{-1} \\\\\\\\ B\^{-1} \& O \\end{bmatrix} BOOC −1= B−1OOC−1 , OCBO −1= OB−1C−1O
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## 3、向量
### 3.1线性组合和线性表示
1. 给定向量组 A ： a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m A：a_1,a_2,a_3,...,a_m A：a1,a2,a3,...,am，对于任何一组实数 k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k m k_1,k_2,k_3,...,k_m k1,k2,k3,...,km，表达式 k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + k m a m k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3+···+k_ma_m k1a1+k2a2+k3a3+⋅⋅⋅+kmam 称为向量组 **A** 的一个**线性组合** ， k 1 , k 2 , k 3 , . . . , K m k_1,k_2,k_3,...,K_m k1,k2,k3,...,Km称为这个线性组合的系数
2. 给定向量组 A ： a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m A：a_1,a_2,a_3,...,a_m A：a1,a2,a3,...,am，向量 b b b ，如果存在一组数 λ 1 , λ 2 , λ 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , λ m λ_1,λ_2,λ_3,···,λ_m λ1,λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm，使 b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ m a m b=λ_1a_1+λ_2a_2+λ_3a_3+···+λ_ma_m b=λ1a1+λ2a2+λ3a3+⋅⋅⋅+λmam ，则向量 **b** 是向量组 **A** 的线性组合，这时称**向量 b 能由向量组 A 线性表示**
**定理：**
* 向量 b b b 由向量组 A ： a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m A：a_1,a_2,a_3,...,a_m A：a1,a2,a3,...,am 表示的充分必要条件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , a 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , a m ) A=(a_1,a_2,a_3,···,a_m) A=(a1,a2,a3,⋅⋅⋅,am) 的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m , b ) B=(a_1,a_2,a_3,...,a_m,b) B=(a1,a2,a3,...,am,b) 的秩
* 若 A ，B能互相表示，则称他们是**等价的**
* 向量组 A 能由向量组 B **线性表示** 的充分必要条件为 R ( A ) = R ( A , B ) R(A)=R(A,B) R(A)=R(A,B)，**或者** R ( A ) ≤ R ( B ) R(A) ≤ R(B) R(A)≤R(B)，**等价的充要条件** 为 R ( A ) = R ( B ) = R ( A , B ) R(A)=R(B)=R(A,B) R(A)=R(B)=R(A,B)
### 3.2 线性相关与线性无关
1. 给定向量组 A ： a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m A：a_1,a_2,a_3,...,a_m A：a1,a2,a3,...,am，存在不全为零实数 k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k m k_1,k_2,k_3,...,k_m k1,k2,k3,...,km，使 k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3+···+k_ma_m = 0 k1a1+k2a2+k3a3+⋅⋅⋅+kmam=0 ，则称向量组 A 是**线性相关** 的，否则称他**线性无关**
简单来说：
1. **线性相关：有非零解**
2. **线性无关：只有零解**
**重要结论：**
1. 方阵形式：直接判断行列式的值是否为零，线性相关D为0，线性无关D不为0
2. 行数大于列数的矩阵：判断齐次线性方程组的解，**线性相关有非零解** ，**线性无关只有零解**
3. 列数大于行数的矩阵：向量个数大于维数，一定线性相关
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* 向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am **线性相关** 的充分必要条件是：其中**至少有一个向量可由**其余 m -1 个向量线性表示
* 向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am **线性无关** 的充分必要条件是：其中**每一个向量** 都**不能由**其余 m -1 个向量线性表示
