数据分析笔记04：抽样方法与抽样分布

总体分类

在进行抽样之前，需要理解总体的分类方式。

有限总体

定义：总体范围明确，总体单位数量有限。

典型实例：

区域研究：北京市海淀区所有7岁男孩的身高。
人口普查：全国14.44亿人口数据。
产品批次：某一批次生产的灯泡使用寿命。
公司人员：全班学生的身高数据。

无限总体

定义：总体范围不明确，总体单位数目无限。

典型实例：

工厂产品：某工厂生产的所有灯泡（过去、现在、未来）。
银行服务：某网点所有办理业务的客户。
网店经营：未来10日内进店消费的所有顾客。

简单随机抽样

基本概念

简单随机样本：样本中的每一个个体都以相等的概率从总体中被抽出。

有限总体抽样

从容量为N的有限总体中抽取容量为n的样本，可分为两种方式。

有放回与无放回抽样

经典例子：5个小球（4红1白）。

有放回抽样：

第一次抽取红球概率：4/5。
将球放回后，第二次抽取红球概率：仍为4/5。
特点：每次抽取概率不变。

无放回抽样：

第一次抽取红球概率：4/5。
第二次抽取红球概率：3/4。
特点：每次抽取概率会发生变化。

无限总体抽样

满足条件：

同一总体：样本中每个个体都来自同一总体。
独立性：每个个体的抽取都是相互独立的。

实例：餐厅满意度调查。

总体：未来10日内进店消费的所有顾客。
样本：前100名顾客。
特点：顾客之间相互无关联，满足独立性。

Excel实现方法

方法一：RANDBETWEEN函数

操作步骤：

使用=RANDBETWEEN(1,2500)生成随机编号。
拉取所需样本数量。
复制→选择性粘贴→数值（固定随机数）。
使用VLOOKUP函数匹配对应数据。

VLOOKUP公式：
= VLOOKUP(查找值, 数据范围, 列号, 0) =\text{VLOOKUP(查找值, 数据范围, 列号, 0)} =VLOOKUP(查找值, 数据范围, 列号, 0)

方法二：数据分析工具

启用步骤：

文件→选项→加载项。
勾选"分析工具库"→转到→确定。
数据选项卡→数据分析→抽样。

抽样设定：

输入范围：选择数据范围。
抽样方法：随机。
样本数：输入所需数量。
输出区域：选择结果位置。

分层抽样

分层抽样原理

核心思想：将总体分成不同层组，每个个体属于并且仅属于其中某一层组。

分层原则

核心要求：相同性质的个体放在同一层级。

年龄层次划分实例

层级	年龄范围	特征
少年组	10-20岁	年龄相近，消费习惯相似
青年组	21-35岁	购买能力强，新潮偏好
中年组	36-60岁	稳定收入，理性消费
老年组	60岁以上	节约倾向，质量导向

部门层次划分实例

市场部：对市场趋势敏感。
行政部：注重流程和效率。
财务部：关注成本和收益。
技术部：重视创新和效能。

抽样方式

等比例抽样

公式：层级i的抽样数 = (层级i的人数 / 总人数) × 总抽样数。

等量抽样

方法：每个层级抽取相同数量的样本。

整群抽样

整群抽样原理

核心思想：将总体分成若干群组，每个群组都具有对总体的代表性。

与分层抽样的区别

比较项目	分层抽样	整群抽样
群组内部	相同性质个体	包含所有总体特征
抽样方式	每层都抽取	随机选择整个群
代表性	层内独特性	群内全面性

实例说明

情景：100个人，10-60岁各年龄段都有。

整群划分：

第1群：包含10-60岁所有年龄段的人。
第2群：包含10-60岁所有年龄段的人。
第3群：包含10-60岁所有年龄段的人。
第4群：包含10-60岁所有年龄段的人。

抽样方法：随机选择其中一个群作为样本。

系统抽样

系统抽样原理

核心步骤：

随机排列编码所有个体。
将总体分成k个等长区间。
从第一区间随机选择起始点。
按固定间隔选取后续样本。

计算公式

间隔计算：
k = N n k = \frac{N}{n} k=nN

实例说明

情景：从100人中抽取5人。

操作步骤：

间隔计算：k = 100/5 = 20。
区间划分：[1-20], [21-40], [41-60], [61-80], [81-100]。
第一区间随机选择：假设选中3。
按间隔选择：3, 23, 43, 63, 83。

