前言
这篇博客是我在学习《深入浅出统计学》这本书时整理的个人笔记。《深入浅出统计学》作为一本经典的统计学入门书籍，内容由浅入深、案例丰富，全书共 15 章。考虑到知识点的连贯性和阅读体验，我计划将整本书的学习笔记分为 3 篇在 CSDN 上分享，每篇聚焦 5 个章节的内容，本篇便是系列笔记的第一篇，涵盖书中的第 1 章到第 5 章。
在整理笔记的过程中，我会结合书中的核心内容，提炼重点概念、公式推导以及典型例题。为了更直观地呈现书本中的关键图表、例题解析和知识点框架，笔记里穿插了部分书本内容的截图，这些截图将与我的文字解读相互补充，帮助大家更好地理解统计学的基础原理。
由于是个人学习笔记，内容可能会带有一定的个人理解视角，若存在表述不够准确或遗漏的地方，欢迎大家在评论区留言指正。
注意：起初笔记是写在飞书上，现在是转化分享到csdn里，因此部分地方格式显示不全或看着不美观（如公式、图片等）
一、信息图形化
1.频数、百分比
| 指标 | 定义 | 例子 |
|---|---|---|
| 频数 | 某类别数据的绝对出现次数，是统计的原始结果 | 得 90 分的学生有 10 人 |
| 百分比 | 某类别数据的相对占比，是频数的标准化结果 计算公式：百分比 =（某类别频数 ÷ 总频数）× 100% | 得 90 分的学生占 28.57% |
- 两者缺一的局限性
① 只有频数，缺少百分比：缺失 "相对视角"，无法判断重要性
**例子：**某老师公布月考成绩频数：90-100 分 8 人、80-89 分 15 人、70-79 分 12 人
**思考：**若不说明班级总人数（总频数），"8 人得高分" 的意义无法判断 ------ 若总人数 35 人，高分占比 22.86%（属优秀）；若总人数 200 人，高分占比仅 4%（属平庸）
② 只有百分比，缺少频数：缺失 "绝对规模"，无法落地应用
**例子：**班主任反馈：喜欢篮球 20%、喜欢足球 15%、喜欢羽毛球 30%
**思考：**若班级共 20 人，喜欢篮球仅 4 人（难以组队）；若班级共 100 人，喜欢篮球 20 人（有充足活动伙伴）
统计指标的价值在于 "还原数据真相"：
频数提供 "具体数量"，锚定数据的绝对规模
百分比提供 "比例视角"，揭示数据的相对重要性
两者结合，才能全面、准确地解读数据意义！
2.定性数据、定量数据
| 类型 | 定义 | 关键特征 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 定性数据 | 又称 "类别数据"，用于描述事物的性质、特征或类别，数据值不具备数字的量化意义 | 无大小、顺序之分，仅体现类别属性 | 商品颜色（"红色""黑色""白色"） |
| 定量数据 | 又称 "数字值数据"，以数值形式呈现，既涉及计量/计数，又具备数字的量化、排序意义 | 有大小、顺序，可量化比较 | 考试分数（"85 分""92 分"，可排序 "92 分＞85 分"） |
两类数据的本质差异：
定性数据聚焦 "是什么类别"，仅用于区分属性
定量数据聚焦 "有多少 / 多大量"，可通过数值进行量化分析、排序比较
两者从 "类别属性" 和 "数值意义" 两个维度，构成了数据分类的基础逻辑！
3.区间宽度、频数密度
直方图用于数值型数据 的分组频数可视化，多数场景下区间宽度相同 （如 [1,5]、[5,10]，宽度为 5）；但部分场景会出现区间宽度不同（如游戏时间的 [0-1]、[1-3]、[5-10] 等区间），如下图：
