在考研数学中，求解一元高次不等式（形如 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) > 0 或 f ( x ) < 0 f(x)>0 或 f(x)<0 </math>f(x)>0或f(x)<0）是一个基础且高频的考点。这类问题若采用代数讨论法，往往过程繁琐，极易出错。而数轴根法 （又称穿根法 或穿针引线法 ）提供了一种将代数问题几何化、可视化的解决方案，能帮助考生快速、准确地写出解集，是考场上的"秒杀"技巧。
一、什么是数轴根法？
数轴根法是一种用于求解一元高次不等式的图解方法。其核心思想是：
- 将不等式转化为一端为0的形式： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) > 0 或 f ( x ) < 0 。 f(x)>0 或 f(x)<0。 </math>f(x)>0或f(x)<0。
- 求出方程 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) = 0 f(x)=0 </math>f(x)=0 的所有实数根，并在数轴上标出。
- 根据最高次项系数的正负和根的重数 ，从数轴右上方开始，用一条连续曲线"穿"过这些根。
- 根据曲线在数轴上方或下方的部分，直接读出不等式的解集。
二、操作步骤详解（"三步走"策略）
第一步：化零与因式分解
- 化零 ：将不等式所有项移到一侧，使另一端为0。例如： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x 2 ( x − 1 ) ( x − 2 ) ≤ 0 x^2(x-1)(x-2) \leq 0 </math>x2(x−1)(x−2)≤0已经是标准形式 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) ≤ 0 。 f(x)≤0。 </math>f(x)≤0。
- 分解因式 ：将多项式 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) f(x) </math>f(x) 分解为若干个一次因式或不可约二次因式的乘积。这是最关键的一步，分解得越彻底，后续越简单。 示例 ： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) = x 2 ( x − 1 ) 3 ( x − 2 ) ( x + 3 ) f(x) = x^2(x-1)^3(x-2)(x+3) </math>f(x)=x2(x−1)3(x−2)(x+3)
第二步：标根与定轴
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求根标根 ：令每个一次因式为0，求出所有实数根（即零点），并按照从小到大的顺序 标在数轴上。 接上例 ：根为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = − 3 x=−3 </math>x=−3（单根）, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 0 x=0 </math>x=0（二重根）, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 1 x=1 </math>x=1（三重根）, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 2 x=2 </math>x=2（单根）。
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确定起点 ：观察最高次项系数的正负。这决定了曲线从数轴的哪个区域开始。
- "右上方"起点原则 ：若最高次项系数为正 ，则曲线从数轴右上方开始。
- "右下方"起点原则 ：若最高次项系数为负 ，则曲线从数轴右下方开始。通常先提取负号，使其变为正，更方便操作。
第三步：穿根与定解
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"奇穿偶不穿"法则：这是穿根法的灵魂。从数轴最右侧开始，向左画一条连续的曲线，依次穿过各个根。
- "奇穿" ：若根的重数为奇数 （1, 3, 5...），则曲线穿过数轴。
- "偶不穿" ：若根的重数为偶数 （2, 4, 6...），则曲线反弹回来，不穿过 数轴（即在该点与数轴相切）。 接上例：从右上方开始画线。
- 遇到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 2 x=2 </math>x=2（单根，奇数次），穿过数轴到下方。
- 遇到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 1 x=1 </math>x=1（三重根，奇数次），再次穿过数轴到上方。
- 遇到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 0 x=0 </math>x=0（二重根，偶数次），不穿过，从上方反弹回上方。
- 遇到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = − 3 x=−3 </math>x=−3（单根，奇数次），穿过数轴到下方。
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读图定解：根据不等式符号和曲线位置确定解集。
- 求 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) > 0 f(x)>0 </math>f(x)>0 的解集：即找曲线在数轴上方的区间。
- 求 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) < 0 f(x)<0 </math>f(x)<0的解集：即找曲线在数轴下方的区间。
- 求 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) ≥ 0 或 f ( x ) ≤ 0 f f(x)≥0 或 f(x)≤0f </math>f(x)≥0或f(x)≤0f的解集：在以上基础上，加上使 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) = 0 f(x)=0 </math>f(x)=0 的根（注意：这些根是否包含需根据原不等式是否包含等号决定）。
接上例 ：求 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 </math>f(x)≥0的解集。
- 数轴上方的区间有： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( − 3 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 2 , + ∞ ) 。 (−3,0), (0,1), (2,+∞)。 </math>(−3,0),(0,1),(2,+∞)。
