【数据结构】二叉搜索树 C++ 简单实现：增删查改全攻略

拾光Ծ2025-10-07 9:00

目录

前言：

1、什么是二叉搜索树？

2、二叉搜索树性能分析

3、key类型二叉搜索树的实现

节点结构

类结构

3.1、插入

3.2、中序遍历

3.3、查找

3.4、删除

4、key_value类型二叉搜索树的实现

节点结构

类结构

4.1、构造函数

[4.1.1 默认构造](#4.1.1 默认构造)

[4.1.2 拷贝构造](#4.1.2 拷贝构造)

4.2、赋值重载

4.3、析构

4.4、插入

总结

前言：

今天这篇，我们就从'0'开始搭一棵 C++ 二叉搜索树：先定义节点结构，再实现最核心的'插入'和'查找'，最后攻克最难的'删除'（包括叶子节点、单孩子节点、双孩子节点三种情况）。全程不跳步、不埋坑，写完后你不仅能运行代码，更能说清'每一步为什么这么做'。"

1、什么是二叉搜索树？

二叉搜索树又称二叉排序树，如图，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 左子树上所有节点的值都小于等于根结点的值；

•右子树上所有节点的值都大于等于根结点的值；

•它的左右子树也分别为二叉搜索树

***注意：***二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我 们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值

2、二叉搜索树性能分析

在最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： log2 N

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： N

所以平均时间的时间复杂度为 O(log n)，最差情况为 O(n)。

说明： 虽然二分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

  1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。

  2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数 据。

3、key类型二叉搜索树的实现

为什么是key类型二叉搜索树呢？因为我们后面要讲的set/multiset/map/multimap容器的底层数据结构就红黑树（Red-Black Tree） ------ 一种 "近似平衡" 的二叉搜索树（BST）。但不同的是，对于set/multiset容器，如下图，集合（Sets）是一种容器，它按照特定顺序存储唯一的元素。

节点结构

cpp 复制代码 
template<class K>
struct BSTNode
{
	K _key;            // 存储数据
	BSTNode<K>* _left; // 指向左节点的指针
	BSTNode<K>* _right;// 指向右节点的指针

	BSTNode(const K& key = 0) //默认构造
		:_key(key)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
	{ }
};

类结构

cpp 复制代码 
template<class K>
class BSTree
{
	//typedef BSTNode<K> Node; // typedef对节点对象重命名
	using Node = BSTNode<K>; // 使用using重命名
public:
    // ...
private:
    Node* _root = nullptr; // 成员变量
};

***说明：***下面我们实现过程中默认为值不重复的情形

3.1、插入

思路：

（1）树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

（2）树不空，按二叉搜索树性质，用cur指针遍历二叉搜索树，用一个parent指针记下父亲节点，要插入值key比当前节点大往右走，插入值比当前结点小往左走，直到找到空位置，插入新结点。

（4）确定要插入的节点在父亲节点的左边还是右边，即当_key < parent->_key则将新节点插入到parent的左边，反之则插入到右边。

（5）如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。但是，要确定相同的值要么都往左边走或者都往右边走。

cpp 复制代码 
//-------------------------------代码实现-------------------------------------------------
bool Insert(const K& key)
{
	Node* node = new Node(key);

    // 处理空树
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = node;
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr; // 记下父亲节点的指针，方便最后连接新节点
	Node* cur = _root;

    // 遍历二叉搜索树
	while (cur)
	{
		if (key < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (key > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

    // 确定新节点最后的插入位置
	if (key < parent->_key)
	{
		parent->_left = node;
	}
	else
	{
		parent->_right = node;
	}
}

3.2、中序遍历

根据二叉搜索树的特性，其中序遍历的结果恰好为一个有序序列（升序）。

为了解决函数调用传参的问题，因为中序遍历的参数_root是成员变量，在类外面调用无法访问成员变量而无法传参，所以，用子函数方式来实现。

cpp 复制代码 
// 中序遍历
void MidOrder()
{
	_MidOrder(_root);
}
// 子函数
void _MidOrder(Node* _root)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_MidOrder(_root->_left);
	cout << _root->_key << " ";
	_MidOrder(_root->_right);
}

3.3、查找

思路：

（1）从根开始比较，查找val，val比根的值大则往右边走查找，val比根值小则往左边走查找。

（2）最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在，返回false。

（3）如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。

cpp 复制代码 
bool Find(const K& val)
{
	Node* cur = _root;
    // 遍历查找
	while (cur)
	{
		if (val < cur->_key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else if (val > cur->_key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (val == cur->_key)
		{
			return true;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
}