**问题指出：**传统直方图若直接以 "频数" 为高度，会因区间宽度不同导致视觉误导（如 "1-3" 区间频数高但宽度大，实际密集度并不突出）
解决办法：此时需遵循 "长方形面积与频数成比例"的原则 ------ 即通过频数密度 （即频数 ÷ 区间宽度）来标准化，确保不同宽度区间的对比公平性【长方形面积直接反映频数的多少】
**计算公式：**长方形面积 = 长方形高度（频数密度） × 区间宽度 = （频数 ÷ 区间宽度）× 区间宽度 = 频数
**解决效果：**优化后以 "频数密度" 为高度 ，长方形面积与频数成比例，能真实反映各区间的数据密集程度（如 "0-1" 区间频数密度最高，说明该区间数据最密集
| 指标 | 定义 | 与 "区间宽度" 的关系 | 意义 |
|---|---|---|---|
| 频数 | 某区间内原始数据的绝对出现次数 | 直接相关（宽度越大，频数可能越高） | 反映区间数据的 "绝对数量" |
| 频数密度 | 单位区间宽度对应的频数（频数 ÷ 区间宽度） | 无关（仅反映数据 "密集程度"） | 消除区间宽度影响，实现不同区间的公平对比 |
直方图宽度区间的同与不同：
宽度区间相同：长方形的 高度****与频数成比例（即:高度=频数）
- 因为区间宽度相同，长方形面积 = 高度 × 宽度（宽度固定），所以面积直接由高度决定，此时高度就可以直接反映频数的多少，即高度与频数成比例
宽度区间不同：长方形的 面积****与频数成比例（即:面积=频数）
- 因为区间宽度不同，长方形面积 = 高度(频数密度) × 区间宽度 = 频数（详情看上述计算公式）
- **本章涉及的图形：**折线图、饼图、垂直条形图、水平条形图、分段条形图、堆积条形图、直方图、累计折线图
二、集中趋势的量度
1.均值、偏斜数据
| 指标 | 定义与计算公式 | 特点 |
|---|---|---|
| 均值 |  |
反映数据 "平均水平"，但易受异常值影响 |
| 中位数 | 数据排序后位于中间位置的数值 （若数据量为偶数，取中间两个数的均值） | 若数据都是两边极端的情况下，可能具有误导性（如100，100，20） |
| 众数 | 数据集中出现次数最多的数值，可用于类别数据 | 是数据集的 "典型值"，必然属于数据集 |
-
**异常值 ：**与其他数据格格不入的极高或极低的数值
-
**偏斜数据：**异常值会 "拉扯" 均值，导致数据分布偏斜，此时均值会失去代表性，存在误导性
| 分布类型 | 形态特点 | 均值、中位数、众数的关系 |
|---|---|---|
| 右偏（长尾向右） | 存在大异常值，右侧拖 "尾巴" | 均值 > 中位数 > 众数 |
| 左偏（长尾向左） | 存在小异常值，左侧拖 "尾巴" | 均值 < 中位数 < 众数 |
| 对称分布 | 无明显偏斜，两侧形态对称 | 均值 = 中位数 = 众数 |
2.含含糊糊的平均数
**推理复盘：**某公司薪酬分布：大部分员工周薪 500 美元，少数经理薪资较高，首席执行官周薪 49,000 美元。不同角色对 "平均薪水" 的解读产生分歧：
-
工人认为 "平均薪水 2,500 美元"（实际用了中位数，削弱了 CEO 高薪的影响）
-
经理认为 "平均薪水 10,000 美元"（实际用了均值，CEO 高薪使均值虚高）
-
CEO 认为 "平均薪水 500 美元"（实际用了众数，500 美元是出现次数最多的薪资）
推理总结："平均数" 是集中趋势指标的统称，包含均值、中位数、众数，需根据数据特点选择：
-
当数据无异常值、对称分布时，均值能较好代表整体水平
-
当数据存在异常值（如本例中 CEO 高薪）时，中位数更能反映大多数人的真实情况，避免被极端值误导
三、分散性与变异性的量度
1.全矩、四分位矩
