多视图几何--密集匹配--视差平面推导

xinxiangwangzhi_2025-10-14 10:54

文章目录

  • 方法1
  • 方法2
    • [1. 问题设定](#1. 问题设定)
    • [2. 左相机投影](#2. 左相机投影)
    • [3. 右相机投影](#3. 右相机投影)
    • [4. 视差定义](#4. 视差定义)
    • [5. 将平面方程用图像坐标表示](#5. 将平面方程用图像坐标表示)
    • [6. 用视差 d d d 替换 Z Z Z](#6. 用视差 d d d 替换 Z Z Z)
    • [7. 整理成 d = a u l + b v l + c d = a u_l + b v_l + c d=aul+bvl+c 的形式](#7. 整理成 d = a u l + b v l + c d = a u_l + b v_l + c d=aul+bvl+c 的形式)
    • [8. 最终视差平面公式](#8. 最终视差平面公式)
    • [9. 说明](#9. 说明)
  • 参数的几何意义
  • 视差平面点法式与一般方程的转换
  • 左右视差平面转换

方法1

视差平面推导

首先，切平面的数学表达式为： n T X + d = 0 n^T X+d=0 nTX+d=0

推理过程如下：
n T ( X − X 0 ) = 0 , X 0 = − d ⋅ n ⇓ n T X − n T X 0 = 0 ⇓ n T X + n T n ⋅ d = 0 ⇓ n T X + d = 0 \begin{aligned} & n^T\left(X-X_0\right)=0, X_0=-d \cdot n \\ & \Downarrow \\ & n^T X-n^T X_0=0 \\ & \Downarrow \\ & n^T X+n^T n \cdot d=0 \\ & \Downarrow \\ & n^T X+d=0 \end{aligned} nT(X−X0)=0,X0=−d⋅n⇓nTX−nTX0=0⇓nTX+nTn⋅d=0⇓nTX+d=0

  • X X X 是位于真实物体表面上的空间点（相机坐标系下）
  • n n n 是切平面的法向量
  • X 0 X_0 X0 是位于切平面上的空间点（相机坐标系下）
  • p p p 是 X X X 在成像平面的投影点（图像像素坐标系下）
  • d d d 表示相机原点到切平面的法线距离

其次，空间点 X X X 和成像平面投影点 p p p 之间存在如下关系：

p = ( 1 / z ) ⋅ K ⋅ X X = z ⋅ K − 1 ⋅ p \begin{gathered} p=(1 / z) \cdot K \cdot X \\ X=z \cdot K^{-1} \cdot p \end{gathered} p=(1/z)⋅K⋅XX=z⋅K−1⋅p

其中， z z z 是空间点 X X X 的 z z z 轴坐标，即投影点 p p p 的深度

因此，我们可以推导出，由切平面和投影点 p p p 表示的深度 z z z ：

{ X = z ⋅ K − 1 ⋅ p n T X + d = 0 ⇒ z = − d n T K − 1 p \left\{\begin{array}{l} X=z \cdot K^{-1} \cdot p \\ n^T X+d=0 \end{array} \Rightarrow z=-\frac{d}{n^T K^{-1} p}\right. {X=z⋅K−1⋅pnTX+d=0⇒z=−nTK−1pd

由根据，双目几何结构中，视差和深度的对应关系：

z = B ⋅ f x d p z=\frac{B \cdot f_x}{d_p} z=dpB⋅fx

这里， B B B 表示双目基线长度， f x f_x fx 表示内参中的焦距， d p d_p dp 表示视差。

因此，我们可以得到，由投影点 p p p 表示的视差 d p d_p dp ：

d p = − B f x d n T K − 1 p = a f p p x + b f p p y + c f p , p = [ p x , p y , 1 ] T d_p=-\frac{B f_x}{d} n^T K^{-1} p=a_{f_p} p_x+b_{f_p} p_y+c_{f_p}, p=\left[p_x, p_y, 1\right]^T dp=−dBfxnTK−1p=afppx+bfppy+cfp,p=[px,py,1]T

其中， − B f x d n T K − 1 -\frac{B f_x}{d} n^T K^{-1} −dBfxnTK−1 可以由 a f y , b f p , c f p a_{f_y}, b_{f_p}, c_{f_p} afy,bfp,cfp 这三个参数表示。

