并归的应用（LeetCode[315]）
给你一个整数数组 nums ，按要求返回一个新数组 counts 。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。
归并排序思想的核心思路
归并排序的过程是将数组不断二分，排序后合并。在合并过程中，我们可以同步统计 "右侧小于当前元素的数量"，原因如下：
- 归并排序处理的是两个已排序的子数组（左半部分 left 和右半部分 right）。
- 当合并时，若左半部分的元素 left[i] 大于右半部分的元素 right[j]，则 right[j] 及 right 中 j 之后的所有元素都小于 left[i]（因为 right 已排序），因此可直接统计数量。
举例说明（实在不懂，自己画个图，很好懂的）
假设我们有两个已排序的子数组：
- 左子数组 left = [(5, 0), (6, 2)]（元素值为 5、6，原始索引为 0、2）
- 右子数组 right = [(2, 1), (1, 3)]（元素值为 2、1，原始索引为 1、3）
注意：这里的右子数组在实际归并过程中已经过排序，正确的有序右子数组应为 right = [(1, 3), (2, 1)]（按值从小到大排列）。
合并过程分析：
- 初始化指针 i=0（指向 left[0] = (5, 0)），j=0（指向 right[0] = (1, 3)）。
- 比较 left[0].值=5 和 right[0].值=1：5 > 1。
- 由于 right 是有序的（[1, 2]），right[j=0] 之后的所有元素（即 [2]）也都小于 5。
- 因此，right 中小于 5 的元素数量为
len(right) - j= 2 - 0 = 2（元素 1 和 2）。 - 所以
counts[0] += 2（原始索引 0 对应的元素 5，右侧有 2 个更小的元素）。
- 移动左指针 i=1（指向 left[1] = (6, 2)），j 仍为 0。
- 比较 left[1].值=6 和 right[0].值=1：6 > 1。
- right[j=0] 之后的元素（[2]）仍小于 6，数量为 2 - 0 = 2。
- 因此 counts[2] += 2（原始索引 2 对应的元素 6，右侧暂时统计到 2 个更小的元素）。
- 移动左指针 i 超出左数组长度，将右数组剩余元素加入结果，合并结束。
代码实现
python
class Solution(object):
def countSmaller(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: List[int]
"""
n = len(nums)
temp = [0] * n
##添加的内容#########################################################
for i, num in enumerate(nums):
nums[i] = (i, num)
res = [0] * n
####################################################################
def merge(l, mid, h):
"""合并 nums[l..mid-1] 和 nums[mid..h-1]"""
for i in range(l, h):
temp[i] = nums[i]
i, j = l, mid
p = l
while i < mid and j < h:
if temp[i][1] <= temp[j][1]:
nums[p] = temp[i]
##添加的内容#################################################
res[temp[i][0]] += j - mid
###########################################################
i += 1
else:
nums[p] = temp[j]
j += 1
p += 1
while i < mid:
nums[p] = temp[i]
##添加的内容##################################################
res[temp[i][0]] += j - mid
#############################################################
i += 1
p += 1
while j < h:
nums[p] = temp[j]
j += 1
p += 1
def sort(l, h):
"""递归排序 nums[l..h-1]"""
if h - l <= 1:
return
mid = l + (h - l) // 2
sort(l, mid)
sort(mid, h)
if nums[mid - 1][1] <= nums[mid][1]:
return
merge(l, mid, h)
sort(0, n)
return res # 修改总结
一、为什么归并排序能解决 "右侧小于当前元素的数量" 问题？
核心原因是归并排序的分治过程天然具备 "比较左右两部分元素" 的特性，可以在排序的同时统计右侧小元素的数量。
- 归并排序将数组分成左右两部分，递归排序后合并。
- 合并时，当左半部分的元素 nums[i] 大于右半部分的元素 nums[j] 时，说明右半部分中从 j 到末尾的所有元素都小于 nums[i]（因为右半部分已排序）。
- 因此，可直接累加这些元素的数量到 counts[i] 中，实现 "一边排序一边统计"。
二、什么样的题型适合用归并排序解决？
归并排序的核心价值在于分治过程中对 "左右两部分有序子数组" 的比较和合并，因此适合以下场景：
- 涉及 "逆序对" 的问题如：统计逆序对数量、求右侧小于当前元素的数量、数组中的第 K 个最大逆序对数目等。归并排序在合并时能高效统计逆序关系。
- 需要在排序过程中附加统计 / 计算如：合并两个有序数组时记录某些条件的出现次数，或在分治中同步处理子问题的结果（如统计区间内的特定关系）。
- 要求 O (n log n) 时间复杂度，且问题可分解为子问题：归并排序的分治思想适合将问题拆解为规模更小的子问题，且子问题的解可合并为原问题的解。