| 指标 | 计算公式 | 特点与局限性 |
|---|---|---|
| 全距 （极差） | 全距 = 上界（最大值）- 下界（最小值） | **示例：**球员得分 7、9、9、10、11、13，全距 = 13-7=6 特点： 仅描述数据 "宽度"，易受异常值误导，无法反映数据在上下界间的分布形态 |
| 四分位距 （IQR） | 四分位距 = 上四分位数（Q3）- 下四分位数（Q1） 【Q1 为下四分位数，Q3 为上四分位数，中间 Q2 为中位数】 | 仅关注数据中心 50% 的部分，较少受异常值影响，是 "不易被异常值干扰的迷你距" |
全矩和四分位矩的区别（应对异常值的逻辑）：
全距的问题：极易受异常值影响，只要有一个极端值，结果就会 "天差地别"
四分位距的优势：只关注数据中央50%区间，排除了两端异常值干扰，更能反映数据的核心离散程度
2.百分位数、箱线图
① 百分位数
-
**指标定义：**第k百分位数是位于数据范围k%处的数值；四分位数是特殊的百分位数（Q1=P25，Q3=P75）
-
**计算规则：**若有n个数据，第k百分位数的位置为
，结果向上取整
-
案例分析： 125 个数求第 30 百分位数，位置
② 箱线图（箱形图）
-
**指标定义：**离散程度的可视化工具，可展示全距、四分位距及中位数
-
图形解读：
-
箱子两端：下四分位数（Q1）和上四分位数（Q3），箱内横线为中位数（Q2）；
-
箱子外的 "whisker（须）"：延伸至下界（最小值）和上界（最大值），展示全距。
-
- 案例分析：
球员 A：全距小，中位数高，四分位距窄→ 得分稳定且整体水平高
球员 B：全距大，得分波动剧烈，虽有时得分很高，但低分时也很低→ 稳定性差
结论：选择球员 A，因其得分更稳定且中位数更高
离散程度分析的局限与价值：
全距和四分位距仅能反映 "最大值与最小值的差值"，但无法体现 "极值出现的频率" 或 "数据中心区域的分布密度"。
因此，在分析离散性时，需结合百分位数、箱线图等工具，从 "数值差异" 和 "分布形态" 两个维度全面解读数据
3.方差、标准分
本章的方差、标准差等计算针对的对象是：样本数据（实际的结果，即已经发生，是具体数值）
① 平均距离
- **指标定义：**数值与均值的距离值的求和计算，实际上会因正负抵消而恒为0，无法反映离散程度（如下图）
② 方差
-
指标定义： 数值与均值距离的平方数的平均值，用于度量数据离散性
-
**计算公式：**方差
③ 标准差
-
指标定义： 方差的平方根，描述**"典型值与均值的距离"**，比方差更易理解
-
计算公式： 标准差
-
指标意义： 标准差越小→数据离均值越近→变异越小→稳定性越高
标准差越大→数据离均值越远→变异越大→稳定性越低
【注：标准差的最小值为 0（即当所有数据等于均值时），另无负值】
④ 标准分z
-
指标定义： 用于比较均值和标准差不同的数据集
-
**计算公式：**标准分
-
指标意义： 提供了一种对不同数据集的数据进行比较的办法，这些不同数据集的均值和标准差甚至都各不一样。根据标准分z的计算方法，可以把这些数值视为来自同一个数据集或数据分布，从而进行比较
- 案例分析：（请联想z的计算公式去思考z的含义）
- 方差和标准差都能量度数据的分散程度，那么它们与全距有何区别？
全距是一种极其简单的量度数据分散程度的方法，它指出最大值和最小值之间的差值，但仅此而已。无法看出数据在这个差值范围内的聚散情况
用方差和标准差方法量度数据的变异性和分布形态则效果好得多，因为这二者考虑了数据的聚散情况，它们关注的是典型情况下的数值与数据中心的距离
- 标准分是什么？标准分和异常值检测有什么关系吗?
