正交矩阵（Orthogonal Matrix）
1. 定义
一个实矩阵 (Q∈Rn×n)(Q \in \mathbb{R}^{n \times n})(Q∈Rn×n) 称为正交矩阵（orthogonal matrix） ，
如果它满足：
Q⊤Q=QQ⊤=I Q^\top Q = QQ^\top = I Q⊤Q=QQ⊤=I
其中：
- (Q⊤)(Q^\top)(Q⊤) 表示(Q)(Q)(Q) 的转置；
- (I)(I)(I) 是单位矩阵。
换句话说，正交矩阵的转置等于它的逆矩阵：
Q−1=Q⊤ Q^{-1} = Q^\top Q−1=Q⊤
2. 几何意义
正交矩阵对应一种长度和角度保持不变的线性变换：
- 它可以表示 旋转（rotation） 或 反射（reflection）；
- 向量经过正交矩阵变换后，长度不变、夹角不变。
例如，对任意向量 (x)：
∣Qx∣=∣x∣ |Qx| = |x| ∣Qx∣=∣x∣
3. 列向量性质
正交矩阵的列向量（或行向量）两两正交且为单位长度：
qi⊤qj={1,i=j 0,i≠j q_i^\top q_j = \begin{cases} 1, & i = j \ 0, & i \neq j \end{cases} qi⊤qj={1,i=j 0,i=j
4. 示例
二维旋转矩阵
Q=cosθ−sinθ sinθcosθ Q = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} Q=cosθ−sinθ sinθcosθ
验证：
Q⊤Q=cos2θ+sin2θ0 0cos2θ+sin2θ=I Q^\top Q = \begin{bmatrix} \cos^2\theta + \sin^2\theta & 0 \ 0 & \cos^2\theta + \sin^2\theta \end{bmatrix} = I Q⊤Q=cos2θ+sin2θ0 0cos2θ+sin2θ=I
因此 (Q) 是正交矩阵。
二维反射矩阵
R=10 0−1 R = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix} R=10 0−1
验证：
R⊤R=I,det(R)=−1 R^\top R = I, \quad \det(R) = -1 R⊤R=I,det(R)=−1
因此 ® 也是正交矩阵，对应关于 (x) 轴的反射。
5. 重要性质
-
保持内积 ：
(Qx)⊤(Qy)=x⊤y (Qx)^\top(Qy) = x^\top y (Qx)⊤(Qy)=x⊤y -
保持长度与角度 ：
∣Qx∣=∣x∣,cos∠(Qx,Qy)=cos∠(x,y) |Qx| = |x|, \quad \cos\angle(Qx,Qy) = \cos\angle(x,y) ∣Qx∣=∣x∣,cos∠(Qx,Qy)=cos∠(x,y) -
行列式 ：
det(Q)=±1 \det(Q) = \pm 1 det(Q)=±1
- (+1)(+1)(+1)：旋转矩阵
- (−1)(-1)(−1)：反射矩阵
6. 反射矩阵与正交矩阵关系
反射矩阵可写为：
R=I−2nn⊤ R = I - 2nn^\top R=I−2nn⊤
其中 (n) 是单位法向量。验证：
R⊤R=I,det(R)=−1 R^\top R = I, \quad \det(R) = -1 R⊤R=I,det(R)=−1
所以反射矩阵也是正交矩阵的一种。
7. 总结
- 核心特征 ：转置等于逆矩阵 (Q−1=Q⊤)(Q^{-1}=Q^\top)(Q−1=Q⊤)；
- 几何意义：保持长度和角度；
- 行列式：+1 表示旋转，−1 表示反射；
- 列向量：单位正交；
- 常见正交矩阵：旋转矩阵、反射矩阵、置换矩阵、单位矩阵等。