树的重心与直径 性质

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树的重心

三种定义:

1,以某个节点为根时,最大子树的节点数最少,那么这个节点是重心

2,以某个节点为根时,每颗子树的节点数不超过总节点数的一半,那么这个节点是重心

3,以某个节点为根时,所有节点都走向该节点的总边数最少,那么这个节点是重心

性质:

4,一棵树最多有两个重心,如果有两个重心,那么两个重心一定相邻

5,如果树上增加或者删除一个叶节点,转移后的重心最多移动一条边

6,如果把两棵树连起来,那么新树的重心一定在原来两棵树重心的路径上

7,树上的边权如果都为正数,不管边权怎么分布,所有节点都走向重心的总距离和最小

树的直径

求法:

1.两次dfs 找两个距离最远的点 不适用于有负边的树

2.树形dp 对于每个点找子树中的最长的两条链 适用于所有树

如果树上的边权都为正,则有如下直径相关的结论:

1,如果有多条直径,那么这些直径一定拥有共同的中间部分,可能是一个公共点或一段公共路径

2,树上任意一点,相隔最远的点的集合,直径的两端点至少有一个在其中

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