进一步展开 − B f x d n T K − 1 -\frac{B f_x}{d} n^T K^{-1} −dBfxnTK−1 ：

步骤1: 计算内参矩阵的逆 K − 1 K^{-1} K−1

假设内参矩阵 K K K为：

K = [ f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ] K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} K= fx000fy0cxcy1

则其逆矩阵 K − 1 K^{-1} K−1为：

K − 1 = [ 1 f x 0 − c x f x 0 1 f y − c y f y 0 0 1 ] K^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{f_x} & 0 & -\frac{c_x}{f_x} \\ 0 & \frac{1}{f_y} & -\frac{c_y}{f_y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} K−1= fx1000fy10−fxcx−fycy1

步骤2: 计算 K − 1 p K^{-1} p K−1p

给定 p = [ p x , p y , 1 ] T p = [p_x, p_y, 1]^T p=[px,py,1]T，计算：

K − 1 p = [ 1 f x 0 − c x f x 0 1 f y − c y f y 0 0 1 ] [ p x p y 1 ] = [ p x − c x f x p y − c y f y 1 ] K^{-1} p = \begin{bmatrix} \frac{1}{f_x} & 0 & -\frac{c_x}{f_x} \\ 0 & \frac{1}{f_y} & -\frac{c_y}{f_y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{p_x - c_x}{f_x} \\ \frac{p_y - c_y}{f_y} \\ 1 \end{bmatrix} K−1p= fx1000fy10−fxcx−fycy1 pxpy1 = fxpx−cxfypy−cy1

步骤3: 计算 n T K − 1 p n^T K^{-1} p nTK−1p

给定 n = [ n x , n y , n z ] T n = [n_x, n_y, n_z]^T n=[nx,ny,nz]T，计算：

n T K − 1 p = [ n x , n y , n z ] [ p x − c x f x p y − c y f y 1 ] = n x p x − c x f x + n y p y − c y f y + n z n^T K^{-1} p = [n_x, n_y, n_z] \begin{bmatrix} \frac{p_x - c_x}{f_x} \\ \frac{p_y - c_y}{f_y} \\ 1 \end{bmatrix} = n_x \frac{p_x - c_x}{f_x} + n_y \frac{p_y - c_y}{f_y} + n_z nTK−1p=[nx,ny,nz] fxpx−cxfypy−cy1 =nxfxpx−cx+nyfypy−cy+nz

步骤4: 代入视差公式

将 n T K − 1 p n^T K^{-1} p nTK−1p代入视差公式：

d p = − B f x d ( n x p x − c x f x + n y p y − c y f y + n z ) d_p = -\frac{B f_x}{d} \left( n_x \frac{p_x - c_x}{f_x} + n_y \frac{p_y - c_y}{f_y} + n_z \right) dp=−dBfx(nxfxpx−cx+nyfypy−cy+nz)

步骤5: 展开并简化表达式

展开括号：

d p = − B f x d ⋅ n x p x − c x f x − B f x d ⋅ n y p y − c y f y − B f x d ⋅ n z d_p = -\frac{B f_x}{d} \cdot n_x \frac{p_x - c_x}{f_x} - \frac{B f_x}{d} \cdot n_y \frac{p_y - c_y}{f_y} - \frac{B f_x}{d} \cdot n_z dp=−dBfx⋅nxfxpx−cx−dBfx⋅nyfypy−cy−dBfx⋅nz

简化每一项：

d p = − B n x d ( p x − c x ) − B f x n y d f y ( p y − c y ) − B f x n z d d_p = -\frac{B n_x}{d} (p_x - c_x) - \frac{B f_x n_y}{d f_y} (p_y - c_y) - \frac{B f_x n_z}{d} dp=−dBnx(px−cx)−dfyBfxny(py−cy)−dBfxnz

步骤6: 进一步展开为 p x p_x px和 p y p_y py的线性形式

展开括号中的项：

d p = − B n x d p x + B n x c x d − B f x n y d f y p y + B f x n y c y d f y − B f x n z d d_p = -\frac{B n_x}{d} p_x + \frac{B n_x c_x}{d} - \frac{B f_x n_y}{d f_y} p_y + \frac{B f_x n_y c_y}{d f_y} - \frac{B f_x n_z}{d} dp=−dBnxpx+dBnxcx−dfyBfxnypy+dfyBfxnycy−dBfxnz

