代码随想录算法训练营Day32 | 518.零钱兑换II、377. 组合总和 Ⅳ、70. 爬楼梯（进阶）

LeetCode518.零钱兑换II

518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

1.思路

动态规划五部曲：

1. dpj：凑成金额 j 的货币组合数；

2. 在求 目标和 的那道题中，求装满背包有几种方法，这里也是求总金额凑成 amount 的方法数，所以这里的递推公式为：dpj = dpj + dpj - coins\[i]；

3. dp0 = 1，不放任何物品，即装满背包容量为 0 的方法是 1；

4. 这道题里的物品和前面 01 背包不同，这里是可以无限次使用的，所以遍历时的内层背包遍历需要从前往后遍历。外层依然遍历物品。此时求得是组合数；

假设：coins0 = 1，coins1 = 5。

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

如果外层遍历得是背包，内层遍历物品，那么求得就是排列数了，

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

5. amount = 5，coins = 1，2，5，dp：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int>dp(amount+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<coins.size();i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                if(dp[j]<INT_MAX-dp[j-coins[i]]){
                    dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]];
                }
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

2.复杂度分析

时间复杂度：O(m*n) - m 是 amount，n 是 coins 得长度

空间复杂度：O(m)

3.思考

这道题代码一写出来就是很简单，不过却很难思考。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果物品只能用一次，内层 for 就反向遍历。

如果物品能重复使用，内层 for 就正向遍历。

4.Reference：518.零钱兑换II | 代码随想录

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LeetCode377. 组合总和 Ⅳ

377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）

1.思路

动态规划五部曲：

1. dpi：凑成正整数 i 得排列个数；

2. 这道题也是求装满背包得方法，所以递推公式：dpj = dj + dj - nums\[i]；

3. 因为递推公式 dpi += dpi - nums\[j] 的缘故，dp0要初始化为1，这样递归其他dpi的时候才会有数值基础。

4. 本题求得是组合数，所以外层 for 循环遍历背包，内层 for 循环遍历物品；

如果把遍历 物品 放在外循环，遍历 target 作为内循环的话，举例：计算dp4的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有 {3,1} 这样的集合，因为 nums 遍历放在外层，3 只能出现在 1 后面；

5. nums = 1，2，3，target = 4

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int>dp(target+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int j=0;j<=target;j++){
            for(int i=0;i<nums.size();i++){
                if(j>=nums[i] && dp[j]<=INT_MAX-dp[j-nums[i]]) dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

注：C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dpi < INT_MAX - dpi - num 。

2.复杂度分析

时间复杂度：O(target*n)

空间复杂度：O(target)

3.Reference：377. 组合总和 Ⅳ | 代码随想录

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LeetCode70.爬楼梯（进阶）

57. 爬楼梯（第八期模拟笔试）

1.思路

1阶，2阶，3阶，m阶是物品，楼顶 n 为背包。

动态规划五部曲：

1. dpi：爬到楼顶为 i 个阶梯得方法数；

2. 求装满背包有多少种方法的递推公式是：dpj = dpj + dpj - nums\[i]，这里的阶梯数从 1 ~ m，dpi 的来源也是这些，所以递推公式：dpj = dpj + dpj - i；

3. dp0 = 1，dp0是递归中一切数值的基础所在，如果dp0是0的话，其他数值都是0了；

4. 1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样，所以这里求的是排列数，所以外层循环背包，内层循环物品；

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main(){
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        vector<int>dp(n+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int i=1;i<=m;i++){
                if(j>=i){
                    dp[j]=dp[j]+dp[j-i];
                }
            }
        }
        cout<<dp[n];
    }
    return 0;
}

2.复杂度分析

时间复杂度：O(n*m)

空间复杂度：O(n)

3.思考

还是明白最重要的一点，求组合就是先物品后背包，求排列就是先背包后物品。

4.Reference：70. 爬楼梯（进阶版） | 代码随想录