神经网络—— 学习与感知器

神经网络------ 学习与感知器

01 人工神经网络

人工神经网络的核心能力

1. 函数计算能力：通过合理选择网络拓扑结构与权重值，人工神经网络（ANN）可计算任意可计算函数。
2. 经验学习能力 ：通过"试错法"（trial-and-error）从经验中学习，具体流程为：
   • 尝试（Trial）：处理输入以生成输出（从神经网络角度：计算给定输入对应的输出函数）。
   • 评估（Evaluate）：将实际输出与期望输出对比，评估输出效果。
   • 调整（Adjust）：根据评估结果调整网络权重。

感知器（M-P模型）

基本公式

感知器的输出由硬极限函数（hardlim）决定，公式如下：
y=hardlim(u)=hardlim(WX+b)=hardlim(w1,1x1+w1,2x2+θ)y=\text{hardlim}(u)=\text{hardlim}(WX+b)=\text{hardlim}\left(w_{1,1}x_{1}+w_{1,2}x_{2}+\theta\right)y=hardlim(u)=hardlim(WX+b)=hardlim(w1,1x1+w1,2x2+θ)

（其中WWW为权重矩阵，XXX为输入向量，bbb为偏置，θ\thetaθ为阈值，此处b=θb=\thetab=θ）

单层神经网络

• 左侧神经元（a₁、a₂、a₃）：仅具备输入功能，不参与计算。
• 右侧神经元 ：计算神经元，通过激活函数处理输入与权重的乘积和，公式为：
  z=g(a1⋅wa+a2⋅wb+a3⋅wc)z=g(a_1 \cdot w_a + a_2 \cdot w_b + a_3 \cdot w_c)z=g(a1⋅wa+a2⋅wb+a3⋅wc)
  （ggg为激活函数，wa、wb、wcw_a、w_b、w_cwa、wb、wc为对应输入的权重）

简单神经网络的局限性（以感知器为例）

1. 核心局限（明斯基与佩珀特，1969年提出） ：
   感知器仅能构建线性判别函数，即仅能对可通过直线或超平面分割的类别进行分类。
2. 非线性问题无法解决 ：
   多数实际函数具有非线性特征（或数据不可线性分割），单层感知器无法处理此类问题。典型案例为异或（XOR）逻辑运算，其真值表如下：

输入x₁	输入x₂	输出y
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

3. 解决方案 ：引入多层神经网络（含隐藏层），通过多个神经元的组合实现非线性分类（如异或运算需至少2个神经元协同工作）。

多层神经网络结构

1. 双层神经网络

• 包含输入层、隐藏层、输出层，其中"双层"指2个激活层（隐藏层+输出层）。
• 输入节点（I₁、I₂、I₃、I₄）接收外部信号，传递至隐藏节点，隐藏节点经计算后将信号传递至输出节点（O₁）。

2. 三层神经网络

• 结构：输入层→隐藏层1→隐藏层2→输出层，通过多隐藏层进一步增强非线性拟合能力。

3. 多层前馈神经网络（Multi-layer Feed-forward ANNs）

• 单输出感知器（M-P模型）：输入层直接连接单输出层，仅含输入层与输出层。
• 多输出感知器（罗森布拉特提出） ：输入层连接多输出层（如Z₁、Z₂），每个输出对应独立的权重计算，公式为：
  z1=g(a1⋅w1+a2⋅w2+a3⋅w3)z_1=g(a_1 \cdot w_1 + a_2 \cdot w_2 + a_3 \cdot w_3)z1=g(a1⋅w1+a2⋅w2+a3⋅w3)
  z2=g(a1⋅w4+a2⋅w5+a3⋅w6)z_2=g(a_1 \cdot w_4 + a_2 \cdot w_5 + a_3 \cdot w_6)z2=g(a1⋅w4+a2⋅w5+a3⋅w6)
• 权重表示规则 ：用Wx,yW_{x,y}Wx,y表示权重，其中xxx为前一层神经元编号，yyy为后一层神经元编号，神经元编号按"从上到下"顺序排列。