* 若向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am 线性无关，而向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m , b a_1,a_2,a_3,...,a_m,b a1,a2,a3,...,am,b 线性相关，**则 b 可由 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am 线性表示，且表达式唯一**
`注：线性表示和线性相关性是不同的概念`
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* 若部分线性相关，则整个向量组也线性相关
* 若整体线性无关，则任意一个部分也线性无关
* 如果n维向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am 线性无关，则在每一个向量上都添加 m 个分量，得到的 **n+m 维接长的向量组也线性无关**
* 如果n维向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m a_1,a_2,a_3,...,a_m a1,a2,a3,...,am 线性相关，则在每一个向量上都减去 m 个分量，得到的 **n-m 维截断的向量组也线性相关**
*** ** * ** ***
* 向量组线性无关 ⇔ 秩等于向量个数
* 线性相关 ⇔ 秩小于向量个数
*** ** * ** ***
### 3.3 向量组的秩
**定义：**向量组的极大无关组所包含向量的个数，称为**向量组的的秩**
**定理：**
* 如果两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价
**行向量组与列向量组**：
* 行向量组的秩为**行秩** ，列向量组的秩为**列秩**
* **行秩=列秩=矩阵的秩**
### 3.4 极大无关组
定义：设向量组 A ： a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a m A：a_1,a_2,a_3,...,a_m A：a1,a2,a3,...,am中有一部分向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a r ( r \< n ) a_1,a_2,a_3,...,a_r (r\ 例题1 ：计算向量 a = ( 1 , 2 , 3 ) \mathbf{a}=(1,2,3) a=(1,2,3)和 b = ( 4 , − 5 , 6 ) \mathbf{b}=(4,-5,6) b=(4,−5,6)的内积和长度。 a , b \] = 1 × 4 + 2 × ( − 5 ) + 3 × 6 = 4 − 10 + 18 = 12 \[\\mathbf{a},\\mathbf{b}\] = 1×4 + 2×(-5) + 3×6 = 4-10+18=12 \[a,b\]=1×4+2×(−5)+3×6=4−10+18=12
正交向量组的线性无关性 ： 任何正交向量组都是线性无关的 Gram-Schmidt正交化 ： 可将线性无关向量组转化为正交向量组： 例题2 ：验证向量组 a 1 = ( 1 , 1 , 1 ) \mathbf{a}_1=(1,1,1) a1=(1,1,1)， a 2 = ( 1 , − 1 , 0 ) \mathbf{a}_2=(1,-1,0) a2=(1,−1,0)， a 3 = ( 1 , 1 , − 2 ) \mathbf{a}_3=(1,1,-2) a3=(1,1,−2)是否正交。 解： a 1 , a 2 \] = 1 × 1 + 1 × ( − 1 ) + 1 × 0 = 0 \[\\mathbf{a}_1,\\mathbf{a}_2\] = 1×1 + 1×(-1) + 1×0 = 0 \[a1,a2\]=1×1+1×(−1)+1×0=0
a 2 , a 3 \] = 1 × 1 + ( − 1 ) × 1 + 0 × ( − 2 ) = 0 \[\\mathbf{a}_2,\\mathbf{a}_3\] = 1×1 + (-1)×1 + 0×(-2) = 0 \[a2,a3\]=1×1+(−1)×1+0×(−2)=0
因此该向量组是正交向量组。
例题3 ：将线性无关向量组 a 1 = ( 1 , 1 , 0 ) \mathbf{a}_1=(1,1,0) a1=(1,1,0)， a 2 = ( 1 , 0 , 1 ) \mathbf{a}_2=(1,0,1) a2=(1,0,1)， a 3 = ( 0 , 1 , 1 ) \mathbf{a}_3=(0,1,1) a3=(0,1,1)正交化。 解： 最终得到正交向量组： b 1 = ( 1 , 1 , 0 ) \mathbf{b}_1=(1,1,0) b1=(1,1,0)， b 2 = ( 1 2 , − 1 2 , 1 ) \mathbf{b}_2=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1) b2=(21,−21,1)， b 3 = ( − 2 3 , 2 3 , 2 3 ) \mathbf{b}_3=(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}) b3=(−32,32,32) 齐次线性方程组一定满足： r ( A , b ) r(A,b) r(A,b)= r ( A ) r(A) r(A) 解向量的概念 若齐次线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个n维向量组，若能求出这个向量组的一个极大无关组，则就能用它来表示它的全部解，这个极大无关组 称为齐次线性方程组的基础解系 齐次线性方程组有非零解，则它一定有基础解系。 