- 再加上所有的根： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = − 3 , 0 , 1 , 2 。 x=−3,0,1,2。 </math>x=−3,0,1,2。
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∴ 解集为： [ − 3 , 0 ] ∪ [ 0 , 1 ] ∪ [ 2 , + ∞ ) = [ − 3 , 1 ] ∪ [ 2 , + ∞ ) 。（注意： ∴ 解集为：[−3,0]∪[0,1]∪[2,+∞)=[−3,1]∪[2,+∞)。 （注意： </math>∴解集为：[−3,0]∪[0,1]∪[2,+∞)=[−3,1]∪[2,+∞)。（注意：x=0 和 x=1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 虽然是重根，但只要不等式包含等号，就要包含进去。） 虽然是重根，但只要不等式包含等号，就要包含进去。） </math>虽然是重根，但只要不等式包含等号，就要包含进去。）
三、考研实战技巧与注意事项
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分解彻底是关键 ：必须将多项式分解为一次因式的乘积。不可约的二次因式如 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x 2 + 1 ) (x^2+1) </math>(x2+1)恒正或恒负，不影响不等号方向，可忽略或单独讨论。
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处理分式不等式 ：穿根法同样适用于分式不等式 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P ( x ) Q ( x ) > 0 。 \frac{P(x)}{Q(x)} > 0。 </math>Q(x)P(x)>0。步骤完全一样，只需注意：
- 分母的根会使函数无定义，这些点用空心圈 标出，且绝不能包含在解集中。
- 解 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P ( x ) Q ( x ) ≥ 0 \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0 </math>Q(x)P(x)≥0时，只能取分子的根，不能取分母的根。
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巧记口诀："化成标准式，根在轴上标。奇穿偶不穿，就看次数项。从上右开始穿，解集看图便知道。"
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验证端点：对于包含等号的不等式，代入根验证总是个好习惯，可以防止因"奇穿偶不穿"规则应用错误而导致的多取或漏取端点。
四、真题演练示例
例题 ：求解不等式 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x + 1 ) 2 ( x − 2 ) ( x − 3 ) 3 ≤ 0. (x+1)^2(x-2)(x-3)^3 \leq 0. </math>(x+1)2(x−2)(x−3)3≤0.
解：
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化零因式分解：已是标准形式。
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标根 ：根为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = − 1 x=−1 </math>x=−1（偶次重根，2次）， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 2 x=2 </math>x=2（奇次重根，1次）， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 3 x=3 </math>x=3（奇次重根，3次）。最高次项系数为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 × 1 × 1 = 1 > 0 。 1×1×1=1>0。 </math>1×1×1=1>0。
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穿根：从数轴右上方开始画线。
- 经过 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 3 x=3 </math>x=3（奇数次）→ 穿过数轴到下方。
- 经过 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 2 x=2 </math>x=2（奇数次）→ 穿过数轴到上方。
- 经过 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = − 1 x=−1 </math>x=−1（偶数次）→ 不穿过，反弹回上方。
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定解 ：求 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) ≤ 0 f(x)≤0 </math>f(x)≤0，即找出曲线在数轴下方及根上的点。
- 下方区间： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ 2 , 3 ] [2,3] </math>[2,3]
- 根上的点： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = − 1 , 2 , 3 。 x=−1,2,3。 </math>x=−1,2,3。但注意 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = − 1 x=−1 </math>x=−1 处曲线在上方，且是偶次重根，函数值为0，需要包含。
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∴ 解集为： { − 1 } ∪ [ 2 , 3 ] 。 ∴ 解集为：\{-1\} \cup [2, 3]。 </math>∴解集为：{−1}∪[2,3]。
即： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = − 1 或 2 ≤ x ≤ 3 . \boxed{x = -1 \quad \text{或} \quad 2 \leq x \leq 3}. </math>x=−1或2≤x≤3.
五、总结
数轴根法（穿根法）将抽象的代数推理转化为直观的图形判断，极大地提高了解题效率和准确性。熟练运用"奇穿偶不穿"法则，并能正确处理分式、端点等问题，足以让你在考研数学中轻松应对所有高次不等式题型。多加练习，形成肌肉记忆，必能在考场上为你节省宝贵时间。