多层前馈神经网络的发展（1969-1984年）

• 核心突破 ：引入隐藏层节点，允许使用非线性激活函数，使神经网络具备非线性分类能力。
• 激活函数改进 ：采用可微的非线性函数（如Sigmoid函数f(a)=11+e−af(a)=\frac{1}{1+e^{-a}}f(a)=1+e−a1），输出连续且非线性质，更贴近真实神经元的信号传递特性。

02 损失函数

基本概念与示例背景

以CIFAR-10数据集（含飞机、鸟、猫、鹿等10类图像）的线性分类器为例，线性分类器的输出公式为：
f(xi;W,b)=Wxi+bf(x_i; W, b)=Wx_i + bf(xi;W,b)=Wxi+b

（WWW为权重矩阵，bbb为偏置，xix_ixi为输入图像的像素数组，CIFAR-10图像为32×32×3的像素矩阵，共3072个像素值，取值范围0-1）

1. 损失函数（Loss Function）

• 定义：基于单个样本计算的误差，用于衡量模型对单个样本的预测偏差。
• 常见类型 ：
  （1）0-1损失函数 ：直接计算预测值与真实值的绝对差，公式为：
  L(f(x),y)=∣f(x)−y∣L(f(x), y)=|f(x)-y|L(f(x),y)=∣f(x)−y∣
  （2）平方损失函数 ：计算预测值与真实值差值的平方，适用于回归任务。
  （3）绝对值损失函数：计算预测值与真实值差值的绝对值，对异常值鲁棒性高于平方损失。

2. 代价函数（Cost Function）

• 定义：基于全部训练样本的平均误差，即所有损失函数的平均值，用于衡量模型在整体训练数据上的偏差。

• 常见类型 ：

  （1）均方误差（MSE） ：适用于回归任务，公式为：
  MSE=1N∑i=1N(y(i)−f(x(i)))2MSE=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left(y^{(i)}-f(x^{(i)})\right)^2MSE=N1∑i=1N(y(i)−f(x(i)))2

  （NNN为训练样本总数，y(i)y^{(i)}y(i)为第iii个样本的真实值，f(x(i))f(x^{(i)})f(x(i))为预测值）

  （2）平均绝对误差（MAE） ：适用于回归任务，公式为：
  MAE=1N∑i=1N∣y(i)−f(x(i))∣MAE=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left|y^{(i)}-f(x^{(i)})\right|MAE=N1∑i=1N y(i)−f(x(i))

  （3）交叉熵代价函数 ：适用于分类任务，衡量真实概率分布p(x(i))p(x^{(i)})p(x(i))与模型预测概率分布q(x(i))q(x^{(i)})q(x(i))的差异，公式为：
  H(p,q)=−∑i=1Np(x(i))log⁡q(x(i))H(p, q)=-\sum_{i=1}^{N}p(x^{(i)})\log q(x^{(i)})H(p,q)=−∑i=1Np(x(i))logq(x(i))

3. 目标函数（Objective Function）

• 定义 ：与代价函数类似，基于全部训练样本的平均误差，但更强调"优化目标"------即需通过调整模型参数（如权重WWW、偏置bbb）最小化的函数。
• 核心目标 ：对从某分布DDD中随机选取的样本(x,y)(x,y)(x,y)，最小化损失函数Loss(f(x),y)Loss(f(x), y)Loss(f(x),y)。
• 实际计算 ：由于未知真实分布DDD，通常用训练数据的平均损失近似目标函数，公式为：
  L(θ)=1n∑i=1nLoss(fθ(xi),yi)L(\theta)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Loss(f_{\theta}(x_i), y_i)L(θ)=n1∑i=1nLoss(fθ(xi),yi)
  （θ\thetaθ为模型参数集合，nnn为训练样本数）