合并常数项：

d p = ( − B n x d ) p x + ( − B f x n y d f y ) p y + ( B n x c x d + B f x n y c y d f y − B f x n z d ) d_p = \left( -\frac{B n_x}{d} \right) p_x + \left( -\frac{B f_x n_y}{d f_y} \right) p_y + \left( \frac{B n_x c_x}{d} + \frac{B f_x n_y c_y}{d f_y} - \frac{B f_x n_z}{d} \right) dp=(−dBnx)px+(−dfyBfxny)py+(dBnxcx+dfyBfxnycy−dBfxnz)

步骤7: 定义系数 a f p , b f p , c f p a_{f_p}, b_{f_p}, c_{f_p} afp,bfp,cfp

根据上式，令：

a f p = − B n x d a_{f_p} = -\frac{B n_x}{d} afp=−dBnx

b f p = − B f x n y d f y b_{f_p} = -\frac{B f_x n_y}{d f_y} bfp=−dfyBfxny

c f p = B n x c x d + B f x n y c y d f y − B f x n z d c_{f_p} = \frac{B n_x c_x}{d} + \frac{B f_x n_y c_y}{d f_y} - \frac{B f_x n_z}{d} cfp=dBnxcx+dfyBfxnycy−dBfxnz

最终视差平面公式

因此，视差平面公式可写为：

d p = a f p p x + b f p p y + c f p d_p = a_{f_p} p_x + b_{f_p} p_y + c_{f_p} dp=afppx+bfppy+cfp

其中系数 a f p , b f p , c f p a_{f_p}, b_{f_p}, c_{f_p} afp,bfp,cfp由上述表达式定义。

方法2

1. 问题设定

投影模型 ：使用针孔相机模型，内参矩阵 K K K 为：
K = [ f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ] K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} K= fx000fy0cxcy1

其中 f x , f y f_x, f_y fx,fy 是焦距（像素单位）， ( c x , c y ) (c_x, c_y) (cx,cy)$是主点。

左右相机 ：假设已进行立体校正，两相机光轴平行、x 轴对齐，只在 x 方向有平移 b b b（基线长度，单位为米）。

左相机坐标系 = 世界坐标系（方便起见）。

右相机相对于左相机位姿为： ( R = I , T = [ − b , 0 , 0 ] T ) (R = I, T = [-b, 0, 0]^T) (R=I,T=[−b,0,0]T)。

三维空间平面 （在左相机坐标系下）：

点法式表示：

n ⋅ P = d 0 \mathbf{n} \cdot \mathbf{P} = d_0 n⋅P=d0

其中 n = [ n x , n y , n z ] T \mathbf{n} = [n_x, n_y, n_z]^T n=[nx,ny,nz]T 是平面法向量（单位向量）， P = [ X , Y , Z ] T \mathbf{P} = [X, Y, Z]^T P=[X,Y,Z]T 是三维点， d 0 d_0 d0 是原点到平面的有符号距离（米）。

