算法题（240）：最大食物链计数

审题：

本题需要找到所有的食物链，并将食物链数量输出

思路：
方法一：动态规划+拓扑排序

食物链的起点是没有动物能被它吃（入度为0），终点是没有动物能吃它（出度为0）

示例解析：

通过画图我们知道，起点就是入度为0的1号，终点是出度为0的5号。且本题说明了是无环图，且他的边又是有向的，所以本题是一个有向无环图，可以使用动态规划解题

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解释：动态规划为什么一定需要无环结构？

因为环形结构会让递推过程出现矛盾

这是正常的有向无环图，f[i][j]依赖于其上方和左侧的节点，即要求出f[i][j]的值必须先知道f[i-1][j]和f[i][j-1]的值

此时具有环形结构，f[i][j]和f[i-1][j]互相依赖，是无法利用状态转移方程求出他们中的任意一个结果的

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1.状态表示：f[i]表示从起点走到i位置时的所有方案数

2.状态转移方程：f[i] = Σf[prev]

根据最后一步判断法，只要将当前节点的所有入度节点方案数求出，然后将这些方案数累加起来即为f[i]的方案数

3.填表顺序：拓扑排序

由于我们求f[i]前必须先把所有能吃i位置的位置的f填写好，所以我们的填写顺序是先从生产者（入度为0）的点开始，最后再到分解者（出度为0），这时我们就可以使用拓扑排序的顺序进行填表了

4.初始化：需要将入度为0的f值初始化为1

5.答案输出：

维护一个ret变量，每当我们遍历到出度为0的分解者时，让ret累加当前节点的f值，最后直接输出即可（累加过程需要取模80112002）

解题：

#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 5e3 + 10, M = 5e5 + 10, MOD = 80112002;
int n, m,ret;
int in[N],out[N];
int f[N];//f[i]表示从起点走到i位置时的所有方案数
vector<int> edges[M];
queue<int> q;
int main()
{
	//数据录入
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int x, y; cin >> x >> y;
		edges[x].push_back(y);
		in[y]++; out[x]++;
	}
	//将入度为0的点加入队列中
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (in[i] == 0)
		{
			q.push(i);
			f[i] = 1;//初始化f数组
		}
	}
	while (q.size())
	{
		int a = q.front(); q.pop();
		if (out[a] == 0) ret = (ret+ f[a])%MOD;
		for (auto e : edges[a])
		{
			in[e]--;
			f[e] = (f[e]+f[a])%MOD;
			if (in[e] == 0) q.push(e);
		}
	}
	cout << ret << endl;
	return 0;
}

关键1：不仅需要维护入度数组in[N]，还要维护出度数组out[N]

因为需要根据出度信息判断是否是食物链的终点，然后更新ret变量的值

关键2：f数组的更新时机

对于一个节点，当他的入度数减少时，说明他的其中一条路径正在被遍历移除，我们就需要将当前被遍历的节点的f数组值加给他

P4017 最大食物链计数 - 洛谷