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前言
本文详细推导了矩形脉冲信号、单频脉冲信号以及线性调频率信号的离散傅里叶变换结果，并结合仿真对比了理论公式与实际结果的幅度差异以及相位差异，并基于FFT实现对这三类信号关键参数的估计。
一、傅里叶变换及离散傅里叶变换
1.1、傅里叶变换
模拟信号傅里叶变换为：
对应的逆变换为：
其中为模拟频率，模拟信号
的频谱是信号频谱分析最终想得到的。
1.2、离散傅里叶变换
对离散信号周期化得：
对离散周期信号傅里叶变换得
对应的逆变换：
由定义有：
二、常见信号的变换结果
2.1、矩形信号
考虑矩形信号为
其中表示信号持续时间，
由公式（1)可以得到矩形信号傅里叶变换结果为
考虑，因此
由公式（1)，当时，
，能够快速验证了公式（9）的幅度正确性。
考虑离散矩形信号是由公式（7）采样获得，采样率，采样间隔为
，采样点数为
，信号持续点数
，由公式（4）得到离散矩形信号的离散傅里叶变换结果为
由等比数列求和公式可得
由公式（9）和公式（11）可以看出傅里叶变换结果和离散傅里叶变换结果的幅度相差，此外离散傅里叶变换信号的起始时刻默认为0，与模拟信号的起始时刻无关，因此公式（11）的结果包含模拟信号起始时刻不为0带来的固定相位项。
2.2、单频信号
考虑单频脉冲信号
其中为频率，
表示信号持续时间，
由公式（1)可以得到单频脉冲信号傅里叶变换结果为
考虑，因此
由公式（1)，当时，
，能够快速验证了公式（13）的幅度正确性。
考虑离散矩形信号是由公式（7）采样获得，采样率，采样间隔为
，采样点数为
，信号持续点数
，由公式（4）得到离散矩形信号的离散傅里叶变换结果为
由等比数列求和公式可得
由公式（14）和公式（16）可以看出傅里叶变换结果和离散傅里叶变换结果的幅度相差，此外离散傅里叶变换信号的起始时刻默认为0，与模拟信号的起始时刻无关，因此公式（11）的结果包含模拟信号起始时刻不为0带来的固定相位项。对比公式（11）和公式（16），发现信号频谱发生了频移现象，初步验证了傅里叶变换的频移性质。
2.3、线性调频信号
考虑线性调频脉冲信号
其中为调频率参数，
表示信号持续时间，
由公式（1)可以得到线性调频脉冲信号傅里叶变换结果为
积分相位表达式为：
积分相位求导置零，求解信号幅度平稳时的时频耦合关系
得到
将积分相位在
处进行泰勒展开，忽略高阶项得
根据驻定相位原理，积分接近于0，积分时间t在附近取值才能有效积分，因此
令，则
令，
，则
令正弦菲涅尔积分，正弦菲涅尔积分
，
。
，当
时，
，
则
其中信号带宽。
时域能量，频域能量
，两者相等，满足帕塞瓦尔定理，进一步验证公式的正确性。
考虑离散傅里叶变换与傅里叶变换幅度相差，时延相差
，则公式（17）的离散信号的离散傅里叶变换结果为
三、仿真分析
2.1、矩形信号
（a）时域 （b）频域 （c) 相位差
考虑数据时长1 ms，矩形脉冲信号位于数据中心时刻，幅度10，持续时长100 us，信号采样率1 MHz，信号时域图如上图（a）所示，图（b）展示了matlab中fft实际计算结果与公式（11）的频谱对比，可以看出在峰值频点处信号频谱高度重合，图（c）展示了理论与实际结果的相位差，可以看出相位差几乎为0。由信号3db带宽定义可以估计获得脉宽估计值为98 us，由频谱峰值进一步计算获得幅度估计值为10.2。下图展示了10dB信噪比下的对比结果，某次实验估计的脉宽值为127 us，幅度估计值为8.5。
（a）时域 （b）频域 （c) 相位差
2.2、单频信号
（a）时域 （b）频域 （c) 相位差
考虑数据时长1 ms，单频脉冲信号位于数据中心时刻，幅度10，频率100 KHz，初相1rad，持续时长100 us，信号采样率1 MHz，信号时域图如上图（a）所示，图（b）展示了matlab中fft实际计算结果与公式（16）的频谱对比，可以看出在峰值频点处信号频谱高度重合，图（c）展示了理论与实际结果的相位差，可以看出相位差存在倒问题。由信号3db带宽定义可以估计获得脉宽估计值为98 us，由频谱峰值进一步计算获得幅度估计值为10.2，频率估计值为100 KHz，初相估计值为1.00 rad。下图展示了10dB信噪比下的对比结果，某次实验估计的脉宽值为127 us，幅度估计值为8.8，频率估计值为100 KHz，初相估计值为0.96 rad。
（a）时域 （b）频域 （c) 相位差
2.3、线性调频信号
（a）时域 （b）频域 （c) 相位差
考虑数据时长1 ms，单频脉冲信号位于数据中心时刻，幅度10，信号带宽 5MHz，持续时长100 us，调频率为50 GHz/s，信号采样率10 MHz，信号时域图如上图（a）所示，图（b）展示了matlab中fft实际计算结果与公式（16）的频谱对比，可以看出在带宽内信号频谱高度重合，图（c）展示了理论与实际结果的相位差，可以看出相位差很小，进一步验证公式（27）相位项的准确性。由信号3db带宽定义可以估计获得脉宽估计值为99.9 us，带宽估计值为5.001 MHz，调频率估计值为50.06 GHz/s，由带宽内平均频谱值进一步计算获得幅度估计值为10.04。下图展示了30dB信噪比下的对比结果，某次实验脉宽估计值为99.9 us，带宽估计值为4.780 MHz，调频率估计值为47.85 GHz/s，由带宽内平均频谱值进一步计算获得幅度估计值为9.91。
（a）时域 （b）频域 （c) 相位差
总结
本文主要介绍傅里叶变换及离散傅里叶变换前后幅度规律，分析了三种典型信号（矩形信号、单频信号和线性调频信号）的变换特性，推导了各自的傅里叶变换公式，并通过仿真验证了变换结果的幅度规律。转载请附上链接【杨（> <)】的博客_CSDN博客-信号处理,SAR,代码实现领域博主。