2. 左相机投影

左相机内参矩阵 K K K，投影方程（齐次坐标）：

p l = K P \mathbf{p}_l = K \mathbf{P} pl=KP

即：

u l v l 1 \] ≡ \[ f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 \] \[ X Y Z \] \\begin{bmatrix} u_l \\\\ v_l \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\equiv \\begin{bmatrix} f_x \& 0 \& c_x \\\\ 0 \& f_y \& c_y \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} X \\\\ Y \\\\ Z \\end{bmatrix} ulvl1 ≡ fx000fy0cxcy1 XYZ 所以： u l = f x X Z + c x , v l = f y Y Z + c y u_l = f_x \\frac{X}{Z} + c_x, \\quad v_l = f_y \\frac{Y}{Z} + c_y ul=fxZX+cx,vl=fyZY+cy 或者反解： X = Z u l − c x f x , Y = Z v l − c y f y X = Z \\frac{u_l - c_x}{f_x}, \\quad Y = Z \\frac{v_l - c_y}{f_y} X=Zfxul−cx,Y=Zfyvl−cy *** ** * ** *** ### 3. 右相机投影 右相机坐标系中，同一个三维点 P = \[ X , Y , Z \] T \\mathbf{P} = \[X, Y, Z\]\^T P=\[X,Y,Z\]T 的坐标为： P r = R P + T = P + \[ − b , 0 , 0 \] T = \[ X − b , Y , Z \] T \\mathbf{P}_r = R \\mathbf{P} + T = \\mathbf{P} + \[-b, 0, 0\]\^T = \[X - b, Y, Z\]\^T Pr=RP+T=P+\[−b,0,0\]T=\[X−b,Y,Z\]T 右相机内参矩阵与左相机相同（已校正），所以： u r = f x X − b Z + c x , v r = f y Y Z + c y u_r = f_x \\frac{X - b}{Z} + c_x, \\quad v_r = f_y \\frac{Y}{Z} + c_y ur=fxZX−b+cx,vr=fyZY+cy 注意 v r = v l v_r = v_l vr=vl（已校正条件下）。 *** ** * ** *** ### 4. 视差定义 视差： d = u l − u r d = u_l - u_r d=ul−ur 代入： d = \[ f x X Z + c x \] − \[ f x X − b Z + c x \] = f x b Z d = \\left\[ f_x \\frac{X}{Z} + c_x \\right\] - \\left\[ f_x \\frac{X - b}{Z} + c_x \\right\] = \\frac{f_x b}{Z} d=\[fxZX+cx\]−\[fxZX−b+cx\]=Zfxb 这是已知的视差-深度关系。 *** ** * ** *** ### 5. 将平面方程用图像坐标表示 平面方程： n x X + n y Y + n z Z = d 0 n_x X + n_y Y + n_z Z = d_0 nxX+nyY+nzZ=d0 代入 X = Z u l − c x f x X = Z \\frac{u_l - c_x}{f_x} X=Zfxul−cx， Y = Z v l − c y f y Y = Z \\frac{v_l - c_y}{f_y} Y=Zfyvl−cy： n x Z u l − c x f x + n y Z v l − c y f y + n z Z = d 0 n_x Z \\frac{u_l - c_x}{f_x} + n_y Z \\frac{v_l - c_y}{f_y} + n_z Z = d_0 nxZfxul−cx+nyZfyvl−cy+nzZ=d0 两边除以 Z Z Z： n x u l − c x f x + n y v l − c y f y + n z = d 0 Z n_x \\frac{u_l - c_x}{f_x} + n_y \\frac{v_l - c_y}{f_y} + n_z = \\frac{d_0}{Z} nxfxul−cx+nyfyvl−cy+nz=Zd0 *** ** * ** *** ### 6. 用视差 d d d 替换 Z Z Z 由 d = f x b Z d = \\frac{f_x b}{Z} d=Zfxb 得： 1 Z = d f x b \\frac{1}{Z} = \\frac{d}{f_x b} Z1=fxbd 代入平面方程： n x u l − c x f x + n y v l − c y f y + n z = d 0 f x b d n_x \\frac{u_l - c_x}{f_x} + n_y \\frac{v_l - c_y}{f_y} + n_z = \\frac{d_0}{f_x b} d nxfxul−cx+nyfyvl−cy+nz=fxbd0d *** ** * ** *** ### 7. 整理成 d = a u l + b v l + c d = a u_l + b v_l + c d=aul+bvl+c 的形式 记 u = u l u = u_l u=ul， v = v l v = v_l v=vl。 上式乘以 f x f_x fx： n x ( u − c x ) + n y f x f y ( v − c y ) + n z f x = d 0 b d n_x (u - c_x) + n_y \\frac{f_x}{f_y} (v - c_y) + n_z f_x = \\frac{d_0}{b} d nx(u−cx)+nyfyfx(v−cy)+nzfx=bd0d 设 α = f x f y \\alpha = \\frac{f_x}{f_y} α=fyfx（像素纵横比倒数，如果 f x = f y f_x = f_y fx=fy 则 α = 1 \\alpha=1 α=1）。 于是： n x u + n y α ( v − c y ) + n x ( − c x ) + n z f x = d 0 b d n_x u + n_y \\alpha (v - c_y) + n_x (-c_x) + n_z f_x = \\frac{d_0}{b} d nxu+nyα(v−cy)+nx(−cx)+nzfx=bd0d 即： d 0 b d = n x u + α n y v + \[ − n x c x − α n y c y + n z f x \] \\frac{d_0}{b} d = n_x u + \\alpha n_y v + \\big\[ -n_x c_x - \\alpha n_y c_y + n_z f_x \\big\] bd0d=nxu+αnyv+\[−nxcx−αnycy+nzfx

