线性代数 - 线性方程组的原始解法（高斯消元法）

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线性方程组

方程组：{2x1+x2+x3=1(1)4x1+3x2+3x3=2(2)8x1+7x2+9x3=6(3)即 Ax=b, A= $211433879$ , b= $126$ \text{方程组：}\begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 = 1 \quad (1) \\ 4x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 2 \quad (2) \\ 8x_1 + 7x_2 + 9x_3 = 6 \quad (3) \end{cases} \quad \text{即}\ \mathbf{Ax}=\mathbf{b},\ \mathbf{A}=\begin{bmatrix}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{bmatrix},\ \mathbf{b}=\begin{bmatrix}1\\2\\6\end{bmatrix} 方程组：⎩ ⎨ ⎧2x1+x2+x3=1(1)4x1+3x2+3x3=2(2)8x1+7x2+9x3=6(3)即 Ax=b, A= 248137139 , b= 126

高斯消元法

逐步消去未知数的系数

增广矩阵

增广矩阵是把线性方程组的系数矩阵 和常数项向量"拼在一起"形成的新矩阵，目的是让"系数"和"常数"同步进行行变换，避免分开操作出错。

{2x1+x2+x3=1(常数项1)4x1+3x2+3x3=2(常数项2)8x1+7x2+9x3=6(常数项6) \begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 = 1 \quad (\text{常数项1}) \\ 4x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 2 \quad (\text{常数项2}) \\ 8x_1 + 7x_2 + 9x_3 = 6 \quad (\text{常数项6}) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧2x1+x2+x3=1(常数项1)4x1+3x2+3x3=2(常数项2)8x1+7x2+9x3=6(常数项6)

系数矩阵A\mathbf{A}A（只放未知数的系数）： $211433879$ \begin{bmatrix}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{bmatrix} 248137139

常数项向量b\mathbf{b}b（只放等号右边的数）： $126$ \begin{bmatrix}1\\2\\6\end{bmatrix} 126

把两者用竖线隔开，拼在一起就是增广矩阵 ：
$A∣b$ = $211143328796$ $\\mathbf{A}\|\\mathbf{b}$ = \left $\\begin{array}{ccc\|c} 2 \& 1 \& 1 \& 1 \\\\ % 第1行：系数+常数项1 4 \& 3 \& 3 \& 2 \\\\ % 第2行：系数+常数项2 8 \& 7 \& 9 \& 6 % 第3行：系数+常数项6 \\end{array}\\right$ $A∣b$ = 248137139126

竖线左边是"未知数的系数"，右边是"等号后的常数"，这样后续做行变换时，系数和常数能同步变化，保证方程组的等价性（比如"给第1行乘2"，系数和常数会一起乘2，方程依然成立）

原始解法：高斯消元法（直接求解）

通过行变换 将增广矩阵 $A∣b$ $\\mathbf{A}\|\\mathbf{b}$ $A∣b$ 转化为上三角矩阵，再回代求解。

一、：构造增广矩阵并消元（转化为上三角）

增广矩阵：
$A∣b$ = $211143328796$ $\\mathbf{A}\|\\mathbf{b}$ = \left $\\begin{array}{ccc\|c} 2 \& 1 \& 1 \& 1 \\\\ 4 \& 3 \& 3 \& 2 \\\\ 8 \& 7 \& 9 \& 6 \\end{array}\\right$ $A∣b$ = 248137139126

消去第2、3行的x1x_1x1：

行2 = 行2 - 2×行1 → $211101108796$ \left $\\begin{array}{ccc\|c}2\&1\&1\&1\\\\0\&1\&1\&0\\\\8\&7\&9\&6\\end{array}\\right$ 208117119106

行3 = 行3 - 4×行1 → $211101100352$ \left $\\begin{array}{ccc\|c}2\&1\&1\&1\\\\0\&1\&1\&0\\\\0\&3\&5\&2\\end{array}\\right$ 200113115102

消去第3行的x2x_2x2：

行3 = 行3 - 3×行2 → $211101100022$ \left $\\begin{array}{ccc\|c}2\&1\&1\&1\\\\0\&1\&1\&0\\\\0\&0\&2\&2\\end{array}\\right$ 200110112102 （上三角增广矩阵）

二、回代求解

由第3行：2x3=2 ⟹ x3=12x_3=2 \implies x_3=12x3=2⟹x3=1

代入第2行：x2+1=0 ⟹ x2=−1x_2 + 1=0 \implies x_2=-1x2+1=0⟹x2=−1

代入第1行：2x1−1+1=1 ⟹ x1=0.52x_1 -1 +1=1 \implies x_1=0.52x1−1+1=1⟹x1=0.5