3.4、删除

思路：

（1）要删除节点N的位置有四种情况：

a. 结点N左右孩子均为空 ；b. 结点N左孩子为空，右孩子结点不为空 ；c. 结点N右孩子位空，左孩子结点不为空 ；d. 结点N左右孩子结点均不为空。

（2）对于左右孩子都为空的情况，我们可以将其放在左孩子为空和右孩子为空的情况中处理。即将上面四种情况重新分为：左为空；右为空；左右都不为空三种。

（3）对于左为空，要删除节点N可能为根结点，则让该节点的右节点作为新的根结点；或者是父节点的左节点，则让父节点的_left指针指向节点N的右边；或者父节点的右节点，则让父节点的_right指针指向节点N的左边，右为空类似。

（4）对于左右都不为空，无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除，找N左子树的值最大结点 R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

cpp 复制代码 
bool Earse(const K& val)
{
	Node* cur = _root;
	Node* parent = cur;

    // 遍历先找到N节点
	while (cur)
	{
		if (val < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (val > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
        // 找到N节点
		else
		{
			// 左为空
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				// 根结点
				if (_root->_key == val)
				{
					_root = _root->_right;
				}
				else if (cur == parent->_left)
					parent->_left = cur->_right;
				else
					parent->_right = cur->_right;

				delete cur;
			}

			// 右为空
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				// 根结点
				if (_root->_key == val)
				{
					_root = _root->_left;
				}
				else if (cur == parent->_right)
					parent->_right = cur->_left;
				else
					parent->_left = cur->_left;

				delete cur;
			}

			// 左右孩子均不为空
			else
			{
				Node* replaceparent = cur;
				Node* replace = cur->_right;

                // 找左子树中最小值的节点R
				while (replace->_left)
				{
					replaceparent = replace;
					replace = replace->_left;
				}

                // 替换节点N与节点R的值
				cur->_key = replace->_key;
				if (replace == replaceparent->_left)
				{
					replaceparent->_left = replace->_right;
				}
				else
				{
					cur->_right = replace->_right;
				}

				delete replace;
			}
			return true;
		}
	}
	return false;
}

4、key_value类型二叉搜索树的实现

为什么还有key_value类型二叉搜索树呢？对于map/multimap容器，如下图，映射（Maps）是一种关联容器，它按照特定顺序存储由 "键值（key value）" 和 "映射值（mapped value）" 组合而成的元素。

节点结构

与key类型相比，只是多了个_value。

cpp 复制代码 
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
	K _key;
	V _value;
	BSTNode<K, V>* _left;
	BSTNode<K, V>* _right;

	BSTNode(const K& key = 0, const V& value = 0)
		:_key(key)
		, _value(value)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{}
};

类结构

cpp 复制代码 
template<class K, class V>
class BSTree
{
	using Node = BSTNode<K, V>;
public:
    // ...
private:
    Node* _root = nullptr;
};

***说明：***对于key_value类型我们实现一下其构造，析构等，除了插入操作与key类型有一点不同外，其他操作基本相同，所以我们不再重复解释。

4.1、构造函数

4.1.1 默认构造
cpp 复制代码 
// C++11强制生成默认构造
BSTree() = default;
4.1.2 拷贝构造
cpp 复制代码 
// 拷贝构造（深拷贝）
BSTree(const BSTree& tree)
{
	_root = copy(tree._root);
}

Node* copy(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return nullptr;
	}
	// 前序遍历（递归）
	Node* newroot = new Node(root->_key, root->_value);
	newroot->_left = copy(root->_left);
	newroot->_right = copy(root->_right);

	return newroot;
}

4.2、赋值重载

cpp 复制代码 
// 赋值重载(现代写法)
BSTree& operator=(BSTree tree)
{
	swap(_root, tree._root);
	return *this;
}

4.3、析构

cpp 复制代码 
// 析构函数
~BSTree()
{
	Destry(_root);
	_root = nullptr;
}

void Destry(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	// 后序遍历：防止根结点被释放而找不到左右孩子节点
	Destry(root->_left);
	Destry(root->_right);
	delete root;
}

4.4、插入

cpp 复制代码 
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
	Node* node = new Node(key, value);

	if (_root == nullptr)
	{
		_root = node;
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (key < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (key > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	if (key < parent->_key)
	{
		parent->_left = node;
	}
	else
	{
		parent->_right = node;
	}
    return true;
}

总结

本文主要是简单实现了一下二叉搜索树的最基础的版本，与set/multiset/map/multimap底层的数据结构------平衡二叉搜索树有所不同，并没有过多关注底层实现细节，比如insert，Find返回值等。只是为了能够加深大家对二叉搜索树的理解，方便后面对平衡二叉树的理解。

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