标准分是利用均值和标准差，将一个数据集中的各个数值转化为更通用的分布形态，同时确保数据的基本形状不变
标准分是对不同数据集中的数值进行比较的一种方法--即使各个数据集的均值和标准差各不相同也能进行比较，这是一种量度相对排名的方法
可以凭主观判断确定异常值，但有时候可以将异常值定义为偏离均值三个标准差的数值，即3\\sigma（3西格玛）原则进行异常值处理
方差、标准差是从 "数值与均值的距离" 角度精准度量离散程度
标准分则突破数据集差异，实现跨场景的公平对比
四、概率计算
1.概率基础、对立事件
| 概念 | 定义与公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 概率 （P） | 度量事件发生几率的数量指标，其量度尺度是0-1 | 0表示不可能发生，1表示必然发生 |
| 事件 （A） | 可指出发生可能性的 "事情"，是样本空间的子集 | 统计学中 "有概率可言的事情" |
| 样本空间（S） | 所有可能结果的集合，即 "概率空间" | 可能发生的事件都是S的子集 |
| 事件概率公式 | A事件的概率P(A) = \frac{发生事件A的可能数目}{所有可能结果的数目}=\frac{n(A)}{n(S)} | 基于 "等可能结果" 的古典概型计算 |
| 对立事件（A'） | "事件A发生"的对立事件是"事件A不发生"，用A'表示；P(A') = 1 - P(A) | 对立事件必互斥，且并集∪为样本空间 |
2.相交与互斥、维恩图
| 运算 | 含义 | 符号 |
|---|---|---|
| 交集 ∩ | "与"，事件A和B同时发生 | A ∩ B |
| 并集∪ | "或"，事件A或B发生，即A与B两事件的所有要素 | A ∪ B |
- 维恩图（交集和并集）
-
**穷举事件：**若P(A∪B) = 1，则说明事件A与事件B穷举，它们形成整个样本空间S，穷举了所有可能性
-
相交事件： 如果事件A和事件B相交，则事件A和事件B有可能同时发生，即
-
互斥事件： 如果事件A和事件B互斥，则事件A和事件B不可能同时发生，即
互斥事件不一定是对立事件（对立事件需满足 "非此即彼" 且并集为样本空间）
但对立事件一定是互斥事件
3.条件概率、概率树图
- **条件概率：**以事件B发生为条件，事件A发生的概率，写为P(A|B)。计算公式如下：
⟹
- **概率树图：**可视化条件概率的方法，通过 "分支概率相乘" 计算交集概率，如下图：
4.全概率公式、贝叶斯定理
- 全概率公式：根据条件概率计算某个特定事件的全概率（总概率）
（本质是将B的概率分解为 "A发生时B发生的概率" 与 "A不发生时B发生的概率" 之和）
公式推理如下：
① 如图事件B发生的可能是在P(B|A)、P(B|A')这两种的情况，根据条件概率可得：P(A\cap B) = P(A)*P(B|A)、P(A'\cap B)=P(A')*P(B|A')
② 根据维恩图理解P(A\cap B)、P(A'\cap B)这两概率的含义，如下图所示
事件A = 浅黄色部分 + 淡红色部分（重合） = A∩B' + A∩B
事件B = 浅紫色部分 + 淡红色部分（重合） = A'∩B + A∩B
③ 根据①和②的分析可得，事件B的概率（即事件B的全概率公式）：
- 贝叶斯定理 ： 用于 "由结果反推原因的概率"，即条件概率的逆运算，知P(B|A)得出P(A|B)
分母是全概率公式（事件B的总概率），分子是 "事件A发生且B发生的概率"，从而得到 "已知B发生时，A发生的概率"
公式推理如下：
① 根据条件概率公式可得P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)},那需要求出P(A\cap B)、P(B)这两个概率值，而且已经知道P(B|A)、P(A)等相关条件的值，那可得P(A\cap B) = P(A)*P(B|A)