因此：

d = b d 0 n x u + b d 0 α n y v + b d 0 [ − n x c x − α n y c y + n z f x ] d = \frac{b}{d_0} n_x u + \frac{b}{d_0} \alpha n_y v + \frac{b}{d_0} \big[ -n_x c_x - \alpha n_y c_y + n_z f_x \big] d=d0bnxu+d0bαnyv+d0b[−nxcx−αnycy+nzfx]

8. 最终视差平面公式

令：

a p = b d 0 n x a_p = \frac{b}{d_0} n_x ap=d0bnx

b p = b d 0 α n y b_p = \frac{b}{d_0} \alpha n_y bp=d0bαny

c p = b d 0 [ − n x c x − α n y c y + n z f x ] c_p = \frac{b}{d_0} \big[ -n_x c_x - \alpha n_y c_y + n_z f_x \big] cp=d0b[−nxcx−αnycy+nzfx]

则： d ( u , v ) = a p u + b p v + c p d(u, v) = a_p u + b_p v + c_p d(u,v)=apu+bpv+cp

其中 d ( u , v ) d(u, v) d(u,v) 是像素坐标 ( u , v ) (u, v) (u,v) 处的视差。

9. 说明

  • 在立体匹配中，每个分割的超像素或窗口可以拟合一个视差平面 d = a p u + b p v + c p d = a_p u + b_p v + c_p d=apu+bpv+cp。
  • 这里的 a p , b p , c p a_p, b_p, c_p ap,bp,cp 与三维空间平面参数 ( n x , n y , n z , d 0 ) (n_x, n_y, n_z, d_0) (nx,ny,nz,d0) 及相机内参、基线有关。
  • 如果平面是 fronto-parallel（ n x = 0 , n y = 0 , n z = 1 n_x=0, n_y=0, n_z=1 nx=0,ny=0,nz=1），则 a p = 0 , b p = 0 a_p=0, b_p=0 ap=0,bp=0， d ( u , v ) = b f x d 0 d(u,v) = \frac{b f_x}{d_0} d(u,v)=d0bfx 常数，即视差图是平的。

最终公式：

d ( u , v ) = a p u + b p v + c p \boxed{d(u,v) = a_p u + b_p v + c_p} d(u,v)=apu+bpv+cp

其中系数与平面法向量、内参、基线的关系如上所示。

参数的几何意义

  1. 参数 a和 b ：
    • a：表示视差沿图像水平方向的变化率
    • b：表示视差沿图像垂直方向的变化率
    • 这两个参数直接反映了3D平面的法向量在图像域的投影
  2. 参数 c ：
    • 表示当 (px,py)=(0,0)时的视差值（考虑主点偏移后的参考视差）
  3. 特殊情况 ：
    • 当 a=b=0a =b=0 时，视差平面退化为常数，对应于fronto-parallel平面（正对相机的平面）
    • 当 nx=ny=0 时，平面平行于图像平面，视差恒定

视差平面点法式与一般方程的转换

视差平面可以由法向量和平面上的某点表示：

n T ( X − X 0 ) = n T [ x − x 0 y − y 0 z − z 0 ] = 0 n^T\left(X-X_0\right)=n^T\left[\begin{array}{l} x-x_0 \\ y-y_0 \\ z-z_0 \end{array}\right]=0 nT(X−X0)=nT x−x0y−y0z−z0 =0

其中， n n n 表示视差平面的法向量， X = [ x , y , z ] T X=[x, y, z]^T X=[x,y,z]T 是视差平面的任意点， X 0 = [ x 0 , y 0 , z 0 ] T X_0=\left[x_0, y_0, z_0\right]^T X0=[x0,y0,z0]T 是视差平面的某点。

