线性代数 - 线性方程组的原始解法（高斯消元法）

线性代数 - 线性方程组的原始解法（高斯消元法）

flyfish

线性方程组

方程组：{2x1+x2+x3=1(1)4x1+3x2+3x3=2(2)8x1+7x2+9x3=6(3)即 Ax=b, A=[211433879], b=[126] \text{方程组：}\begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 = 1 \quad (1) \\ 4x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 2 \quad (2) \\ 8x_1 + 7x_2 + 9x_3 = 6 \quad (3) \end{cases} \quad \text{即}\ \mathbf{Ax}=\mathbf{b},\ \mathbf{A}=\begin{bmatrix}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{bmatrix},\ \mathbf{b}=\begin{bmatrix}1\\2\\6\end{bmatrix} 方程组：⎩ ⎨ ⎧2x1+x2+x3=1(1)4x1+3x2+3x3=2(2)8x1+7x2+9x3=6(3)即 Ax=b, A= 248137139 , b= 126

高斯消元法

逐步消去未知数的系数

增广矩阵

增广矩阵是把线性方程组的系数矩阵 和常数项向量"拼在一起"形成的新矩阵，目的是让"系数"和"常数"同步进行行变换，避免分开操作出错。

{2x1+x2+x3=1(常数项1)4x1+3x2+3x3=2(常数项2)8x1+7x2+9x3=6(常数项6) \begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 = 1 \quad (\text{常数项1}) \\ 4x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 2 \quad (\text{常数项2}) \\ 8x_1 + 7x_2 + 9x_3 = 6 \quad (\text{常数项6}) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧2x1+x2+x3=1(常数项1)4x1+3x2+3x3=2(常数项2)8x1+7x2+9x3=6(常数项6)

系数矩阵A\mathbf{A}A（只放未知数的系数）：[211433879]\begin{bmatrix}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{bmatrix} 248137139

常数项向量b\mathbf{b}b（只放等号右边的数）：[126]\begin{bmatrix}1\\2\\6\end{bmatrix} 126

把两者用竖线隔开，拼在一起就是增广矩阵 ：

A∣b\]=\[211143328796\] \[\\mathbf{A}\|\\mathbf{b}\] = \\left\[\\begin{array}{ccc\|c} 2 \& 1 \& 1 \& 1 \\\\ % 第1行：系数+常数项1 4 \& 3 \& 3 \& 2 \\\\ % 第2行：系数+常数项2 8 \& 7 \& 9 \& 6 % 第3行：系数+常数项6 \\end{array}\\right\] \[A∣b\]= 248137139126 竖线左边是"未知数的系数"，右边是"等号后的常数"，这样后续做行变换时，系数和常数能同步变化，保证方程组的等价性（比如"给第1行乘2"，系数和常数会一起乘2，方程依然成立） ### 原始解法：高斯消元法（直接求解） 通过**行变换** 将增广矩阵\[A∣b\]\[\\mathbf{A}\|\\mathbf{b}\]\[A∣b\]转化为上三角矩阵，再回代求解。 #### 一、：构造增广矩阵并消元（转化为上三角） 增广矩阵： \[A∣b\]=\[211143328796\] \[\\mathbf{A}\|\\mathbf{b}\] = \\left\[\\begin{array}{ccc\|c} 2 \& 1 \& 1 \& 1 \\\\ 4 \& 3 \& 3 \& 2 \\\\ 8 \& 7 \& 9 \& 6 \\end{array}\\right\] \[A∣b\]= 248137139126 消去第2、3行的x1x_1x1： 行2 = 行2 - 2×行1 → \[211101108796\]\\left\[\\begin{array}{ccc\|c}2\&1\&1\&1\\\\0\&1\&1\&0\\\\8\&7\&9\&6\\end{array}\\right\] 208117119106 行3 = 行3 - 4×行1 → \[211101100352\]\\left\[\\begin{array}{ccc\|c}2\&1\&1\&1\\\\0\&1\&1\&0\\\\0\&3\&5\&2\\end{array}\\right\] 200113115102 消去第3行的x2x_2x2： 行3 = 行3 - 3×行2 → \[211101100022\]\\left\[\\begin{array}{ccc\|c}2\&1\&1\&1\\\\0\&1\&1\&0\\\\0\&0\&2\&2\\end{array}\\right\] 200110112102 （上三角增广矩阵） #### 二、回代求解 由第3行：2x3=2  ⟹  x3=12x_3=2 \\implies x_3=12x3=2⟹x3=1 代入第2行：x2+1=0  ⟹  x2=−1x_2 + 1=0 \\implies x_2=-1x2+1=0⟹x2=−1 代入第1行：2x1−1+1=1  ⟹  x1=0.52x_1 -1 +1=1 \\implies x_1=0.52x1−1+1=1⟹x1=0.5