② 分母P(B)的值就是全概率公式P(B) = P(A\cap B) + P(A'\cap B) = P(A)*P(B|A)+P(A')*P(B|A')
③ 知道P(A|B)的分母和分子，那么直接代入即可得到贝叶斯定理的公式：
P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{P(A)*P(B|A)}{P(A)*P(B|A)+P(A')*P(B|A')}
什么时候使用全概率公式？什么时候使用 贝叶斯定理 ？【应用场景】
全概率公式：已知 "原因的概率" 和 "原因导致结果的概率"，求 "结果的总概率"
贝叶斯定理：已知 "结果发生"，反推 "某原因导致该结果的概率"，适用于 "条件概率顺序相反" 的场景，可结合概率树辅助理解
5.相关事件、独立事件
① 相关事件
-
**指标定义：**若事件间互有影响，则为相关事件，即P(A|B) ≠ P(A)【事件 B 的发生会改变事件 A 的概率】
-
案例分析：（一轮游戏）共有白球和黑球共30个，其中黑球有18个，白球有12个。在黑球中，数字为奇数有10个，偶数的有8个。那么P(偶|黑) = 8/18 = 4/9；而P(偶) = 18/30 = 3/5，即 P(偶|黑) ≠ P(偶) → 相关事件
② 独立事件
-
指标定义： 若事件间互不影响，则为独立事件，即P(A|B) = P(A)，且满足
-
案例分析：（两轮有放回摸球）共有白球和黑球共30个，其中黑球有18个，白球有12个。在黑球中，数字为奇数有10个，偶数的有8个。P(黑|黑) =（P(黑)*P(黑)）/P(黑) = P(黑) = 3/5；第一轮的结果不影响第二轮的结果，则P(黑) = 3/5；即 P(黑|黑) = P(黑) → 独立事件
互斥与独立的关系：
若 A、B 是互斥事件
若 A、B 是独立事件
③ 案例分析
五、离散概率分布的应用
1.概率分布、期望、方差
| 概念 | 定义与说明 |
|---|---|
| 随机变量（X/Y） | 可取一系列数值的变量，每个数值对应特定概率，用大写字母表示（如X或Y） |
| 变量值（x/y） | 随机变量的特定取值，用小写字母表示（如x或y）,P(X=x)则表示"变量X取特定数值x的概率" |
| 概率分布表 | 列出随机变量所有可能取值及对应概率的表格（如下图所示） |
【补充说明：维恩图和概率树在计算概率时很有用；但对于概率分布来说，所有概率都早已计算好了】
本章期望、 方差 、 标准差 针对的对象是：离散型随机变量（还没发生，描述所有可能性，有概率信息）
① 期望E(X)
-
指标定义： 离散型随机变量在大量重复试验下的平均结果，反映取值的集中趋势，通常写成E(X)或u，即均值
-
计算公式：
-
**案例分析：**如上面那张图表所例，它的期望值计算如下：（说明通过n次的抽取，抽到结果的均值为2.95）
② 方差 Var(X)
-
指标定义： 随机变量取值与期望距离的平方的加权平均，反映离散性，通常写成Var(X)
-
计算公式：
-
**指标意义：**方差反映随机变量取值的离散程度，其大小对应不同的波动特征
方差 越大→取值分布越分散，偏离均值的幅度大→收益 / 观测值 波动性强
方差 越小→取值越集中于均值附近→波动性低→系统稳定性高
-
**案例分析：**如上面那张图表所例，它的方差值计算如下：
公式推理如下：
【1】 随机变量的方差本质是"加权平均" ，而非样本数据的"算术平均"。样本数据的"除以 n"，是因为样本数据的 "权重" 是 "等权重"（每个数据的重要性相同），且权重和为n；而随机变量的 "概率" 是 "归一化权重"（和为1），加权求和后直接就是 "平均"，无需额外除法
【2】 P(X=(x-u)^2)和P(X=x)是一一对应的（即相同），原因是：当随机变量X取某一特定值(如x=1)，其概率 P(X=1)是确定的；而(x-u)^2由x唯一决定（如x=1对应唯一的（1-u)^2)。
