LeetCode518.零钱兑换II
1.思路
动态规划五部曲：
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dpj：凑成金额 j 的货币组合数；
-
在求 目标和 的那道题中，求装满背包有几种方法，这里也是求总金额凑成 amount 的方法数，所以这里的递推公式为：dpj = dpj + dpj - coins\[i]；
-
dp0 = 1，不放任何物品，即装满背包容量为 0 的方法是 1；
-
这道题里的物品和前面 01 背包不同，这里是可以无限次使用的，所以遍历时的内层背包遍历需要从前往后遍历。外层依然遍历物品。此时求得是组合数；
假设：coins0 = 1，coins1 = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
如果外层遍历得是背包，内层遍历物品，那么求得就是排列数了，
背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
- amount = 5，coins = 1，2，5，dp：
cpp
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int>dp(amount+1,0);
dp[0]=1;
for(int i=0;i<coins.size();i++){
for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
if(dp[j]<INT_MAX-dp[j-coins[i]]){
dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]];
}
}
}
return dp[amount];
}
};2.复杂度分析
时间复杂度：O(m*n) - m 是 amount，n 是 coins 得长度
空间复杂度：O(m)
3.思考
这道题代码一写出来就是很简单，不过却很难思考。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
如果物品只能用一次，内层 for 就反向遍历。
如果物品能重复使用，内层 for 就正向遍历。
4.Reference：518.零钱兑换II | 代码随想录
LeetCode377. 组合总和 Ⅳ
1.思路
动态规划五部曲：
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dpi：凑成正整数 i 得排列个数；
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这道题也是求装满背包得方法，所以递推公式：dpj = dj + dj - nums\[i]；
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因为递推公式 dpi += dpi - nums\[j] 的缘故，dp0要初始化为1，这样递归其他dpi的时候才会有数值基础。
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本题求得是组合数，所以外层 for 循环遍历背包，内层 for 循环遍历物品；
如果把遍历 物品 放在外循环，遍历 target 作为内循环的话，举例：计算dp4的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有 {3,1} 这样的集合，因为 nums 遍历放在外层，3 只能出现在 1 后面；
- nums = 1，2，3，target = 4
cpp
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int>dp(target+1,0);
dp[0]=1;
for(int j=0;j<=target;j++){
for(int i=0;i<nums.size();i++){
if(j>=nums[i] && dp[j]<=INT_MAX-dp[j-nums[i]]) dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]];
}
}
return dp[target];
}
};注：C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dpi < INT_MAX - dpi - num 。
2.复杂度分析
时间复杂度：O(target*n)
空间复杂度：O(target)
3.Reference：377. 组合总和 Ⅳ | 代码随想录
LeetCode70.爬楼梯（进阶）
1.思路
1阶，2阶，3阶，m阶是物品，楼顶 n 为背包。
动态规划五部曲：
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dpi：爬到楼顶为 i 个阶梯得方法数；
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求装满背包有多少种方法的递推公式是：dpj = dpj + dpj - nums\[i]，这里的阶梯数从 1 ~ m，dpi 的来源也是这些，所以递推公式：dpj = dpj + dpj - i；
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dp0 = 1，dp0是递归中一切数值的基础所在，如果dp0是0的话，其他数值都是0了；
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1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样，所以这里求的是排列数，所以外层循环背包，内层循环物品；
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main(){
int n,m;
while(cin>>n>>m){
vector<int>dp(n+1,0);
dp[0]=1;
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int i=1;i<=m;i++){
if(j>=i){
dp[j]=dp[j]+dp[j-i];
}
}
}
cout<<dp[n];
}
return 0;
}2.复杂度分析
时间复杂度：O(n*m)
空间复杂度：O(n)
3.思考
还是明白最重要的一点，求组合就是先物品后背包，求排列就是先背包后物品。