交叉熵损失的解读

1. 惩罚机制 ：对正确标签yyy的预测概率pyp_ypy，惩罚项为−log⁡py-\log p_y−logpy------若预测概率越接近1（预测越准确），惩罚越小；若接近0（预测越错误），惩罚趋近于无穷大。
2. KL散度关联 ：交叉熵可视为KL散度（Kullback-Leibler divergence）的简化形式，用于衡量两个概率分布的"距离"，当真实分布ppp固定时，最小化交叉熵等价于最小化KL散度。

03 罗森布拉特感知器

基本结构与异或运算示例

• 结构组成：输入层（2个神经元，接收XOR的两个输入）、隐藏层（2个神经元，处理非线性转换）、输出层（1个神经元，输出最终结果）。
• 核心逻辑：通过隐藏层对输入进行线性组合，再经输出层整合，实现异或运算的非线性分类（单层感知器无法完成）。

工作流程（以异或运算为例）

1. 初始化 ：随机设置权重www与偏置bbb的初始值。
2. 输入数据：导入异或运算的真值表（如输入(0,0)、(1,0)等）。
3. 循环迭代（试错法） ：
   • 读取输入：如输入(0,0)。
   • 计算输出：通过感知器公式计算预测输出（如0.60543）。
   • 误差对比 ：计算预测输出与期望输出的差值（如Diff=0.60543−0=0.60543Diff=0.60543-0=0.60543Diff=0.60543−0=0.60543）。
   • 调整参数：根据误差修改权重与偏置。
4. 终止条件：达到预设迭代次数，或误差小于设定阈值。

计算示例（学习率η=1）

已知条件

• 输入样本：x1=(4,4)x_1=(4,4)x1=(4,4)（真实标签y1=1y_1=1y1=1）、x2=(4,5)x_2=(4,5)x2=(4,5)（真实标签y2=1y_2=1y2=1）、x3=(1,1)x_3=(1,1)x3=(1,1)（真实标签y3=−1y_3=-1y3=−1）。
• 初始权重与偏置：W(0)=[0,0]W(0)=[0,0]W(0)=[0,0]，b(0)=1b(0)=1b(0)=1。

步骤1：首次分类

• 对x1x_1x1：y1(W0x1+b0)=1×([0,0]⋅[4,4]T+1)=1>0y_1(W_0x_1 + b_0)=1×([0,0]·[4,4]^T +1)=1>0y1(W0x1+b0)=1×([0,0]⋅[4,4]T+1)=1>0，分类正确。
• 对x2x_2x2：y2(W0x2+b0)=1×([0,0]⋅[4,5]T+1)=1>0y_2(W_0x_2 + b_0)=1×([0,0]·[4,5]^T +1)=1>0y2(W0x2+b0)=1×([0,0]⋅[4,5]T+1)=1>0，分类正确。
• 对x3x_3x3：y3(W0x3+b0)=−1×([0,0]⋅[1,1]T+1)=−1<0y_3(W_0x_3 + b_0)=-1×([0,0]·[1,1]^T +1)=-1<0y3(W0x3+b0)=−1×([0,0]⋅[1,1]T+1)=−1<0，分类错误，需更新参数：
  W(1)=W(0)+η⋅y3⋅x3T=[0,0]+1×(−1)×[1,1]T=[−1,−1]W(1)=W(0) + η·y_3·x_3^T = [0,0] + 1×(-1)×[1,1]^T = [-1,-1]W(1)=W(0)+η⋅y3⋅x3T=[0,0]+1×(−1)×[1,1]T=[−1,−1]
  b(1)=b(0)+η⋅y3=1+1×(−1)=0b(1)=b(0) + η·y_3 = 1 + 1×(-1) = 0b(1)=b(0)+η⋅y3=1+1×(−1)=0