离散型随机变量 与 样本数据 的 标准差 和 方差 的核心区别：
样本数据本质： 度量 "实际数据与均值的距离"，是算术平均（等权重，需除以数据量 n）【实际的结果，即已经发生，是具体数值】
离散随机本质： 度量 "特定数值的概率分散情况"，是加权平均（概率为归一化权重，和为 1，无需额外除法）【还没发生，描述所有可能性，有概率信息】
③ 线性变换 **：**当变量X按照aX+b的形式发生变换（a,b为常数），其计算方式如下：
期望：E(aX+b) =aE(X)+b
方差：Var(aX+b)=a^2Var(X)【常数b不影响离散程度】
2.独立观测值、线性组合
① 独立 观测值
-
指标定义：（以 "赌局" 为例）在同一台赌博机上连续玩多局赌局时：
-
每一局称为一个事件，每一局的结果称为一个独立观测值（记为X_i）
-
每个观测值的期望和方差相同（因为每局独立且基于同一台赌博机，概率分布一致）
-
观测值数值有差别（每局结果不确定，收益不会完全一样），但概率分布完全相同
-
-
计算方法：
E(X_1+X_2+...+X_n) =nE(X)
Var(X_1+X_2+...+X_n) =nVar(X)
公式推理如下：
E(X_1+X_2+...+X_n) = E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n)=E(X)+E(X)+...+E(X)=nE(X)
Var(X_1+X_2+...+X_n) = Var(X_1)+Var(X_2)+...+Var(X_n)=...=nVar(X)
E(X1+X2)与E(2X)的区别：【看似相似，其实不然，它们是两个概念】
E(2X) ：对同一个变量的数值进行 "翻倍" 操作后求期望，变量只有一个，是数值层面的缩放
E(X1+X2)：观测两个独立的同分布结果后求综合期望，是两个独立事件的结果叠加，代表多局试验的总期望
**案例分析：**假设随机变量 X 的期望为E(X) = u，方差为 Var(X) = \sigma^2
E(2X) = 2E(X) = 2u ；Var(2X) = 4Var(X) = 4 * \sigma^2
E(X1+X2) = E(X1) +E(X2) = 2u ；Var(X1+X2) = Var(X1) + Var(X2) = 2 * \sigma^2
从期望结果看，二者在数值上相等；但从概念本质看，2X 是 "单个变量的数值缩放"，X1+X2 是 "两个独立变量的结果叠加"，逻辑完全不同
从 方差 结果看，更能体现二者的本质差异
② 多随机变量的线性组合
-
指标定义：（以 "赌局" 为例）在两台不同规则的赌博机上各玩一局赌局时：
-
两台赌博机规则不同，导致各自的随机分布存在差异，即分别具有不同的期望和 方差
-
两台赌博机的赌局结果互不影响，因此两局游戏是相互独立的随机变量
-
-
计算公式：
E(X+Y) = E(X)+E(Y)、E(X-Y) = E(X)-E(Y)
E(aX+bY) = aE(X)+bE(Y)、E(aX-bY) = aE(X)-bE(Y)
Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)、Var(X-Y) = Var(X)+Var(Y)
Var(aX+bY) = a\^2Var(X)+b\^2Var(Y)、Var(aX-bY) = a\^2Var(X)+b\^2Var(Y)
- 方差 加法仅适用于独立随机变量
如果X和丫相互不独立，则 Var(X+Y) ≠ Var(X) + Var(Y)
- 若将两个随机变量相减，则 方差 要相加
独立随机变量做减法运算，方差依然增大；变异性只会增加，不会减少
附：E(X-Y)有点儿像在说"你所期望的X与Y的差别"，而Var(X-Y)则指出方差
结束语
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