优势：操作简单，样本分布均匀。

点估计

点估计定义

点估计：用样本统计量来估计总体参数的方法。

常见对应关系

总体参数	样本统计量	符号表示
总体平均数	样本平均数	μ ← \bar{X}
总体标准差	样本标准差	σ ← s
总体比例	样本比例	p ← \hat{p}
总体方差	样本方差	σ² ← s²

点估计特点

主要优势：

计算简单，结果明确。
提供具体数值估计。
易于理解和解释。

主要局限：

无法提供估计精度信息。
不同样本可能得到不同结果。
无法量化估计的不确定性。

抽样分布

抽样分布概念

定义：所有可能的样本统计量值的概率分布。

建立过程

步骤说明：

从总体中抽取第1个样本 → 计算\bar{X}_1。
从总体中抽取第2个样本 → 计算\bar{X}_2。
重复过程......
从总体中抽取第k个样本 → 计算\bar{X}_k。
所有\bar{X}_1, \bar{X}_2, ..., \bar{X}_k构成抽样分布。

EAI公司实例

背景信息：

总体：2500名管理人员。
样本大小：每次抽取30人。
抽样次数：500次。
总体平均薪资：51800美元。
总体标准差：4000美元。

抽样分布特征：

分布形态：近似正态分布。
中心位置：51800美元附近。
绝大多数样本平均数集中在中心附近。

抽样分布的数学特征

数学期望

基本公式：
E ( X ˉ ) = μ E(\bar{X}) = \mu E(Xˉ)=μ

重要结论：样本平均数的数学期望等于总体平均数。

标准误差

标准误差是所有点估计的标准差，用于衡量估计的稳定性。

有限总体

σ X ˉ = σ n × N − n N − 1 \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} σXˉ=n σ×N−1N−n

略简条件：当n/N ≤ 0.05时，可使用简化公式。

无限总体

σ X ˉ = σ n \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} σXˉ=n σ

实例计算

EAI公司标准误差计算：

n/N = 30/2500 = 1.2%。
由于1.2% < 5%，可用简化公式。
\sigma_{\bar{X}} = 4000 / \sqrt{30} = 730.3美元。

抽样分布的形态

总体服从正态分布

结论：当总体服从正态分布时，无论样本大小多少，\bar{X}的抽样分布都服从正态分布。

中心极限定理

适用条件：总体不服从正态分布。

核心结论：当样本大小足够大时，无论总体服从什么分布，\bar{X}的抽样分布都近似正态分布。

样本大小指引

总体分布状态	建议样本大小
一般情况	n ≥ 30
严重偏态	n ≥ 50
正态分布	任意大小

中心极限定理图示

不同总体分布在不同样本大小下的变化：

样本大小	均匀分布	双峰分布	指数分布
n = 2	不对称	不对称	严重右偏
n = 5	轻微不对称	开始对称	右偏减少
n = 30	近似正态	近似正态	近似正态

重要结论：当n=30时，不管总体分布如何，抽样分布都近似正态分布。

抽样分布的应用

概率计算实例

问题设定：EAI人事部认为样本平均数在51800±500美元范围内才是合理估计。

问题：随机抽取30名管理人员，样本平均数落在可接受范围的概率是多少？

解题步骤

步骤1：标准化转换

可接受范围：[51300, 52300]。

标准化计算：
Z 1 = 51300 − 51800 730.3 = − 0.68 Z_1 = \frac{51300 - 51800}{730.3} = -0.68 Z1=730.351300−51800=−0.68
Z 2 = 52300 − 51800 730.3 = 0.68 Z_2 = \frac{52300 - 51800}{730.3} = 0.68 Z2=730.352300−51800=0.68

步骤2：概率计算

Excel函数计算：
P ( Z ≤ 0.68 ) = NORM.S.DIST(0.68, TRUE) = 0.7523 P(Z \leq 0.68) = \text{NORM.S.DIST(0.68, TRUE)} = 0.7523 P(Z≤0.68)=NORM.S.DIST(0.68, TRUE)=0.7523
P ( Z ≤ − 0.68 ) = NORM.S.DIST(-0.68, TRUE) = 0.2468 P(Z \leq -0.68) = \text{NORM.S.DIST(-0.68, TRUE)} = 0.2468 P(Z≤−0.68)=NORM.S.DIST(-0.68, TRUE)=0.2468