步骤2：更新后验证

• 对x3x_3x3：y3(W1x3+b1)=−1×([−1,−1]⋅[1,1]T+0)=2>0y_3(W_1x_3 + b_1)=-1×([-1,-1]·[1,1]^T +0)=2>0y3(W1x3+b1)=−1×([−1,−1]⋅[1,1]T+0)=2>0，分类正确。
• 重新验证x1x_1x1：此时W1x1+b1=[−1,−1]⋅[4,4]T+0=−8W_1x_1 + b_1 = [-1,-1]·[4,4]^T +0 = -8W1x1+b1=[−1,−1]⋅[4,4]T+0=−8，y1×(−8)=−8<0y_1×(-8)=-8<0y1×(−8)=−8<0，分类错误，需再次更新参数：
  W(2)=W(1)+η⋅y1⋅x1T=[−1,−1]+1×1×[4,4]T=[3,3]W(2)=W(1) + η·y_1·x_1^T = [-1,-1] + 1×1×[4,4]^T = [3,3]W(2)=W(1)+η⋅y1⋅x1T=[−1,−1]+1×1×[4,4]T=[3,3]
  b(2)=b(1)+η⋅y1=0+1×1=1b(2)=b(1) + η·y_1 = 0 + 1×1 = 1b(2)=b(1)+η⋅y1=0+1×1=1

步骤3：迭代至收敛

重复上述"验证-更新"过程，直至所有样本分类正确。最终模型为：
f(x)=hardlims(x(1)+x(2)−4)f(x)=\text{hardlims}(x^{(1)} + x^{(2)} -4)f(x)=hardlims(x(1)+x(2)−4)

（hardlims\text{hardlims}hardlims为对称硬极限函数，x(1)、x(2)x^{(1)}、x^{(2)}x(1)、x(2)为输入的两个维度）

04 学习

学习的分类框架

根据训练数据是否含标签，机器学习可分为：监督学习（Supervised Learning） 、无监督学习（Unsupervised Learning） 、半监督学习（Semi-supervised Learning） 、强化学习（Reinforcement Learning）。

一、监督学习

定义

监督学习是机器学习的一种方法，通过构建算法从带标签的训练数据（每个样本为"输入-期望输出"对）中学习，生成推理函数，用于对新样本进行预测或决策，而非遵循固定程序指令。

核心流程

1. 数据准备 ：从历史数据中随机抽样，划分训练集 （用于构建模型）与验证集（用于评估模型性能）。
2. 模型训练：用训练集训练统计模型，通过验证集调整参数。
3. 预测应用：将训练好的模型用于新数据，输出预测结果。

任务类型

1. 回归（Regression）：

   • 目标：预测连续型输出值（如房价、股票价格）。
   • 示例：通过房屋面积（输入）预测房价（输出），假设函数为线性函数hθ(x)=θ0+θ1xh_\theta(x)=\theta_0+\theta_1xhθ(x)=θ0+θ1x（θ0、θ1\theta_0、\theta_1θ0、θ1为参数）。
   • 核心：最小化预测值与真实值的误差（如均方误差J(θ0,θ1)=∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2J(\theta_0,\theta_1)=\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2J(θ0,θ1)=∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2）。

2. 分类（Classification）：

   • 目标：将输出划分为离散类别（如肿瘤良性/恶性、邮件垃圾/非垃圾）。
   • 示例：通过肿瘤大小与患者年龄（输入）判断肿瘤类型（输出），常见算法包括逻辑回归、支持向量机（SVM）、感知器等。

关键算法与发展历程

1. 核心算法：

   • 回归：线性回归、岭回归（Ridge Regression）、LASSO回归。
   • 分类：逻辑回归、SVM、感知器、卷积神经网络（CNN）、循环神经网络（RNN/LSTM）、决策树（ID3、C4.5、CART）、集成算法（随机森林、AdaBoost、GBDT、XGBoost）。
   • 其他：K近邻（KNN）、朴素贝叶斯分类器、贝叶斯网络。