点加法向量方程转换为通用参数方程：

a f = − n x n z , b f = − n y n z , c f = n x x 0 + n y y 0 + n z z 0 n z a_f=-\frac{n_x}{n_z}, b_f=-\frac{n_y}{n_z}, c_f=\frac{n_x x_0+n_y y_0+n_z z_0}{n_z} af=−nznx,bf=−nzny,cf=nznxx0+nyy0+nzz0

推导过程如下：

n T [ x − x 0 y − y 0 z − z 0 ] = 0 ⇓ n x ( x − x 0 ) + n y ( y − y 0 ) + n z ( z − z 0 ) = 0 ⇓ z = − n z n z x − n y n z y + n x x 0 + n y y 0 + n z z 0 n z \begin{aligned} & n^T\left[\begin{array}{l} x-x_0 \\ y-y_0 \\ z-z_0 \end{array}\right]=0 \\ & \Downarrow \\ & n_x\left(x-x_0\right)+n_y\left(y-y_0\right)+n_z\left(z-z_0\right)=0 \\ & \Downarrow \\ & z=-\frac{n_z}{n_z} x-\frac{n_y}{n_z} y+\frac{n_x x_0+n_y y_0+n_z z_0}{n_z} \end{aligned} nT x−x0y−y0z−z0 =0⇓nx(x−x0)+ny(y−y0)+nz(z−z0)=0⇓z=−nznzx−nznyy+nznxx0+nyy0+nzz0

通用参数方程转换为点加法向量方程：

n x = a f a f 2 + b f 2 + 1 , n y = b f a f 2 + b f 2 + 1 , n z = − 1 a f 2 + b f 2 + 1 z 0 = a f x 0 + b f y 0 + c f \begin{gathered} n_x=\frac{a_f}{\sqrt{a_f^2+b_f^2+1}}, n_y=\frac{b_f}{\sqrt{a_f^2+b_f^2+1}}, n_z=\frac{-1}{\sqrt{a_f^2+b_f^2+1}} \\ z_0=a_f x_0+b_f y_0+c_f \end{gathered} nx=af2+bf2+1 af,ny=af2+bf2+1 bf,nz=af2+bf2+1 −1z0=afx0+bfy0+cf

左右视差平面转换

这里需要补充说明，如何从将左视图的视差平面转换为右视图的视差平面：

首先，我们有左视图的视差平面：

d l = a p x l + b p y l + c p d_l=a_p x_l+b_p y_l+c_p dl=apxl+bpyl+cp

由于， x r = x l − d l , y r = y l x_r=x_l-d_l, y_r=y_l xr=xl−dl,yr=yl ，我们可得，

d l = a p ( x r + d l ) + b p y r + c p ⇓ d l = a p x r + a p d l + b p y r + c p ⇓ ( 1 − a p ) d l = a p x r + b p y r + c p ⇓ d l = a p 1 − a p x r + b p 1 − a p y r + c p 1 − a p \begin{gathered} d_l=a_p\left(x_r+d_l\right)+b_p y_r+c_p \\ \Downarrow \\ d_l=a_p x_r+a_p d_l+b_p y_r+c_p \\ \Downarrow \\ \left(1-a_p\right) d_l=a_p x_r+b_p y_r+c_p \\ \Downarrow \\ d_l=\frac{a_p}{1-a_p} x_r+\frac{b_p}{1-a_p} y_r+\frac{c_p}{1-a_p} \end{gathered} dl=ap(xr+dl)+bpyr+cp⇓dl=apxr+apdl+bpyr+cp⇓(1−ap)dl=apxr+bpyr+cp⇓dl=1−apapxr+1−apbpyr+1−apcp

由于， d r = − d l d_r=-d_l dr=−dl ，即 x l = x r − d r x_l=x_r-d_r xl=xr−dr ，左右视图匹配点的视差值是互为相反数，则：

d r = a p a p − 1 x r + b p a p − 1 y r + c p a p − 1 d_r=\frac{a_p}{a_p-1} x_r+\frac{b_p}{a_p-1} y_r+\frac{c_p}{a_p-1} dr=ap−1apxr+ap−1bpyr+ap−1cp

从而，我们得到右视图的视差平面表达式。

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