1、Finite State Automata（有限状态自动机）
1.1 非确定性有限自动机（NFA）
定义组成：
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状态集合S：有限的状态集
-
输入字母表Σ：不包括空字符串ε
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转移函数：对于每个状态和Σ∪{ε}中的符号，给出下一状态集合
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起始状态s₀：特殊的开始状态
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接受状态集合F：S的子集
关键特性：
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允许ε转移（空转移）
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同一输入可能转移到多个状态
-
接受条件：存在一条从起始状态到接受状态的路径，路径上的符号序列构成输入字符串
1.2 确定性有限自动机（DFA）
定义组成：
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与NFA类似，但转移函数是确定性的
-
对每个状态和Σ中的符号，有唯一的下一状态
-
不允许ε转移
2、RE、NFA、DFA之间的等价转换
我们以以下例题来具体介绍：
Please construct a DFA with minimum states for the following regular expression.
2.1 RE to NFA（从正则表达式到NFA的转换）
2.1.1 Thompson构造算法
输入 ：正则表达式r over Σ 输出：接受L(r)的NFA
基础情况：
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对于ε：创建两个状态，通过ε连接
-
对于a∈Σ：创建两个状态，通过a连接
归纳构造：
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选择运算(r|s)：并行连接两个NFA
-
连接运算(rs)：串联连接两个NFA
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闭包运算(r*)：添加ε转移实现循环
2.1.2 例题解答
题中给出的是RE（正则表达式），第一步先将RE转换为NFA：
核心原则------将多步变为单步，遵循以下变换规则:
2.2 NFA to DFA
2.2.1 核心概念
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ε-闭包：从给定状态通过ε转移可达的所有状态集合
-
move函数：从状态集合在输入符号a下的转移结果
子集构造算法
cpp
初始化Dstates包含ε-closure(s₀)
while (Dstates中有未标记状态T) {
标记T
for (每个输入符号a) {
U = ε-closure(move(T, a))
if (U不在Dstates中)
添加U为未标记状态
Dtran[T, a] = U
}
}ε-闭包计算
cpp
function ε-closure(T) {
push all states in T onto stack
result = T
while (stack not empty) {
pop t from stack
for (每个状态u，满足t→u通过ε转移) {
if (u不在result中) {
add u to result
push u onto stack
}
}
}
return result
}2.2.2 例题解答
第二步将NFA转换为DFA：
2.3 Minimal DFA
2.3.1 具体算法
算法目标
找到接受相同语言的最小状态DFA
算法步骤
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初始划分：{接受状态} ∪ {非接受状态}
-
迭代细化：根据转移行为进一步划分状态组
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终止条件：划分不再变化
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选择代表：每个组选一个状态作为代表
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清理优化：移除死状态和不可达状态
划分规则
状态s和t在同一组，当且仅当：
- 对每个输入符号a，s和t都转移到同一组中的状态
2.3.2 例题解答
第三步最小化DFA：
4、关键定理和性质
4.1 等价性定理
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任何正则表达式都可以转换为等价的NFA
-
任何NFA都可以转换为等价的DFA
-
任何DFA都可以找到等价的最小DFA
-
这三种表示法描述的语言类相同（正则语言）
4.2 最小DFA的唯一性
对于任何正则语言，最小状态数的DFA在状态重命名意义下是唯一的。