2. 发展时间线：

   • 1950s：感知器、线性分类器。
   • 1960s：KNN、贝叶斯判别分析。
   • 1980s：反向传播（Back Propagation）、决策树（ID3、CART）。
   • 1990s：SVM、C4.5、随机森林。
   • 2000s后：LSTM、AdaBoost、GBDT、XGBoost。

重要算法详解

1. 逻辑回归（Logistic Regression）

• 本质：线性分类算法，用于二分类任务（如"通过/失败""健康/患病"）。

• 核心公式：

  • 线性模型：z=θTx+θ0z=\theta^T x + \theta_0z=θTx+θ0（θ\thetaθ为权重向量，θ0\theta_0θ0为偏置）。
  • Sigmoid激活函数：将线性输出映射到[0,1]区间（概率值），公式为：
    ϕ(z)=11+e−z\phi(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}ϕ(z)=1+e−z1
  • 最终假设函数：
    hθ(x)=11+e−(θTx+θ0)h_\theta(x)=\frac{1}{1+e^{-(\theta^T x + \theta_0)}}hθ(x)=1+e−(θTx+θ0)1
  • 分类规则：若hθ(x)≥0.5h_\theta(x)≥0.5hθ(x)≥0.5，预测y=1y=1y=1（正类）；若hθ(x)<0.5h_\theta(x)<0.5hθ(x)<0.5，预测y=0y=0y=0（负类）。

• 损失函数与参数优化：

  • 损失函数（交叉熵损失）：
    cost(hθ(x),y)={−log⁡(hθ(x))if y=1−log⁡(1−hθ(x))if y=0cost(h_\theta(x), y)= \begin{cases} -\log(h_\theta(x)) & \text{if } y=1 \\ -\log(1-h_\theta(x)) & \text{if } y=0 \end{cases}cost(hθ(x),y)={−log(hθ(x))−log(1−hθ(x))if y=1if y=0
  • 代价函数：
    J(θ)=1m∑i=1mcost(hθ(x(i)),y(i))J(\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m cost(h_\theta(x^{(i)}), y^{(i)})J(θ)=m1∑i=1mcost(hθ(x(i)),y(i))
  • 参数优化：通过梯度下降法最小化J(θ)J(\theta)J(θ)，更新公式为：
    θj=θj−α∂∂θjJ(θ)(j=0,1,...,n)\theta_j = \theta_j - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_j}J(\theta) \quad (j=0,1,...,n)θj=θj−α∂θj∂J(θ)(j=0,1,...,n)
    （α\alphaα为学习率，控制每次参数更新的步长）

2. 支持向量机（SVM）

• 核心思想 ：在样本空间中找到最大间隔分割超平面，使不同类别的样本被超平面分割，且样本到超平面的间隔最大（间隔由"支持向量"------离超平面最近的样本------决定）。
• 超平面公式 ：wTx+b=0w^T x + b = 0wTx+b=0（www为法向量，决定超平面方向；bbb为位移项，决定超平面与原点的距离）。
• 分类规则 ：对样本(x(i),y(i))(x^{(i)}, y^{(i)})(x(i),y(i))（y(i)∈{−1,1}y^{(i)}∈\{-1,1\}y(i)∈{−1,1}），若wTx(i)+b>0w^T x^{(i)} + b > 0wTx(i)+b>0，预测y(i)=1y^{(i)}=1y(i)=1；若wTx(i)+b<0w^T x^{(i)} + b < 0wTx(i)+b<0，预测y(i)=−1y^{(i)}=-1y(i)=−1。
• 非线性问题处理 ：通过核函数（如RBF核）将非线性可分数据映射到高维空间，使其线性可分，公式为：
  f(x)=wTϕ(x)+bf(x)=w^T \phi(x) + bf(x)=wTϕ(x)+b
  （ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)为映射函数，将输入xxx映射到高维特征空间）

