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[二、图的存储结构------非线性结构（m : n）](#二、图的存储结构——非线性结构（m : n）)
图
一、图的基本概念
1、若 n 个顶点的无向图有 条边，称为无向完全图。
2、若 n 个顶点的有向图有 n(n-1) 条边，称为有向完全图。
3、稀疏图：边较少的图，边数 << 。
4、稠密图：边很多的图。无向图中边数接近 ；有向图中边数接近 n(n-1)。
5、带权树：边上带权的图 <=> 网络 。
6、弧头和弧尾：有向边 (u,v) 称为弧，边的始点 u 叫弧尾，终点 v 叫弧头。在有向图中顶点 v 的度等于该顶点的入度与出度之和。
7、问：当有向图中仅1个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，此时是何形状？
答：是树，而且是一棵有向树。
8、生成树：是一个极小连通子图，它必含有图中全部顶点，但只有 n-1 条边。
（1）如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环。
（2）若图中有 n 个顶点，却少于 n-1 条边，必为非连通图。
9、生成森林：由若干棵有向树组成，含全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。
路劲长度：
（1）非带权图的路径长度是指此路径上边的条数
（2）带权图的路径长度是指此路径上各边的权之和
简单路径：路径上各顶点 、
、......、
均不相互重复
二、图的存储结构------非线性结构（m : n）
顺序存储结构
① 可用数组描述元素间的关系（多个顶点，无序可言）
② 图的顺序存储结构是指用数组（顺序表） 来存储图的顶点信息及顶点间的关系（边或弧），其核心是通过数组的下标或元素值描述顶点之间的邻接关系。与树的顺序存储不同，图的顶点之间没有固定的层次或父子关系（"无序可言"），因此需要专门的结构记录顶点间的连接状态。
1、邻接矩阵表示法
（1） 建立一个顶点表（记录各个顶点信息）和一个邻接矩阵（表示各个顶点之间关系）
（2） 邻接矩阵（Adjacency Matrix）是图的一种基本顺序存储方式，通过一个二维数组表示顶点间的邻接关系，适用于无向图或有向图（无权图）。
（3） 有关系填1，没关系填0
（4）核心定义
- 设图有 n 个顶点，定义一个 n×n 的二维数组 A（称为邻接矩阵），其中：
- Aij=1：表示顶点 i 与顶点 j 之间存在一条边（无向图）或弧（有向图，从 i 到 j）。
- Aij=0：表示顶点 i 与顶点 j 之间不存在边或弧。
- 对于无向图，邻接矩阵是对称矩阵（Aij=Aji）；对于有向图，邻接矩阵不一定对称。
示例1：
a. 无向图的邻接矩阵是对称的
b. 顶点 i 的度=第 i 行（列）中1的个数
c. 特点：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余全为1
示例2：
a. 在有向图的邻接矩阵中，第 i 行含义：以结点 为尾的弧（即出度边）
b. 在有向图的邻接矩阵中，第 i 列含义：以结点 为头的弧（即入度边）
c. 有向图的邻接矩阵可能是不对称的
d. 顶点的出度=第 i 行元素之和，
e. 顶点的入度=第 i 列元素之和，
f. 顶点的度=第 i 行元素之和+第 i 列元素之和，
示例3：
-
无向图：顶点集合 V={0,1,2,3}，边集合 E={(0,1),(0,2),(1,2),(1,3)}，邻接矩阵为：
0 1 2 3 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 0 0 3 0 1 0 0（对称矩阵，如 A01=A10=1，表示 0 和 1 之间有边）。
-
有向图：顶点集合 V={0,1,2}，弧集合 E={<0,1>,<1,0>,<1,2>}，邻接矩阵为：
0 1 2 0 0 1 0 1 1 0 1 2 0 0 0（非对称，如 A01=1 但 A10=1 是因为存在双向弧，而 A12=1 但 A21=0）。
（5）特点
- 优点：
- 判断两个顶点是否相邻（存在边）的时间复杂度为 O(1)（直接查 Aij）。
- 便于计算顶点的度（无向图中顶点 i 的度是第 i 行或第 i 列的和；有向图中出度是第 i 行的和，入度是第 i 列的和）。
- 容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判断顶点之间是否有边（弧）、找顶点的邻接点等。
- 缺点：
- n 个顶点需要 n*n 个单元存储边（弧）。
- 空间复杂度为 O(n2)，不适合存储稀疏图（边数远小于 n2 的图），会浪费大量空间。
- 对于 n 个顶点 e 条弧的网，建网时间效率=
。
2、网（即有权图）的邻接矩阵
网（Network）是带权值的图（边或弧具有权重，如距离、成本等），其邻接矩阵是无权图邻接矩阵的扩展，通过二维数组存储顶点间的权重值。
① A.Edgeij= (
)或<
>
② A.Edgeij= ∞ 无边（弧）
③ 核心定义
- 设网有 n 个顶点，定义 n×n 的二维数组 A，其中：
- Aij=w：表示顶点 i 与顶点 j 之间存在一条边或弧，权重为 w（w 为非负实数）。
- Aij=∞（无穷大，通常用一个远超最大权重的数表示）：表示顶点 i 与顶点 j 之间不存在边或弧。
- 对于无向网，邻接矩阵仍为对称矩阵（Aij=Aji）；对于有向网，矩阵不一定对称。
- 顶点自身到自身的权重通常为 0（Aii=0）。
示例1：
-
无向网：顶点集合 V={0,1,2}，边及权重为 (0,1,5)、(0,2,3)、(1,2,1)，邻接矩阵为：
0 1 2 0 0 5 3 1 5 0 1 2 3 1 0（对称，如 A01=A10=5，表示 0 和 1 之间的边权重为 5）。
-
有向网：顶点集合 V={0,1,2}，弧及权重为 <0,1,2>、<1,2,3>、<2,0,4>，邻接矩阵为：
0 1 2 0 0 2 ∞ 1 ∞ 0 3 2 4 ∞ 0（非对称，如 A01=2 表示从 0 到 1 的弧权重为 2，而 A10=∞ 表示无反向弧）。
示例2：
④ 特点
- 优点：
- 不仅能表示顶点间的邻接关系，还能直接存储权重，适合 Dijkstra、Floyd 等最短路径算法的实现（依赖权重快速访问）。
- 与无权图邻接矩阵一样，判断邻接和计算度（带权和）的效率高（O(1) 或 O(n)）。
- 缺点：
- 空间复杂度仍为 O(n2)，稀疏网（权值非 ∞ 的元素少）会浪费大量空间。
3、比较
| 类型 | 核心存储内容 | 空间复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 邻接矩阵（无权图） | 0/1 表示是否有边 / 弧 | O(n2) | 稠密图、需频繁判断邻接关系 |
| 网的邻接矩阵 | 权重值 /∞ 表示边的权重 | O(n2) | 稠密网、需频繁访问权重（如最短路径计算） |
两者均通过二维数组实现，本质是用 "空间换时间"，适合顶点数量固定且边数较多的图（稠密图 / 网）；对于稀疏图 / 网，通常更适合用链式存储（如邻接表）。