20251019状压DP总结

状压DP是啥呀？

废话，状压DP不就是状态压缩动态规划吗？

有时，仅仅只是有时，题目会让你求关于几个数从一个状态到另一个状态相关问题，那么弄一个dp[2][2][2][2][2]......dp[2][2][2][2][2]......dp[2][2][2][2][2]......的数组显然是不现实的，所以状压DP由此诞生。

这几个数的状态可以看作一个二进制数，每一个数的状态随之对应二进制数的每一个数位，那么每一种这几个数的不同状态组合随之对应一个二进制数。

例题 洛谷 P2622 关灯问题 II

显然，这题bfs就能水过，但是有关状态压缩，所以值得一讲。

首先题目告诉我们有n盏灯，每盏灯可以是开或者关，有几个按钮，每个按钮按下之后可以使每盏灯开或者关，求最开始每盏灯都是开的，最少按几次按钮才能使所有等关上，如果无法实现就输出-1。

在这里介绍几个二进制状态转换的位运算操作：

1. (n>>k)(n>>k)(n>>k)&111 取出二进制下n的第k位(从右往左)

2. nnn&((1<<k)−1)((1<<k)-1)((1<<k)−1) 取出二进制下n的右k位

3. nnn^(1<<k)(1<<k)(1<<k) 将二进制下n的第k位取反

4. nnn|(1<<k)(1<<k)(1<<k) 将二进制下n的第k位赋值1

5. nnn&(((~(1<<k))(1<<k))(1<<k)) 将二进制下n的第k位赋值0

相信聪明的你根据上面的提示以及下面的代码一定能AC这道题！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[105][15],n,m;
struct node{
    int x,dep;//状态及步数
};
queue<node> q;
bool vis[2005];//每种状态是否出现过
void bfs(){
    q.push({(1<<n)-1,0});//最开始所有灯都是开的
    while(!q.empty()){
        node d=q.front();
        q.pop();
        if(d.x==0){//如果所有灯都关了
            cout<<d.dep;
            exit(0);//结束程序
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){//试每一盏灯
            int f=d.x;//暂时存着
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(a[i][j]==1&&(f&(1<<(j-1)))){//如果这个开关要把这盏灯给关掉并且第i盏灯是开着的
                    f^=(1<<(j-1));//把这盏灯关掉
                }
                if(a[i][j]==-1&&!(f&(1<<(j-1)))){//如果这个开关要把这盏灯给打开并且第i盏灯是关着的
                    f|=(1<<(j-1));//把这盏灯打开
                }
            }
            if(!vis[f]){//如果这个状态没出现过
                q.push({f,d.dep+1});//推入队列
                vis[f]=1;//现在出现过了
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    bfs();
    cout<<-1;//无解输出-1
    return 0;
}

我之前好像写过耶？