蓝桥杯 取球博弈

取球博弈

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题目描述

两个人玩取球的游戏。

一共有 N 个球，每人轮流取球，每次可取集合 n₁, n₂, n₃ 中的任何一个数目。

如果无法继续取球，则游戏结束。

此时，持有奇数个球的一方获胜。

如果两人都是奇数，则为平局。

假设双方都采用最聪明的取法，第一个取球的人一定能赢吗？

试编程解决这个问题。

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输入描述

输入格式：

第一行 3 个正整数 n₁, n₂, n₃

(0 < n₁, n₂, n₃ < 100)，空格分开，表示每次可取的数目。

第二行 5 个正整数 x₁, x₂, ⋯, x₅

(0 < xᵢ < 1000)，空格分开，表示 5 局的初始球数。

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输出描述

输出一行 5 个字符，空格分开。

分别表示每局先取球的人能否获胜。

• 能获胜则输出 +
• 如有办法逼平对手，输出 0
• 无论如何都会输，则输出 -

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输入输出样例

输入

1 2 3
1 2 3 4 5

输出

+ 0 + 0 -

c++代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

unordered_map<string, string> mp;
vector<int> arr(3);

int x, n1, n2, n3;

string dfs(int a, int b) {
    string str = to_string(x) + " " + to_string(a % 2) + " " + to_string(b % 2);
    if (mp.find(str) != mp.end()) return mp[str];
    if (x < arr[0]) {
        if (a % 2 != 0 && b % 2 == 0) {mp[str] = "+"; return "+";}
        else if (a % 2 == 0 && b % 2 != 0) {mp[str] = "-"; return "-";}
        else return "0";
    }
    string sym = "-";
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        if (x < arr[i]) break;
        x -= arr[i];
        a += arr[i];
        string op = dfs(b, a);
        x += arr[i];
        a -= arr[i];
        if (op == "-") {mp[str] = "+"; return "+";}
        else if (op == "0") sym = "0";
    }
    mp[str] = sym;
    return sym;
}

int main() {
    for (int i = 0; i < 3; i++) cin >> arr[i];
    sort(arr.begin(), arr.end());
    for (int i = 0; i < 5; i++) {
        cin >> x;
        if (i != 4) cout << dfs(0, 0) << " ";
        else cout << dfs(0, 0) << endl;
    }
    return 0;
}

题解

博弈论(递归+回溯)

定义string dfs(int a, int b)的返回值为剩余球数n，先取秋的人的当前球数a，后取球的人的当前球数b的局面情况。

如果当前剩余球数x小于n1,n2,n3的最小值，则无法继续取球，游戏结束。结算胜负。

if (x < arr[0]) {
    //我对arr排序了，所以第一个就是最小的。
    if (a % 2 != 0 && b % 2 == 0) return "+";
    else if (a % 2 == 0 && b % 2 != 0) return "-";
    else return "0";
}

我们枚举先取球的人可以取出的球数

x -= arr[i];
a += arr[i];

然后我们调用dfs(b, a)得出敌方的局面。

如果敌方必输，那么我们必赢。

如果敌方必赢，也不能说我们必输，因为我们可以不取这个数量的球，可以换个数量试试。

但是如果不管我们取什么数量的球，敌方的局面都是必赢，那么我们才是必输。

如果敌方平局，且敌方没有必输的情况，那么我们最好的局面也是平局。

string sym = "-";
for (int i = 0; i < 3; i++) {
    if (x < arr[i]) break;
    x -= arr[i];
    a += arr[i];
    string op = dfs(b, a);
    x += arr[i];
    a -= arr[i];
    if (op == "-") return "+"; //如果敌方必输，那么我们必赢。
    else if (op == "0") sym = "0";//如果敌方平局，且敌方没有必输的情况，那么我们最好的局面也是平局。
}
return sym;//不管我们取什么数量的球，敌方的局面都是必赢，那么我们才是必输。

记忆化搜索

一局的胜负由，剩余球数n，先取秋的人的当前球数a的奇偶性，后取球的人的当前球数b的奇偶性共同决定。

我们用字符串str存储这种情况，用mp存储这种情况的局面。

string str = to_string(x) + " " + to_string(a % 2) + " " + to_string(b % 2);
unordered_map<string, string> mp;

当我们再次碰到相同的局面我们直接返回存储好的值，而不是重复同样的dfs(a, b)，省下很多时间。

if (mp.find(str) != mp.end()) return mp[str];