二、无监督学习

定义

无监督学习使用无标签样本进行训练，算法通过挖掘数据自身的内在结构（如聚类、降维）获取知识，无需人工提供"正确答案"。

核心任务与算法

1. 聚类（Clustering）：

   • 目标：将相似样本划分为同一簇，不同样本划分为不同簇。
   • 常见算法：K均值聚类（K-means）、DBSCAN、层次聚类（Hierarchical Clustering）、谱聚类（Spectral Clustering）、均值漂移（Mean Shift）。

2. 降维（Dimensionality Reduction）：

   • 目标：在保留数据关键信息的前提下，减少特征维度，简化计算并避免"维度灾难"。
   • 常见算法：主成分分析（PCA）、核主成分分析（KPCA）、局部线性嵌入（LLE）、t分布随机邻域嵌入（t-SNE）。

关键算法详解

1. K均值聚类（K-means）

• 核心逻辑 ：将nnn个样本划分为kkk个簇，使每个样本属于离其最近的簇中心（通过相似度度量，如欧氏距离、曼哈顿距离），并最小化簇内样本与簇中心的平方误差。

• 平方误差公式 ：
  E=∑i=1k∑x∈Ci∥x−μi∥2E=\sum_{i=1}^k \sum_{x \in C_i} \|x - \mu_i\|^2E=∑i=1k∑x∈Ci∥x−μi∥2

  （CiC_iCi为第iii个簇，μi\mu_iμi为CiC_iCi的均值向量，EEE越小，簇内样本相似度越高）

• 算法步骤：

  1. 随机选择kkk个样本作为初始簇中心μ1,μ2,...,μk\mu_1, \mu_2, ..., \mu_kμ1,μ2,...,μk。
  2. 计算每个样本到各簇中心的距离，将样本分配至最近的簇。
  3. 对每个簇，重新计算簇中心（簇内所有样本的均值）。
  4. 重复步骤2-3，直至迭代次数达到最大值，或前后两次簇中心的差异小于设定阈值。

2. 主成分分析（PCA）

• 核心思想：通过线性变换将高维数据映射到低维空间，使映射后的数据（主成分）保留原数据的最大方差（即"最大可分性"），且各主成分正交。

• 关键性质：

  • 最近重构性：样本到低维超平面的距离尽可能小。
  • 最大可分性：样本在低维超平面上的投影尽可能分散。

• 算法步骤：

  1. 数据中心化 ：对所有样本进行预处理，消除量纲影响，公式为：
     xi←xi−1m∑i=1mxix_i \leftarrow x_i - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x_ixi←xi−m1∑i=1mxi
     （mmm为样本数，1m∑i=1mxi\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x_im1∑i=1mxi为样本均值）
  2. 计算协方差矩阵 ：计算中心化后样本的协方差矩阵XXTXX^TXXT（XXX为样本矩阵）。
  3. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值与对应的特征向量。
  4. 选择主成分 ：选取前d′d'd′个最大特征值对应的特征向量w1,w2,...,wd′w_1, w_2, ..., w_{d'}w1,w2,...,wd′（d′d'd′为低维空间维度，通过交叉验证确定）。
  5. 输出投影矩阵 ：投影矩阵W∗=(w1,w2,...,wd′)W^*=(w_1, w_2, ..., w_{d'})W∗=(w1,w2,...,wd′)，用于将高维样本映射到低维空间。

监督学习与无监督学习的对比

对比维度	监督学习	无监督学习
样本标签	含明确标签（已知正确输出）	无标签（未知正确输出）
核心目标	学习"输入-输出"映射关系，用于预测	挖掘数据内在结构（如聚类、降维）
典型任务	分类、回归	聚类、降维
示例	通过人脸图像（输入）分类年龄（输出）	对无标签的用户行为数据进行聚类