非齐次线性方程组的解的结构为：非齐次线性方程组的特解 + 齐次线性方程组的通解。 求线性方程组通解的一般步骤 齐次线性方程组： 对于增广矩阵化简为 行最简型矩阵 判断解的情况并且得到解向量的个数 = n-r 通过行最简矩阵得到自由未知量 ，首非零元与自由未知量确定方程，求方程解，得到各个未知量的解，并且得到每一个基础解系 通解为 各个基础解系的k倍和 步骤与上面基本一致，但是通解为：特解 + 导出组（导出组指的是常数项为0）的基础解系 定义 : 设 A A A是 n n n阶方阵，若存在数 λ \lambda λ和非零向量 α \alpha α使得： A α = λ α A\alpha = \lambda\alpha Aα=λα， 则称 λ \lambda λ为 A A A的特征值， α \alpha α为对应 λ \lambda λ的特征向量。 带参数r的n阶方阵称为A的特征方阵； 它的行列式称为A的特征多项式； ∣ λ E − A ∣ |\lambda E-A| ∣λE−A∣=0称为A的特征方程 求解特征值与特征向量的方法： 例题1：求特征值和特征向量 解： ∣ 3 − λ 1 1 3 − λ ∣ = ( 3 − λ ) 2 − 1 = 0 \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\\\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^2 -1 = 0 3−λ113−λ =(3−λ)2−1=0 解得： λ 1 = 2 \lambda_1=2 λ1=2， λ 2 = 4 \lambda_2=4 λ2=4 1 1 1 1 \] \[ x 1 x 2 \] = 0 ⇒ α 1 = k \[ 1 − 1 \] \\begin{bmatrix}1\&1\\\\\\\\1\&1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x_1\\\\\\\\x_2\\end{bmatrix}=0 \\Rightarrow \\alpha_1=k\\begin{bmatrix}1\\\\\\\\-1\\end{bmatrix} 1111 x1x2 =0⇒α1=k 1−1
* 对 λ 2 = 4 \\lambda_2=4 λ2=4：
\[ − 1 1 1 − 1 \] \[ x 1 x 2 \] = 0 ⇒ α 2 = k \[ 1 1 \] \\begin{bmatrix}-1\&1\\\\\\\\1\&-1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x_1\\\\\\\\x_2\\end{bmatrix}=0 \\Rightarrow \\alpha_2=k\\begin{bmatrix}1\\\\\\\\1\\end{bmatrix} −111−1 x1x2 =0⇒α2=k 11
*** ** * ** ***
### 5.2 矩阵对角化
**对角化条件**
1. A A A有 n n n个线性无关特征向量
2. A A A的每个特征值的几何重数等于代数重数
**例题：** 将 A = \[ 2 − 1 − 1 2 \] A=\\begin{bmatrix}2\&-1\\\\\\\\-1\&2\\end{bmatrix} A= 2−1−12 对角化。
**解**：
1. 特征值： λ 1 = 1 \\lambda_1=1 λ1=1， λ 2 = 3 \\lambda_2=3 λ2=3
2. 特征向量：
* λ 1 = 1 \\lambda_1=1 λ1=1对应 α 1 = ( 1 , 1 ) T \\alpha_1=(1,1)\^T α1=(1,1)T
* λ 2 = 3 \\lambda_2=3 λ2=3对应 α 2 = ( − 1 , 1 ) T \\alpha_2=(-1,1)\^T α2=(−1,1)T
3. 构造矩阵：
P = \[ 1 − 1 1 1 \] , P − 1 = 1 2 \[ 1 1 − 1 1 \] P=\\begin{bmatrix}1\&-1\\\\\\\\1\&1\\end{bmatrix}, \\quad P\^{-1}=\\frac{1}{2}\\begin{bmatrix}1\&1\\\\\\\\-1\&1\\end{bmatrix} P= 11−11 ,P−1=21 1−111
4. 对角化结果：
A = P \[ 1 0 0 3 \] P − 1 A=P\\begin{bmatrix}1\&0\\\\\\\\0\&3\\end{bmatrix}P\^{-1} A=P 1003 P−1
### 5.3 特征值与特征向量的若干结论
1. **实方阵的特征值未必是实数**，特征向量也未必是实向量。
2. **三角矩阵的特征值** ：
上下三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素。
3. **特征向量的唯一性** ：
一个向量 **p** 不可能是同一个方阵 **A** 的不同特征值的特征向量。
4. **方阵与其转置的特征值关系** ：
n阶方阵和它的转置具有相同的特征值。
5. **特征值与矩阵的关系** ：
设 **r₁, r₂, ..., rₙ** 为方阵 **A** 的全体特征值，则必有：
* **特征值之和等于对角线元素之和（迹）**：
∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i = tr ( A ) \\sum_{i=1}\^{n} \\lambda_{i} = \\sum_{i=1}\^{n} a_{ii} = \\text{tr}(A) ∑i=1nλi=∑i=1naii=tr(A)
* **特征值之积等于行列式的值** ：
∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \\prod_{i=1}\^{n} \\lambda_{i} = \|A\| ∏i=1nλi=∣A∣
*** ** * ** ***
## 6、二次型
n n n元二次齐次函数：
f ( x 1 , . . . , x n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j ( a i j = a j i ) f(x_1,...,x_n)=\\sum_{i=1}\^n\\sum_{j=1}\^n a_{ij}x_ix_j \\quad (a_{ij}=a_{ji}) f(x1,...,xn)=i=1∑nj=1∑naijxixj(aij=aji)
矩阵形式： f ( x ) = x T A x f(\\mathbf{x})=\\mathbf{x}\^TA\\mathbf{x} f(x)=xTAx
* A(**对称矩阵**)称为二次型f的矩阵，对称阵A的秩为二次型f的秩
* 二次型与对称阵具有一一对应的关系，一个二次型 f 由其对应的实对称矩阵 A 唯一确定。当给定了二次型 f 后，便可以确定其对应的实对称矩阵 A
* A 的对角线元素为： a i i a_{ii} aii为 x i 2 x_{i} \^2 xi2项的**系数**
* A 的其他元素为： a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} aij=aji 为 x i j x_{ij} xij 项的**系数的 2 − 1 2\^{-1} 2−1**
例题3：化二次型为标准形
化二次型 f = 2 x 1 2 + 3 x 2 2 + 4 x 1 x 2 f=2x_1\^2+3x_2\^2+4x_1x_2 f=2x12+3x22+4x1x2为标准形。
**解法1（配方法）** ：
f = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 + 3 x 2 2 = 2 ( x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 ) + x 2 2 = 2 ( x 1 + x 2 ) 2 + x 2 2 \\begin{aligned} f \&= 2x_1\^2+4x_1x_2+3x_2\^2 \\\\\\\\ \&= 2(x_1\^2+2x_1x_2+x_2\^2)+x_2\^2 \\\\\\\\ \&= 2(x_1+x_2)\^2+x_2\^2 \\end{aligned} f=2x12+4x1x2+3x22=2(x12+2x1x2+x22)+x22=2(x1+x2)2+x22
令 y 1 = x 1 + x 2 y_1=x_1+x_2 y1=x1+x2， y 2 = x 2 y_2=x_2 y2=x2，则 f = 2 y 1 2 + y 2 2 f=2y_1\^2+y_2\^2 f=2y12+y22
**解法2（正交变换法）**：
1. 写出矩阵 A = \[ 2 2 2 3 \] A=\\begin{bmatrix}2\&2\\\\\\\\2\&3\\end{bmatrix} A= 2223
2. 求特征值： λ 1 = 1 \\lambda_1=1 λ1=1， λ 2 = 4 \\lambda_2=4 λ2=4
3. 标准形： f = y 1 2 + 4 y 2 2 f=y_1\^2+4y_2\^2 f=y12+4y22
### 6.1 标准型
**定义：只含平方项的 二次型称为二次型的标准型**
正交变换法化二次型为标准型的方法：
1. 写出二次型的矩阵A，求其特征值
2. 求出特征值对应的特征向量，并且将他们**正交单位化**
3. 将正交单位化后的特征向量依次作为列向量构成**正交矩阵 P**。
4. 做正交变换 x = P y x=Py x=Py，得二次型的标准型
> 正交单位化的时候：
>
> 1. 如果对应不同的特征值，所以他们正交，直接单位化即可
> 2. 如果对应**相同的特征值** ，所以要**首先正交化** ，然后**再单位化**
*** ** * ** ***
### 6.2 合同
对于两个矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得 C T A C = B C\^TAC=B CTAC=B，就称A**合同（或相合）** 于B，记作A≃B，也是一种等价关系。因此可以称A和B是合同矩阵。
解：
∥ b ∥ = 4 2 + ( − 5 ) 2 + 6 2 = 77 \|\mathbf{b}\| = \sqrt{4^2+(-5)^2+6^2} = \sqrt{77} ∥b∥=42+(−5)2+62 =77
3.6 正交向量组
3.6.1 基本概念
3.6.2 重要定理
计算各对内积：
使用Gram-Schmidt正交化：
4、线性方程组
4.1 非齐次
4.2 齐次线性方程组解的判定
4.3齐次线性方程组的解的结构
4.4非齐次线性方程组的解的结构
非齐次线性方程组：5. 特征值和特征向量
5.1 基本概念与定理
求矩阵 A = [ 3 1 1 3 ] A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix} A=[3113]的特征值和特征向量。