区间概率：
P ( − 0.68 ≤ Z ≤ 0.68 ) = 0.7523 − 0.2468 = 0.5064 P(-0.68 \leq Z \leq 0.68) = 0.7523 - 0.2468 = 0.5064 P(−0.68≤Z≤0.68)=0.7523−0.2468=0.5064

结果解释

结论：30名EAI管理人员组成的简单随机样本，能以50.64%的可靠性保证样本平均数落在51800±500美元范围内。

样本大小与抽样分布的关系

样本大小的影响

核心原理：样本大小越大，标准误差越小，估计越精确。

对比分析

EAI实例比较：

样本大小	标准误差	分布特征
n = 30	730.3美元	较宽的分布
n = 100	400美元	更集中的分布

标准误差公式验证：
σ X ˉ = σ n \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} σXˉ=n σ

n增大 → \sqrt{n}增大 → \sigma_{\bar{X}}减小。

实际意义：

样本大小增加 → 估计更准确。
但成本也相应增加。
需要在准确性和成本之间取得平衡。

点估计的性质

如何判断一个点估计的好坏？需要检查三个重要性质。

1. 无偏性（Unbiasedness）

定义：样本统计量的数学期望等于所估计的总体参数。

数学表达：
E ( 样本统计量 ) = 总体参数 E(\text{样本统计量}) = \text{总体参数} E(样本统计量)=总体参数

例：E(\bar{X}) = μ。

无偏与有偏估计

无偏估计：

抽样分布的中心 = 总体参数。
估计无系统性偏差。
长期平均精确。

有偏估计：

抽样分布的中心 ≠ 总体参数。
存在系统性偏差。
结果倾向高估或低估。

2. 有效性（Efficiency）

定义：在所有无偏估计中，标准误差最小的估计最有效。

比较标准：

设有两个无偏估计量T_1和T_2，如果Var(T_1) < Var(T_2)，则T_1比T_2更有效。

实际意义：

有效性高 → 估计更稳定。
相同样本大小下，结果更可靠。
有利于提高统计推断的效率。

3. 一致性（Consistency）

定义：随着样本大小增加，点估计值越来越接近总体参数。

数学表达：
lim ⁡ n → ∞ P ( ∣ 样本统计量 − 总体参数 ∣ < ϵ ) = 1 \lim_{n \to \infty} P(|\text{样本统计量} - \text{总体参数}| < \epsilon) = 1 n→∞limP(∣样本统计量−总体参数∣<ϵ)=1

实际意义：

样本越大，估计越可靠。
大样本下的理论保证。
指导实际抽样设计。

综合评价标准

理想点估计：同时满足三个性质。

无偏性：确保长期准确性。
有效性：提供最佳精度。
一致性：保证大样本性能。

常见权衡：

无偏性 vs 有效性：有时需要取舍。
理论性能 vs 实用性：考虑计算复杂度。
准确性 vs 成本：考虑样本大小限制。

Excel操作实务指南

基本统计量计算

总体平均数：
= AVERAGE(数据范围) =\text{AVERAGE(数据范围)} =AVERAGE(数据范围)

标准误差：
= 总体标准差 / SQRT(样本大小) =\text{总体标准差 / SQRT(样本大小)} =总体标准差 / SQRT(样本大小)

正态概率计算

标准化计算：
= ( X - 平均数 ) / 标准误差 =(\text{X - 平均数}) / \text{标准误差} =(X - 平均数)/标准误差

累积概率：
= NORM.S.DIST(Z值, TRUE) =\text{NORM.S.DIST(Z值, TRUE)} =NORM.S.DIST(Z值, TRUE)

区间概率：
= NORM.S.DIST(Z2, TRUE) - NORM.S.DIST(Z1, TRUE) =\text{NORM.S.DIST(Z2, TRUE) - NORM.S.DIST(Z1, TRUE)} =NORM.S.DIST(Z2, TRUE) - NORM.S.DIST(Z1, TRUE)